Giải Toán 10 Bài 9 Tích Của Một Vectơ Với Một Số (Kết Nối Tri Thức)

Trong chương trình Toán lớp 10, giải toán 10 bài 9 tích của một vecto với một số thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố kiến thức về vecto. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, bám sát sách giáo khoa, giúp học sinh nắm vững phương pháp và áp dụng linh hoạt. Các nội dung được trình bày một cách khoa học, dễ hiểu, tập trung vào bản chất của tích vecto với số, tính chất cơ bản và các bài tập vận dụng.

Đề Bài

Dưới đây là các bài tập trong SGK Toán 10 tập 1, Bài 9: Tích của một vecto với một số, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống.

• Hoạt động 3 (SGK trang 57): Xét hai vecto và hai số thực. Hãy xác định các khẳng định đúng trong số các khẳng định được đưa ra.
• Hoạt động 4 (SGK trang 57): Cho Hình 4.26. Yêu cầu chỉ ra trên hình các cặp vecto cùng hướng và ngược hướng.
• Luyện tập 2 (SGK trang 57): Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Yêu cầu chứng minh rằng:.
• Luyện tập 3 (SGK trang 57): Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto trên hình theo hai vecto đã cho.
• Bài 4.11 (SGK trang 58): Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Yêu cầu biểu thị vecto theo các vecto và .
• Bài 4.12 (SGK trang 58): Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Yêu cầu chứng minh rằng:.
• Bài 4.13 (SGK trang 58): Cho hai điểm phân biệt A và B. Yêu cầu xác định điểm I sao cho:.
• Bài 4.14 (SGK trang 58): Cho tam giác ABC. Yêu cầu xác định điểm K sao cho:.
• Bài 4.15 (SGK trang 59): Mô tả một bài toán vật lý liên quan đến tác động của ba lực lên một chất điểm, yêu cầu tìm hợp lực.

Phân Tích Yêu Cầu

Bài học này tập trung vào khái niệm và các tính chất của phép nhân một vecto với một số. Cụ thể, các bài tập yêu cầu học sinh:

• Hiểu rõ định nghĩa tích của một vecto với một số, bao gồm hướng và độ dài của vecto kết quả.
• Áp dụng các tính chất của phép nhân này, như tính phân phối, kết hợp.
• Sử dụng khái niệm tích vecto với số để giải các bài toán về chứng minh sự cùng phương, ngược hướng, biểu diễn vecto, tìm điểm thỏa mãn điều kiện cho trước, và giải các bài toán vật lý liên quan đến hợp lực.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập trong Bài 9, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Định nghĩa Tích của một vecto với một số:
   Cho vecto và một số thực . Tích của vecto với số là một vecto, ký hiệu là , có các tính chất sau:

   • Nếu thì cùng hướng với .
   • Nếu thì ngược hướng với .
   • Nếu thì bằng vecto không.
   • Độ dài của vecto là: .

   Ví dụ: Nếu thì vecto cùng hướng với , có độ dài bằng hai lần độ dài của .

2. Tính chất của Tích của một vecto với một số:
   Với mọi vecto và các số thực , ta có:

   • Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng vecto: .
   • Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các số: .
   • Tính chất kết hợp: .
   • .

   Các tính chất này tương tự như tính chất của phép nhân số thông thường, giúp đơn giản hóa các phép toán liên quan đến vecto.

3. Vecto không:
   Vecto không có độ dài bằng 0. Vecto không có hướng không xác định.
   Cho mọi vecto , ta có: .

4. Biểu diễn vecto:
   Nhiều bài toán yêu cầu biểu diễn một vecto dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vecto khác, thường sử dụng các tính chất của phép cộng, trừ vecto và tích vecto với một số.

5. Tính chất trung điểm:
   Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì:.

6. Trọng tâm tam giác:
   Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, thì:.

7. Ứng dụng trong vật lý:
   Trong cơ học, hợp lực của hai lực được xác định bằng quy tắc hình bình hành. Nếu có nhiều lực tác dụng, ta có thể tìm hợp lực bằng cách cộng các vecto lực. Tích vecto với một số có thể xuất hiện khi xem xét tỉ lệ của các lực hoặc các đại lượng vật lý liên quan.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Hoạt động 3 (SGK trang 57)

Yêu cầu: Xác định các khẳng định đúng với và hai số thực k, t.

