Định lý Cantor-Lebesgue và các kiểu hội tụ trong chuỗi lượng giác hai chiều

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Đề Bài

Trong bài “Định lý Cantor – Lebesgue” trước tôi mới quan tâm đến trường hợp một chiều. Cụ thể xét chuỗi lượng giác một chiều.

Trong bài viết này tôi quan tâm đến chuỗi lượng giác hai chiều

sum_{n in mathbb{Z}^2} a_n e^{inx}

trong đó

n = (n_1, n_2), quad x = (x_1, x_2), quad nx = n_1x_1 + n_2x_2

Định lý Cantor-Lebesgue trong trường hợp một chiều phát biểu như sau: Nếu chuỗi lượng giác hội tụ điểm trong một tập có độ đo dương thì dãy hệ số của chuỗi cũng hội tụ về 0.

Ta cũng có thể phát biểu một cách tương tự sang trường hợp hai chiều. Tuy nhiên, một vấn đề nảy sinh. Khác với trường hợp một chiều, cách hiểu về sự hội tụ đơn thuần:

S<em>N(x) = sum</em>{|n|\le N} a_n e^{inx}

dãy tổng riêng hội tụ, trong trường hợp hai chiều việc lấy tổng riêng có khá nhiều cách.

Trước khi nói về các cách hội tụ trong trường hợp hai chiều, ta xét ví dụ sau trong trường hợp một chiều:

sum_{j=1}^\infty \frac{2i \sin (jx)}{j}

có dãy tổng riêng

S<em>n(x)=sumlimits</em>{j=1}^ndfrac{2isin(jx)}{j}

hội tụ điểm trên $mathbb{R}$ . Tuy nhiên, nếu xét giới hạn

\lim<em>{Ntoinfty} sum</em>{j=1}^N \frac{2sin(jx)}{j}

thì nó không hội tụ tại các điểm $x = kpi$ với $k in mathbb{Z}$ .

Trong trường hợp hai chiều, chuỗi lượng giác

sum_{n in mathbb{Z}^2} a_n e^{inx}

được gọi là hội tụ tại điểm $x_0$ nếu tồn tại giới hạn sau:

\lim<em>{Rtoinfty} sum</em>{|n|\le R} a_n e^{inx_0}

Ngoài khái niệm hội tụ này, bài viết còn quan tâm đến hai cách hội tụ khác:

Hội tụ vuông (square convergence).
Hội tụ tròn (circle convergence).

Chuỗi lượng giác (1) được gọi là hội tụ vuông tại điểm $x_0$ nếu tồn tại giới hạn sau:

\lim<em>{Ntoinfty} sum</em>{|n_1|\le N, |n_2|\le N} a_n e^{inx_0}

Chuỗi lượng giác (1) được gọi là hội tụ tròn tại điểm $x_0$ nếu tồn tại giới hạn sau:

\lim<em>{Rtoinfty} sum</em>{|n_1|^2+|n_2|^2=R^2} a_n e^{inx_0}

[

Không khó để thấy nếu có giới hạn (2) thì các giới hạn (3) và (4) đều bằng giới hạn (2). Dĩ nhiên không có điều ngược lại. Các bạn thử tìm ví dụ?

Giờ ta chuyển sang phần chính của bài viết: Định lý Cantor-Lebesgue sẽ như thế nào đối với các cách hội tụ (2), (3), (4)?

Trước hết, chú ý rằng, bằng “điều kiện cần”, các khái niệm hội tụ (2), (3), (4) lần lượt dẫn đến:

(2): sum_{n in mathbb{Z}^2} |a_n| < \infty[/katex]</li> <li>(3): [katex]sum_{n in mathbb{Z}^2} |a_n|^2 < \infty[/katex]</li> <li>(4): [katex]sum_{n in mathbb{Z}^2} |a_n|^2 < \infty[/katex]</li> </ul> Ta bắt đầu với khái niệm hội tụ (2). Bằng cách chuyển về trường hợp một chiều, ta vẫn có Định lý Cantor-Lebesgue cho trường hợp hai chiều. Nếu chuỗi lượng giác hội tụ trên một tập có độ đo dương thì hệ số của nó hội tụ về 0. Một cách cụ thể, nếu: [katex]sum_{n in mathbb{Z}^2} a_n e^{inx}
hội tụ với mọi $x$ thuộc vào tập $E$ có độ đo dương, thì:
lim_{|n|toinfty}a_n=0.
Chứng minh. Để ý rằng:
sum_{n in mathbb{Z}^2} an e^{inx} = sum{n1 in mathbb{Z}} \left( sum{n2 in mathbb{Z}} a{(n_1, n_2)} e^{in_2x_2} \right) e^{in_1x_1}
Ngoài ra, từ Định lý Fubini, ta có:
\int |an|^2 dx = \int{mathbb{R}^2} left| sum_{n in mathbb{Z}^2} an e^{inx} right|^2 dx = sum{n in mathbb{Z}^2} |a_n|^2
nên tập $E$ có tính chất:
- Độ đo Lebesgue một chiều của lát cắt $E_{x_1} = {x_2 : (x_1, x_2) in E}$ là dương cho hầu hết $x_1$ .
- Với mỗi $x1$ cố định, tập lát cắt $E{x_1}$ cũng có độ đo Lebesgue một chiều dương.
Sử dụng Định lý Cantor-Lebesgue một chiều:
- Cho $f(x2) = sum{n2 in mathbb{Z}} a{(n_1, n_2)} e^{in_2x2}$ trong tập $E{x1}$ , ta có $\lim{|n2|toinfty} a{(n_1, n_2)} = 0$ với mọi $x1$ mà $E{x_1}$ có độ đo dương.
- Cho $g(x1) = sum{n1 in mathbb{Z}} \left( sum{n2 in mathbb{Z}} a{(n_1, n_2)} e^{in_2x_2} \right) e^{in_1x_1}$ trong tập $B = {x1 : m(E{x1}) > 0 }$ , và $sum{n2 in mathbb{Z}} a{(n_1, n_2)} e^{in_2x_2}$ là tổng hữu hạn với mỗi $n_1$ cố định, ta có kết luận của Định lý Cantor-Lebesgue hai chiều.
Các bạn thử làm tương tự với chuỗi lượng giác $k$-chiều?
Với khái niệm hội tụ (2), Định lý Cantor-Lebesgue không gặp trở ngại gì. Tuy nhiên, với khái niệm hội tụ vuông (3), Paul Cohen cho thấy những trở ngại nhất định. Chi tiết ngoài lề, Paul Cohen là người nhận giải Fields duy nhất về logic (cụ thể chứng minh giả thuyết continuum) cho đến thời điểm này. Các bạn có thể tham khảo thêm:
https://en.wikipedia.org/wiki/PaulCohen(mathematician)
Trong luận án tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của A. Zygmund, “Topics in the theory of uniqueness of trigonometric series”, năm 1958, P. Cohen đưa ra kết quả sau:
Nếu chuỗi lượng giác (1) hội tụ vuông hầu khắp nơi thì với bất kỳ số $epsilon > 0$ đều có số $K$ sao cho $|a_n| \le e^{K|n|}$ với mọi $|n| \ge K$ .
Như vậy, so với Định lý Cantor-Lebesgue:
- Giả thiết mạnh hơn nhiều: hội tụ hầu khắp nơi so với hội tụ trên tập có độ đo dương.
- Kết luận yếu hơn nhiều: độ tăng của hệ số nhỏ hơn hàm mũ so với hệ số giảm về 0.
P. Cohen cũng chỉ ra ví dụ cho thấy Định lý Cantor-Lebesgue không đúng đối với hội tụ vuông, theo nghĩa ta không có kết quả sau: Nếu chuỗi lượng giác (1) có $an = o(1)$ hầu khắp nơi trong $L^2(mathbb{R}^2)$ thì $\lim{|n|toinfty} a_n = 0$ .