Phân tích: Hoạt động này nhằm kiểm tra sự hiểu biết về các tính chất cơ bản của tích vecto với một số. Học sinh cần áp dụng các định lý về tính chất phân phối, kết hợp và trường hợp đặc biệt khi nhân với 0, 1, -1.

Kiến thức áp dụng:

• Tính chất kết hợp: .
• Tính chất phân phối: , .
• Vecto không: .
• Nhân với 1: .

Hướng dẫn giải:
Sau khi xem xét từng khẳng định dựa trên các tính chất đã học, học sinh sẽ xác định được các khẳng định đúng. Ví dụ, khẳng định: k(tvec{a}) = (kt)vec{a} là đúng theo tính chất kết hợp. Khẳng định 1vec{a} = vec{a} cũng là đúng. Khẳng định kvec{0} = vec{0} là đúng.

Mẹo kiểm tra: Luôn nhớ quy tắc: tích của một số với một vecto là một vecto mới có độ dài và hướng phụ thuộc vào số đó. Số 0 là trường hợp đặc biệt.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa tính chất của số và tính chất của vecto; quên trường hợp vecto không.

Hoạt động 4 (SGK trang 57)

Yêu cầu: Chỉ ra trên Hình 4.26 các cặp vecto cùng hướng và ngược hướng.

Phân tích: Hoạt động này giúp học sinh trực quan hóa khái niệm cùng hướng và ngược hướng thông qua hình vẽ. Học sinh cần quan sát hướng và độ dài tương đối của các vecto trên hình.

Kiến thức áp dụng:

• Hai vecto cùng hướng nếu chúng có cùng hướng (hoặc một trong hai là vecto không).
• Hai vecto ngược hướng nếu chúng có hướng ngược nhau (hoặc một trong hai là vecto không).

Hướng dẫn giải:
Quan sát Hình 4.26 (hình ảnh không được cung cấp ở đây, giả định là có các vecto được vẽ), học sinh sẽ xác định các cặp vecto có mũi tên cùng chỉ về một phía hoặc hai phía đối nhau. Ví dụ, nếu vecto và có cùng phương và cùng chiều, chúng là cùng hướng. Nếu có phương và ngược chiều, chúng là ngược hướng.

Mẹo kiểm tra: Nhìn vào hướng của các mũi tên. Nếu chúng song song và cùng chiều thì cùng hướng, nếu song song và ngược chiều thì ngược hướng.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa cùng phương và cùng hướng; không xét trường hợp một trong hai vecto là vecto không.

Luyện tập 2 (SGK trang 57)

Yêu cầu: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng:.

Phân tích: Bài tập này yêu cầu áp dụng định nghĩa và tính chất của trọng tâm tam giác, kết hợp với kiến thức về tích vecto với một số.

Kiến thức áp dụng:

• Định nghĩa trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, thì:.
• Tính chất vecto: .

Hướng dẫn giải:
Xuất phát từ định nghĩa trọng tâm G của tam giác ABC, ta có:
vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = vec{0}
Ta cần chứng minh:
vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = vec{0}
Thay G bằng điểm bất kỳ O, ta có:
vec{GA} = vec{OA} - vec{OG}
vec{GB} = vec{OB} - vec{OG}
vec{GC} = vec{OC} - vec{OG}
Cộng ba biểu thức trên:
vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = (vec{OA} + vec{OB} + vec{OC}) - 3vec{OG}
Vì G là trọng tâm, ta có:
vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = vec{0}
Điều này suy ra:
(vec{OA} + vec{OB} + vec{OC}) - 3vec{OG} = vec{0}
Cho O trùng với G, ta có:
vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = (vec{GA} + vec{GB} + vec{GC}) - 3vec{OG}
= vec{0} - 3vec{OG}
Như vậy, nếu ta chọn điểm O bất kỳ, ta có:
vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = (vec{OA} + vec{OB} + vec{OC}) - 3vec{OG}
Để chứng minh điều này bằng 0, ta cần chứng minh:
vec{OA} + vec{OB} + vec{OC} = 3vec{OG}
Chọn gốc tọa độ tại một điểm bất kỳ. Gọi tọa độ của A, B, C, G là A, B, C, G.
Ta có: G = \frac{A+B+C}{3}, suy ra 3G = A+B+C.
Chuyển về vecto từ một gốc O bất kỳ:
vec{OG} = \frac{vec{OA} + vec{OB} + vec{OC}}{3}
3vec{OG} = vec{OA} + vec{OB} + vec{OC}
Do đó:
vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = (vec{OA} - vec{OG}) + (vec{OB} - vec{OG}) + (vec{OC} - vec{OG})
= (vec{OA} + vec{OB} + vec{OC}) - 3vec{OG}
Thay vec{OA} + vec{OB} + vec{OC} = 3vec{OG} vào, ta được:
= 3vec{OG} - 3vec{OG} = vec{0}
Vậy, vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = vec{0}.

Mẹo kiểm tra: Đặt gốc tọa độ tại một đỉnh hoặc tại trọng tâm G để đơn giản hóa phép tính.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa định nghĩa trọng tâm và các tính chất khác; sai sót trong phép cộng, trừ vecto.

Luyện tập 3 (SGK trang 57)

Yêu cầu: Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto trên hình theo hai vecto đã cho.

Phân tích: Bài tập này kiểm tra khả năng phân tích một vecto thành tổng hoặc hiệu của các vecto khác, áp dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm và tích vecto với số.

Kiến thức áp dụng:

• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có .
• Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì .
• Tích vecto với một số.

Hướng dẫn giải:
Giả sử Hình 4.27 cho trước các vecto cơ sở và yêu cầu biểu diễn các vecto khác.
Ví dụ, nếu ta cần biểu diễn vecto theo và :

• Nếu M là trung điểm của AB, thì vec{AM} = \frac{1}{2}vec{AB}.
• Nếu C nằm trên đường thẳng AB sao cho vec{AC} = kvec{AB}, thì vecto được biểu diễn trực tiếp qua .

Giả sử hình vẽ có các điểm và vecto như sau: cho trước vec{u} và vec{v}. Ta cần biểu diễn vec{w}.
Nếu điểm D nằm trên AB sao cho vec{AD} = 2vec{AB}, thì vec{w} = vec{AD} = 2vec{AB} = 2vec{u} (giả sử vec{AB} = vec{u}).
Nếu điểm E nằm trên AC sao cho vec{AE} = \frac{1}{3}vec{AC}, thì vec{w} = vec{AE} = \frac{1}{3}vec{AC} = \frac{1}{3}vec{v} (giả sử vec{AC} = vec{v}).
Nếu vecto vec{w} là đường chéo của hình bình hành tạo bởi vec{u} và vec{v}, thì vec{w} = vec{u} + vec{v}.

Mẹo kiểm tra: Vẽ lại hình và thử các phép biến đổi vecto để xem kết quả có khớp với hình ban đầu không.

Lỗi hay gặp: Áp dụng sai quy tắc cộng, trừ vecto; nhầm lẫn hướng của vecto khi nhân với số âm.

Bài 4.11 (SGK trang 58)

Yêu cầu: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng:.

Phân tích: Bài toán yêu cầu biểu diễn một vecto liên quan đến hình bình hành và trung điểm cạnh. Sử dụng tính chất của hình bình hành và trung điểm.

Kiến thức áp dụng:

• Tính chất hình bình hành: vec{AB} = vec{DC}, vec{AD} = vec{BC}.
• Trung điểm: vec{BM} = \frac{1}{2}vec{BC}.
• Quy tắc ba điểm và cộng vecto.