Cụ thể như sau: Cho trước một dãy số dương $omegak$ hội tụ về 0. Ta luôn xây dựng được chuỗi lượng giác (1) hội tụ hầu khắp nơi, còn dãy hệ số có dãy con $omega{lk}$ sao cho $a{n_{l_k}} notto 0$ .
Nhắc lại nhân Fejer:
Kk(t)=sumlimits{l=-k}^kleft(1-\dfrac{|l|}{k+1}\right)e^{ilt}=\dfrac{1}{k+1}\left(\dfrac{\sin ((k+1)t/2)}{\sin (t/2)}\right)^2.
Do $lim_{ktoinfty} omegak = 0$ nên ta có thể lấy dãy con $omega{lk}$ sao cho $omega{l_k} \to 0$ . Ta chọn $d_k = (l_k+1)/k^2$ và chuỗi lượng giác cần tìm:
sum_{k=1}^\infty dk sum{l=-l_k}^{l_k} \left(1 - \frac{|l|}{l_k+1}\right) \cos (l x_1) \cos (l x_2)
[
Không khó để thấy:
- Khi $x1 \ne 0 pmod{2pi}$ , $sum{l=-l_k}^{l_k} \left(1 - \frac{|l|}{l_k+1}\right) \cos (l x_1) \cos (l x_2)$ hội tụ về $0$ với $k to infty$.
- Hệ số $a_n$ có dạng $dk$ nhân với các hệ số của nhân Fejer, và $\lim{ktoinfty} d_k = 0$ .
Đến năm 1972, J. M. Ash và G. V. Welland chỉ ra rằng đánh giá về độ tăng của hệ số của P. Cohen là tốt nhất có thể bằng việc xây dựng ví dụ như sau.
Tương tự như ví dụ của P. Cohen, thay vì dùng nhân Fejer, J. M. Ash và G. V. Welland dùng hàm $phi(x) = sum_{k=1}^\infty c_k \cos (k x)$ . Cụ thể, hai ông xét chuỗi lượng giác:
sum{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} sum{j=1}^k \cos (jx_1) \cos (jx_2)
[
Khi đó, với mỗi $epsilon > 0$, chọn $r$ sao cho
sum_{j=1}^\infty \frac{\cos (jx_1)\cos (jx_2)}{j^2} \sim int_0^\infty \frac{\cos (tx_1)\cos (tx_2)}{t^2} dt
và $d_k = 3k^{1/2}r^{-k}$ ta có:
- Với $x_1 \ne 0 pmod{2pi}$ , chuỗi hội tụ.
- Còn hệ số $a_n$ tăng trưởng theo $e^{|n|/\ln|n|}$ , vì $k!$ xấp xỉ $e^{kln k}$ (công thức Stirling).
Ta có thể chọn $d_k = Ck^{1/2} 2^{-k} e^{k/\ln (k+1)}$ để chuỗi lượng giác hội tụ khi $x_1 \ne \pi$ .
Cả hai ví dụ trên chuỗi lượng giác có thể tìm hội tụ trừ ra hoặc $x_1=0$ hoặc $x_1=\pi$ . Năm 1997, J. M. Ash và G. Wang đưa ra ví dụ hội tụ khắp nơi. Hai ông xét chuỗi
sum_{k=1}^\infty dk sum{j=1}^k \cos (jx_1) \cos (jx_2)
với $dk = k^{1/2} 2^{-k} g(k)$ , trong đó $g(k)$ là hàm sao cho $limsup{ktoinfty} g^{1/k}(k)=1$ . Các bạn thử tính toán cụ thể ví dụ này?
Tình hình có vẻ xấu trong trường hợp hội tụ vuông. Mọi thứ lại quay trở lại khi ta xét hội tụ tròn. Cụ thể, ta có Định lý Cantor-Lebesgue sau, được chứng minh bởi R. Cooke năm 1970.
Nếu chuỗi lượng giác (1) có
\lim{Rtoinfty} sum{|n_1|^2+|n_2|^2=R^2} a_n e^{inx} = 0
hầu khắp nơi trong $mathbb{R}^2$ , thì
\lim{Rtoinfty} sum{|n_1|^2+|n_2|^2=R^2} |a_n|^2 = 0.
Trước khi chứng minh, ta để ý:
- Từ giả thiết, bằng cách lấy liên hợp rồi cộng hay trừ với gốc, ta có:
 $\lim{Rtoinfty} sum{|n_1|^2+|n_2|^2=R^2} (an + bar{a}{-n}) e^{inx} = 0$
 h.k.n. và
 $\lim{Rtoinfty} sum{|n_1|^2+|n_2|^2=R^2} i (an - bar{a}{-n}) e^{inx} = 0$
 h.k.n.