Hướng dẫn giải:
Ta cần biểu diễn vec{AM} theo vec{AB} và vec{AD}.
Ta có:
vec{AM} = vec{AB} + vec{BM} (quy tắc ba điểm)
Vì M là trung điểm của BC, ta có:
vec{BM} = \frac{1}{2}vec{BC}
Trong hình bình hành ABCD, ta có vec{BC} = vec{AD}.
Thay vào biểu thức trên:
vec{BM} = \frac{1}{2}vec{AD}
Thay vec{BM} vào biểu thức của vec{AM}:
vec{AM} = vec{AB} + \frac{1}{2}vec{AD}
Đây chính là biểu diễn vecto vec{AM} theo vec{AB} và vec{AD}.

Mẹo kiểm tra: Vẽ hình bình hành ABCD, xác định trung điểm M của BC, vẽ vecto AM và kiểm tra xem nó có bằng vec{AB} + \frac{1}{2}vec{AD} không.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn vecto cạnh của hình bình hành; áp dụng sai quy tắc trung điểm.

Bài 4.12 (SGK trang 58)

Yêu cầu: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng:.

Phân tích: Bài toán yêu cầu chứng minh một đẳng thức vecto liên quan đến trung điểm của các cạnh. Cần sử dụng linh hoạt quy tắc ba điểm và tính chất của trung điểm.

Kiến thức áp dụng:

• Trung điểm: vec{MA} + vec{MB} = vec{0}, vec{NC} + vec{ND} = vec{0}.
• Quy tắc ba điểm: vec{MN} = vec{MA} + vec{AC} + vec{CN} hoặc vec{MN} = vec{MB} + vec{BD} + vec{DN}.
• Quy tắc cộng vecto.

Hướng dẫn giải:
Ta cần chứng minh:
2vec{MN} = vec{AC} + vec{BD}
Xuất phát từ vế trái: 2vec{MN}.
Ta có thể viết vec{MN} = vec{MA} + vec{AC} + vec{CN}.
Và vec{MN} = vec{MB} + vec{BD} + vec{DN}.
Cộng hai đẳng thức này lại:
2vec{MN} = (vec{MA} + vec{MB}) + vec{AC} + vec{BD} + (vec{CN} + vec{DN})
Vì M là trung điểm AB, vec{MA} + vec{MB} = vec{0}.
Vì N là trung điểm CD, vec{NC} + vec{ND} = vec{0}, suy ra vec{CN} + vec{DN} = vec{0} (do vec{CN} = -vec{NC} và vec{DN} = -vec{ND}).
Do đó:
2vec{MN} = vec{0} + vec{AC} + vec{BD} + vec{0}
2vec{MN} = vec{AC} + vec{BD}
Điều phải chứng minh đã được thiết lập.

Mẹo kiểm tra: Chọn một gốc tọa độ bất kỳ và biểu diễn tọa độ của các điểm M, N theo A, B, C, D. Sau đó kiểm tra đẳng thức vecto bằng tọa độ.

Lỗi hay gặp: Sai sót trong việc áp dụng quy tắc ba điểm hoặc tính chất trung điểm; nhầm lẫn dấu vecto.

Bài 4.13 (SGK trang 58)

Yêu cầu: Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm I sao cho:.

Phân tích: Bài toán tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto cho trước. Đẳng thức này liên quan đến tích của vecto với một số và tổng các vecto.

Kiến thức áp dụng:

• Tích vecto với một số: .
• Quy tắc cộng vecto.
• Nếu kvec{IA} = vec{0} với k \ne 0, thì vec{IA} = vec{0}, suy ra I trùng A.

Hướng dẫn giải:
Ta có đẳng thức:
vec{IA} = 2vec{IB}
Ta muốn tìm điểm I. Chuyển tất cả các vecto về chung một gốc I:
vec{IA} = 2(vec{IA} - vec{AB}) (sử dụng vec{IB} = vec{IA} - vec{AB})
vec{IA} = 2vec{IA} - 2vec{AB}
Chuyển vế:
2vec{AB} = 2vec{IA} - vec{IA}
2vec{AB} = vec{IA}
Vậy điểm I là điểm sao cho vec{AI} = -2vec{AB} hoặc vec{IA} = 2vec{AB}.
Điều này có nghĩa là I nằm trên đường thẳng AB, sao cho vec{AI} = -2vec{AB}. Hay vec{IA} = 2vec{AB}.
Điểm I nằm trên tia đối của tia AB, sao cho khoảng cách từ I đến A bằng 2 lần khoảng cách từ A đến B.
Nói cách khác, A nằm giữa I và B, và IA = 2AB.

Mẹo kiểm tra: Vẽ đường thẳng AB. Xác định điểm I thỏa mãn vec{IA} = 2vec{AB}. Kiểm tra xem vec{IA} có bằng 2vec{IB} không.
vec{IB} = vec{IA} + vec{AB} = 2vec{AB} + vec{AB} = 3vec{AB}.
Vậy vec{IA} = 2vec{AB} và 2vec{IB} = 2(3vec{AB}) = 6vec{AB}.
Sai rồi! Cần làm lại phép biến đổi.

Làm lại Hướng dẫn giải:
Ta có đẳng thức:
vec{IA} = 2vec{IB}
Đặt gốc tại I:
vec{0} = vec{IA} - 2vec{IB}
vec{0} = vec{IA} - 2(vec{IA} - vec{AB})
vec{0} = vec{IA} - 2vec{IA} + 2vec{AB}
vec{0} = -vec{IA} + 2vec{AB}
vec{IA} = 2vec{AB}
Để kiểm tra lại: Nếu vec{IA} = 2vec{AB}, thì vec{IB} = vec{IA} + vec{AB} = 2vec{AB} + vec{AB} = 3vec{AB}.
Ta cần vec{IA} = 2vec{IB}. Với kết quả trên, 2vec{IB} = 2(3vec{AB}) = 6vec{AB}.
Ta thấy vec{IA} = 2vec{AB} không bằng 2vec{IB} = 6vec{AB}. Vậy phép biến đổi vẫn sai ở đâu đó.

Thử lại với cách khác:
vec{IA} = 2vec{IB}
Ta có thể chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ. Đặt vec{AI} = k vec{AB}.
vec{IA} = -vec{AI} = -k vec{AB}
vec{IB} = vec{AB} - vec{AI} = vec{AB} - k vec{AB} = (1-k)vec{AB}
Thay vào phương trình ban đầu:
-k vec{AB} = 2(1-k)vec{AB}
Vì vec{AB} \ne vec{0}, ta có thể bỏ vec{AB} ra khỏi phương trình:
-k = 2(1-k)
-k = 2 - 2k
k = 2
Vậy vec{AI} = 2vec{AB}.
Điểm I nằm trên đường thẳng AB, sao cho A nằm giữa I và B, và IA = 2AB. Vecto vec{AI} cùng hướng với vec{AB} và độ dài gấp đôi.

Kiểm tra lại lần nữa:
Nếu vec{AI} = 2vec{AB}:
vec{IA} = -vec{AI} = -2vec{AB}
vec{IB} = vec{AB} - vec{AI} = vec{AB} - 2vec{AB} = -vec{AB}
Ta cần kiểm tra vec{IA} = 2vec{IB}.
vec{IA} = -2vec{AB}
2vec{IB} = 2(-vec{AB}) = -2vec{AB}
Vậy đẳng thức vec{IA} = 2vec{IB} được thỏa mãn khi vec{AI} = 2vec{AB}.
Điểm I nằm trên tia AB, cách A một đoạn gấp đôi khoảng cách AB, về phía B.

Mẹo kiểm tra: Sử dụng phương pháp tọa độ hoặc vẽ hình chính xác để xác định vị trí I.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn chiều của vecto khi đưa về chung một gốc; sai sót trong việc chia tỉ lệ đoạn thẳng.

Bài 4.14 (SGK trang 58)

Yêu cầu: Cho tam giác ABC. Xác định điểm K sao cho:.

Phân tích: Tương tự bài 4.13, bài toán này yêu cầu tìm một điểm K thỏa mãn một đẳng thức vecto cho trước, liên quan đến các vecto từ K đến các đỉnh của tam giác và các hệ số.

Kiến thức áp dụng:

• Tích vecto với một số.
• Quy tắc cộng vecto.
• Nếu kvec{KA} = vec{0} với k \ne 0, thì vec{KA} = vec{0}.
• Nếu xvec{KA} + yvec{KB} + zvec{KC} = vec{0} và x+y+z=0, thì điểm K không xác định duy nhất (nằm trên một đường thẳng). Nếu x+y+z \ne 0, K là một điểm xác định.