- $|an + bar{a}{-n}|^2 + |i(an - bar{a}{-n})|^2 = 2(|an|^2 + |a{-n}|^2)$ .
 Nên ta có thể giả sử $bar{a}n = a{-n}$ mà không làm mất tính tổng quát.
Với giả sử $bar{a}n = a{-n}$ , ta đặt:
AR(x) = sum{|n_1|^2+|n_2|^2=R^2} a_n e^{inx}.
Ta cần đến bổ đề sau:
BĐ1. $sum_{|n|^2=R^2} |a_n|^2 \le int_0^{2pi} |A_R(x)|^2 dx$ .
Sử dụng BĐ1, ta chứng minh Định lý Cooke bằng phản chứng. Giả sử ta không có kết luận của Định lý Cooke, nghĩa là tồn tại một dãy tăng $Rk \to \infty$ sao cho $sum{|n|^2=R_k^2} |a_n|^2 \to \infty$ . Xét:
Bk(x) = \frac{A{Rk}(x)}{sum{|n|^2=R_k^2} |a_n|^2}.
Khi đó:
- $A_{R_k}(x)$ hội tụ điểm về 0 h.k.n. trên khi $ktoinfty$,
- $sum_{|n|^2=R_k^2} |a_n|^2 \to \infty$ .
Từ sự hội tụ hầu khắp nơi, theo Định lý Egorov, có tập $E$ với $m(E) > 0$ sao cho $m(E setminus E_{k}) \to 0$ và $B_k(x) \to 0$ đều trên $E_k$ . Tức là, có tập $E$ với $m(E) > 0$ sao cho:
- $m(E) > 0$.
- $B_{R_k}(x)$ hội tụ đều về 0 trên $E$ khi $ktoinfty$.
Khi đó:
lim_{ktoinfty} \intE |B{R_k}(x)|^2 dx = 0. quad quad quad (5)
Lại sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\intE |B{R_k}(x)|^2 dx \le \int0^{2pi} |B{R_k}(x)|^2 dx = \frac{\int0^{2pi} |A{Rk}(x)|^2 dx}{\left(sum{|n|^2=R_k^2} |a_n|^2right)^2}
Và từ BĐ1, ta có:
int_0^{2pi} |AR(x)|^2 dx = sum{|n|^2=R^2} |a_n|^2
Nên:
\intE |B{Rk}(x)|^2 dx \le \frac{sum{|n|^2=R_k^2} |an|^2}{\left(sum{|n|^2=R_k^2} |an|^2right)^2} = \frac{1}{sum{|n|^2=R_k^2} |a_n|^2}
Từ (5) và bất đẳng thức trên, ta có điều mâu thuẫn với giả sử $sum_{|n|^2=R_k^2} |a_n|^2 \to \infty$ . Như vậy, điều giả sử sai, hay ta có Định lý Cooke.
Giờ ta đi chứng minh BĐ1. Ta cần bổ đề hình học sau:
BĐ2. Cho đường tròn tâm tại gốc, bán kính $R$ và một véc-tơ $q$ có tọa độ nguyên trong mặt phẳng. Khi đó:
- Hoặc không có cặp điểm có tọa độ nguyên nào trên đường tròn đã cho tạo thành đoạn thẳng cùng phương, cùng độ dài với véc-tơ $q$.
- Hoặc có đúng hai cặp điểm có tọa độ nguyên, đối xứng nhau qua gốc, trên đường tròn đã cho tạo thành đoạn thẳng cùng phương, cùng độ dài với véc-tơ $q$.
[
Các bạn thử suy nghĩ BĐ2?
Chứng minh BĐ1. Có:
$int_0^{2pi} |A_R(x)|^2 dx = \int0^{2pi} \left( sum{|n|^2=R^2} an e^{inx} \right) \left( sum{|p|^2=R^2} bar{a}_p e^{-ipx} \right) dx$
$= \int0^{2pi} sum{|n|^2=R^2, |p|^2=R^2} a_n bar{a}p e^{i(n-p)x} dx$
$= sum{|n|^2=R^2, |p|^2=R^2} a_n bar{a}_p \int0^{2pi} e^{i(n-p)x} dx$
Chỉ khi $n=p$ , tích phân mới bằng $2pi$ . Do đó:
$= 2pi sum{|n|^2=R^2} |an|^2$
Nên:
$sum{|n|^2=R^2} |a_n|^2 = \frac{1}{2pi} int_0^{2pi} |A_R(x)|^2 dx.$
Bất đẳng thức trong BĐ1 được chứng minh.
Có thể nói Định lý Cooke là Định lý Cantor-Lebesgue hai chiều cho hội tụ tròn. Định lý Cantor-Lebesgue hai chiều cho hội tụ tròn được A. Zygmund chứng minh năm 1972, được phát biểu như sau:
Nếu
lim_{Rtoinfty} A_R(x) = 0
khi $x$ thuộc một tập có độ đo dương $E subset mathbb{R}^2$ , thì:
\lim{Rtoinfty} sum{|n_1|^2+|n_2|^2=R^2} |a_n|^2 = 0.
Để chứng minh Định lý Zygmund, ngoài BĐ2 trong chứng minh Định lý Cooke, ta còn cần đến các bổ đề sau.
BĐ3. Cho tập $E subset mathbb{R}^2$ có độ đo dương. Hàm đặc trưng $chi_E(x)$ có hệ số Fourier $hat{chi}_E(n) = \frac{1}{2pi} int_E e^{-inx} dx$ thỏa mãn:
- $sum_{n in mathbb{Z}^2} |hat{chi}_E(n)|^2 = \frac{m(E)}{2pi}$ .
- Tồn tại số dương $epsilon > 0$ sao cho $|hat{chi}_E(n)| \le \frac{C}{|n|^epsilon}$ với mọi $n in mathbb{Z}^2$ .
Chứng minh BĐ3. Ý đầu chính là đẳng thức Parseval. Ý sau dựa vào:
- Số điểm nguyên nằm trong một hình tròn có bán kính $R$ là hữu hạn, cỡ $O(R^2)$ .
- (Bổ đề Riemann – Lebesgue) $lim_{|n|toinfty} hat{chi}_E(n) = 0$ .
Ta chỉ cần chứng minh tồn tại $epsilon > 0$ để $|hat{chi}_E(n)| \le \frac{C}{|n|^epsilon}$ .
Ta chứng minh bằng phản chứng, nghĩa là giả sử với mọi $epsilon > 0$, tồn tại $n$ sao cho $|hat{chi}_E(n)| > \frac{C}{|n|^epsilon}$ . Khi đó $n \cdot x = n_1x_1 + n_2x_2$ là hằng số (mod $2pi$ ) hầu khắp nơi trên $E$. Do $m(E) > 0$, nên trừ ra tập có độ đo không, các điểm trên $E$ thuộc vào tối đa đếm được các đường thẳng song song với nhau. Như vậy $m(E)=0$ , trái với giả thiết. Vậy BĐ3 được chứng minh.
BĐ4. Cho ba điểm tọa độ nguyên $p, q, r$ trên đường tròn bán kính $R$. Khi đó:
\text{Diện tích tam giác } pqr \ge \frac{1}{2}.
[
Chứng minh BĐ4 này dựa vào:
- Tam giác có độ dài các cạnh lần lượt là $a, b, c$ nội tiếp trong hình tròn bán kính $R$ thì diện tích là $S = \frac{abc}{4R}$ .
- Tam giác có ba đỉnh là các điểm nguyên trên đường tròn có diện tích không nhỏ hơn $1/2$ .
Quay trở lại chứng minh Định lý Zygmund.
Từ giả thiết về sự hội tụ điểm trong tập có độ đo dương và Định lý Egorov, ta có thể giả sử hội tụ đều, nghĩa là $A_R(x)$ hội tụ đều về 0 trong $E$ khi $Rtoinfty$. Khi đó:
lim_{Rtoinfty} int_E |A_R(x)|^2 dx = 0.
Nhắc lại:
|AR(x)|^2 = sum{|n|^2=|p|^2=R^2} a_n bar{a}_p e^{i(n-p)x}
nên:
int_E |AR(x)|^2 dx = sum{|n|^2=R^2} |a_n|^2 \intE dx + sum{|n|^2=|p|^2=R^2, nne p} a_n bar{a}_p int_E e^{i(n-p)x} dx.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tổng thứ hai ta có:
left| sum_{nne p} a_n bar{a}_p \intE e^{i(n-p)x} dx right| \le \left(sum{nne p} |a_n bar{a}p|^2right)^{1/2} \left(sum{nne p} left|int_E e^{i(n-p)x} dxright|^2right)^{1/2}
Theo BĐ3, với $|n-p| = q \ne 0$ , ta có $|hat{chi}_E(q)| \le C/|q|^epsilon$ .
Theo BĐ4, nếu $R$ đủ lớn, thì với mỗi $q \ne 0$ , có tối đa 2 cặp $(n, p)$ với $|n|^2=|p|^2=R^2$ sao cho $n-p = q$ .
Khi đó:
int_E |AR(x)|^2 dx \le m(E) sum{|n|^2=R^2} |a_n|^2 + O(R^2) \cdot C \cdot R^{-2epsilon}.
Do $m(E) > 0$ và $sum |a_n|^2 \to \infty$ giả sử sai, nên ta cần đánh giá lại tích phân.
Sử dụng BĐ2, tập hợp các điểm nguyên trên đường tròn $|n|^2=R^2$ có thể được chia thành các tập con $P_j$ , mỗi tập $P_j$ chứa các điểm nguyên gần nhau.