Hướng dẫn giải:
Ta có đẳng thức:
vec{KA} + 2vec{KB} - 3vec{KC} = vec{0}
Đây là dạng xvec{KA} + yvec{KB} + zvec{KC} = vec{0} với x=1, y=2, z=-3.
Ta tính tổng các hệ số: x+y+z = 1+2+(-3) = 0.
Khi tổng các hệ số bằng 0, điểm K nằm trên một đường thẳng xác định.
Để tìm K, ta có thể chọn một gốc tọa độ bất kỳ O.
vec{KA} = vec{OA} - vec{OK}
vec{KB} = vec{OB} - vec{OK}
vec{KC} = vec{OC} - vec{OK}
Thay vào phương trình:
(vec{OA} - vec{OK}) + 2(vec{OB} - vec{OK}) - 3(vec{OC} - vec{OK}) = vec{0}
vec{OA} - vec{OK} + 2vec{OB} - 2vec{OK} - 3vec{OC} + 3vec{OK} = vec{0}
Gom các hạng tử theo vec{OK} và các vecto gốc:
(vec{OA} + 2vec{OB} - 3vec{OC}) + (-1 - 2 + 3)vec{OK} = vec{0}
(vec{OA} + 2vec{OB} - 3vec{OC}) + 0 \cdot vec{OK} = vec{0}
vec{OA} + 2vec{OB} - 3vec{OC} = vec{0}
Biểu thức này không phụ thuộc vào vec{OK}. Điều này có nghĩa là điều kiện đã cho không xác định một điểm K duy nhất mà là một tính chất chung. Tuy nhiên, đây là một bài toán tìm điểm, nên có thể có cách biểu diễn khác.

Xem lại giả thiết và tính chất:
Nếu xvec{KA} + yvec{KB} + zvec{KC} = vec{0} với x+y+z=0, ta có thể viết:
xvec{KA} + yvec{KB} = 3vec{KC}
Hoặc xvec{KA} + yvec{KB} + zvec{KC} = vec{0}
vec{KA} + 2vec{KB} = 3vec{KC}
Đặt vecto vec{L} = vec{KA} + 2vec{KB}.
Ta có vec{L} = 3vec{KC}. Điều này có nghĩa là K, C, và một điểm nào đó liên quan đến L thẳng hàng.

Ta có thể sử dụng định lý về điểm M chia đoạn AB theo tỉ lệ m:n.
Xét vec{KA} + 2vec{KB}. Gọi I là điểm sao cho vec{IA} + 2vec{IB} = vec{0}.
Từ bài 4.13, ta biết điểm này là vec{AI} = 2vec{AB}. (Xem lại bài 4.13, ở đó là vec{IA} = 2vec{IB}. Đáp án là vec{AI} = 2vec{AB}).
Vậy, tồn tại điểm I trên đường thẳng AB sao cho vec{IA} + 2vec{IB} = vec{0}.
Khi đó, vec{KA} + 2vec{KB} = (vec{KI} + vec{IA}) + (vec{KI} + vec{IB}) = 2vec{KI} + (vec{IA} + vec{IB}).
Nếu vec{IA} + 2vec{IB} = vec{0}, thì vec{IA} = -2vec{IB}.
vec{KA} + 2vec{KB} = (vec{KI} + vec{IA}) + 2(vec{KI} + vec{IB}) = 3vec{KI} + vec{IA} + 2vec{IB} = 3vec{KI} + vec{0} = 3vec{KI}.
Vậy phương trình trở thành:
3vec{KI} = 3vec{KC}
vec{KI} = vec{KC}
Điều này có nghĩa là K trùng I. Vậy điểm K chính là điểm I đã xác định ở bài 4.13.
Điểm I này thỏa mãn vec{IA} + 2vec{IB} = vec{0}.

Mẹo kiểm tra: Chứng minh bằng tọa độ để chắc chắn.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn điều kiện x+y+z=0 và x+y+z \ne 0; sai sót khi tìm điểm chia theo tỉ lệ.

Bài 4.15 (SGK trang 59)

Yêu cầu: Chất điểm A chịu tác động của ba lực, yêu cầu tìm hợp lực.

Phân tích: Đây là bài toán ứng dụng tích vecto với số trong vật lý. Hợp lực là tổng vecto của các lực thành phần. Đề bài có thể yêu cầu tìm hợp lực chung hoặc tìm một lực chưa biết nếu biết hợp lực và các lực còn lại.

Kiến thức áp dụng:

• Hợp lực của hai lực vec{F_1}, vec{F_2} là vec{F} = vec{F_1} + vec{F_2}.
• Khi có nhiều lực tác dụng, hợp lực là tổng vecto của tất cả các lực thành phần: vec{F_{hp}} = vec{F_1} + vec{F_2} + ... + vec{F_n}.
• Tích vecto với số có thể xuất hiện khi xem xét lực cân bằng hoặc khi một lực bằng bội số của lực khác.

Hướng dẫn giải:
Giả sử ba lực tác dụng lên chất điểm là vec{F_1}, vec{F_2}, vec{F<em>3}. Hợp lực của chúng là vec{F</em>{hp}} = vec{F_1} + vec{F_2} + vec{F_3}.
Nếu đề bài cho biết vec{F_1}, vec{F<em>2} và vec{F</em>{hp}}, và yêu cầu tìm vec{F_3}, ta sẽ có:
vec{F<em>3} = vec{F</em>{hp}} - vec{F_1} - vec{F_2}.
Hoặc nếu đề bài cho các lực có quan hệ với nhau, ví dụ vec{F_1} = 2vec{F_2}, ta sẽ áp dụng tính chất này để tính toán.
Ví dụ cụ thể (không có trong gốc): Chất điểm chịu tác động của hai lực vec{F_1} có độ lớn 3N và vec{F_2} có độ lớn 4N, hai lực này tạo với nhau góc 90 độ. Tìm hợp lực.
Ta vẽ hai vecto vec{F_1}, vec{F<em>2} vuông góc. Hợp lực vec{F</em>{hp}} là đường chéo của hình chữ nhật tạo bởi vec{F_1}, vec{F<em>2}. Độ lớn của hợp lực là:
|vec{F</em>{hp}}| = \sqrt{|vec{F_1}|^2 + |vec{F_2}|^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5N.

Mẹo kiểm tra: Luôn đảm bảo đơn vị của các lực là thống nhất (ví dụ: Newton). Sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc các phương pháp hình học tương ứng để vẽ và tính toán.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa độ lớn lực và vecto lực; sai sót trong quy tắc cộng vecto cho lực.

Đáp Án/Kết Quả

• Hoạt động 3: Học sinh xác định các khẳng định đúng dựa trên tính chất của tích vecto với một số.
• Hoạt động 4: Xác định các cặp vecto cùng hướng và ngược hướng dựa trên hình vẽ.
• Luyện tập 2: Chứng minh được vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = vec{0}.
• Luyện tập 3: Biểu diễn thành công các vecto theo các vecto cơ sở cho trước.
• Bài 4.11: Biểu diễn được vec{AM} = vec{AB} + \frac{1}{2}vec{AD}.
• Bài 4.12: Chứng minh được 2vec{MN} = vec{AC} + vec{BD}.
• Bài 4.13: Xác định điểm I sao cho vec{AI} = 2vec{AB}.
• Bài 4.14: Xác định điểm K trùng với điểm I thỏa mãn vec{IA} + 2vec{IB} = vec{0}.
• Bài 4.15: Tính toán và xác định hợp lực của ba vecto lực theo yêu cầu bài toán.

Kết Luận

Việc nắm vững giải toán 10 bài 9 tích của một vecto với một số là nền tảng quan trọng để tiếp tục chinh phục các khái niệm vecto phức tạp hơn. Thông qua việc phân tích chi tiết các bài tập từ sách giáo khoa Kết nối tri thức, học sinh có thể rèn luyện kỹ năng biến đổi vecto, áp dụng các định lý và quy tắc một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong học tập.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.