Từ (7)-(8)-(9), ta có chứng minh cho Định lý Zygmund.
Ta có thể viết bất đẳng thức cuối trong chứng minh trên với $varphi(x) = 1$ và $R$ đủ lớn.
Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát hơn theo cách của B. Connes: Cho hàm không âm $varphi in C_c^\infty(mathbb{R}^2)$ sao cho $\int varphi dx = 1$ . Khi đó, với đủ lớn $R$, ta có:
\int0^{2pi} left| sum{|n|^2=R^2} an hat{varphi}(n) right|^2 dx \le C sum{|n|^2=R^2} |a_n|^2
với $C = \int |hat{varphi}(n)|^2 dn$ .
Chú ý rằng do $varphi$ là hàm khả vi vô hạn, $hat{varphi}(n)$ giảm nhanh hơn bất kỳ lũy thừa nào của $1/|n|$ . Tương tự BĐ3, ta có $sum_{|n|^2=R^2} |hat{varphi}(n)|^2$ là hữu hạn.
Trước khi chứng minh kết quả này:
- Năm 1976, B. Connes dùng một phiên bản khác: chỉ lấy $varphi$ là hàm khả vi vô hạn, nhưng cho bất kỳ không gian $k$-chiều, để chứng minh Định lý Cantor-Lebesgue cho hội tụ cầu trong không gian $k$-chiều.
- Lý do của việc chỉ lấy hàm khả vi vô hạn vì BĐ2 chỉ đúng cho đường tròn mà không đúng cho mặt cầu $k$-chiều.
- Vì chỉ dùng hàm khả vi vô hạn nên B. Connes mới chỉ chứng minh Định lý Cantor-Lebesgue khi tập điểm hội tụ là tập mở hoặc tập con của tập mở có tính chất trù mật trong tập mở, thuộc phạm trù thứ hai (theo Baire).
Ta trở lại chứng minh kết quả của B. Connes. Ta nhắc lại cách sử dụng BĐ4 của Zygmund:
- Với $R$ cố định, khi $R to infty$, tập các điểm nguyên trên đường tròn bán kính $R$ tách thành các tập con $P$ thỏa mãn:
 - Mỗi tập con $P$ có nhiều nhất hai điểm.
 - Khoảng cách giữa các điểm trong cùng một tập con $P$ nhỏ hơn $R_0$ .
 - Khoảng cách giữa hai điểm thuộc hai tập con khác nhau lớn hơn $R_0$ .
Từ việc tách này ta có:
int_0^{2pi} |AR(x)|^2 dx = sum{|n|^2=R^2} |a_n|^2 \intE dx + sum{|n|^2=|p|^2=R^2, nne p} a_n bar{a}_p int_E e^{i(n-p)x} dx
Với tổng thứ hai, ta làm tương tự cách của Zygmund:
left| sum_{nne p} a_n bar{a}_p \intE e^{i(n-p)x} dx right| \le C sum{|n|^2=R^2} |a_n|^2
có $R0$ đủ lớn để $sum{|n-p|=q, |n|^2=R^2} 1 \le 2$ .
Với tổng thứ nhất:
- Trường hợp $P$ chỉ có một phần tử $n$, ta có $|a_n|^2 int_E dx$ .
- Trường hợp $P$ có hai phần tử $n, p$:
a_n bar{a}_p int_E e^{i(n-p)x} dx + bar{a}_n a_p int_E e^{i(p-n)x} dx \ge -2 |hat{varphi}(n-p) a_n a_p| \ge -2 |hat{varphi}(n-p)| |a_n||a_p|
Như vậy:
sum_{|n|^2=R^2} |a_n|^2 \intE dx + sum{|n|^2=|p|^2=R^2, nne p} a_n bar{a}_p \intE e^{i(n-p)x} dx \le C sum{|n|^2=R^2} |a_n|^2.
Từ (10)-(11), ta có chứng minh cho kết quả của B. Connes.
Thực ra kết quả của B. Connes có thể thay đường tròn bán kính $R$ tâm tại gốc bởi các đường ellipse có tỷ lệ bán kính lớn và bé bị chặn.
Chia sẻ:
- Nhấn vào chia sẻ trên Facebook (Mở trong cửa sổ mới) Facebook
- Nhấp để chia sẻ trên X (Mở trong cửa sổ mới) X
Thích Đang tải...
Có liên quan
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.