Giải Toán 10 Bài Tích Của Vecto Với Một Số: Phân Tích Chuyên Sâu, Công Thức Nền Tảng Và Lời Giải Bài Tập (KNTT)

by Thầy Đông · November 30, 2025

Rate this post

Chủ đề giải toán 10 bài tích của vecto với một số là một trong những nội dung nền tảng và quan trọng nhất trong chương trình Toán 10 KNTT học kỳ I. Bài học này giới thiệu phép nhân giữa một số thực $k$ và một vectơ $overrightarrow{a}$, tạo ra một vectơ mới $overrightarrow{b}$ với các tính chất đặc trưng về độ dài và hướng. Việc nắm vững công thức tích vô hướng và các tính chất phép toán vector giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến sự thẳng hàng, trung điểm, trọng tâm và đặc biệt là kỹ năng biểu thị vector theo hai vector không cùng phương. Đây là kiến thức cốt lõi, là chìa khóa để giải quyết mọi bài tập từ cơ bản đến nâng cao trong chương trình học.

Lý Thuyết Trọng Tâm Về Tích Của Vecto Với Một Số

Chương trình Toán lớp 10, đặc biệt là phần vectơ, đóng vai trò cầu nối giữa hình học Euclid truyền thống và hình học giải tích hiện đại. Phép nhân vectơ với một số là công cụ toán học mạnh mẽ để thể hiện mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ.

Định nghĩa và Ký Hiệu Phép Nhân Vecto Với Một Số

Phép nhân của một số thực $k$ (vô hướng) với một vectơ $overrightarrow{a}$ (hữu hướng) cho kết quả là một vectơ mới, ký hiệu là $koverrightarrow{a}$. Vectơ mới $koverrightarrow{a}$ có những đặc điểm sau:

Về độ dài: Độ dài của $koverrightarrow{a}$ bằng $|k| cdot |overrightarrow{a}|$.
Về hướng:
- Nếu $k > 0$, $overrightarrow{k a}$ cùng hướng với $overrightarrow{a}$.
- Nếu $k < 0$, $overrightarrow{k a}$ ngược hướng với $overrightarrow{a}$.
- Nếu $k = 0$ hoặc $overrightarrow{a} = overrightarrow{0}$, thì $koverrightarrow{a} = overrightarrow{0}$.

Định nghĩa này là cơ sở để thiết lập mối quan hệ vecto cùng phương giữa các đoạn thẳng trong hình học. Hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực $k$ khác 0 sao cho $overrightarrow{b} = koverrightarrow{a}$.

Các Tính Chất Cơ Bản của Phép Nhân Vecto Với Một Số

Giống như các phép toán số học thông thường, phép nhân vectơ với một số cũng tuân theo các tính chất phân phối và kết hợp. Việc vận dụng linh hoạt các tính chất này là chìa khóa để đơn giản hóa các biểu thức vectơ phức tạp.

Tính chất kết hợp: $k(loverrightarrow{a}) = (kl)overrightarrow{a}$.
Tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ: $k(overrightarrow{a} + overrightarrow{b}) = koverrightarrow{a} + koverrightarrow{b}$.
Tính chất phân phối đối với phép cộng số: $(k + l)overrightarrow{a} = koverrightarrow{a} + loverrightarrow{a}$.
Tính chất nhân với số 1: $1overrightarrow{a} = overrightarrow{a}$ và $(-1)overrightarrow{a} = -overrightarrow{a}$.

Các tính chất này cho phép học sinh biến đổi các biểu thức vectơ thành dạng tối giản, thuận lợi cho việc giải toán 10 bài tích của vecto với một số một cách chính xác.

Biểu Thị Vecto Theo Hai Vecto Không Cùng Phương

Một ứng dụng cực kỳ quan trọng của phép nhân vectơ với một số là nguyên tắc phân tích vecto. Trong mặt phẳng, nếu cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ không cùng phương, thì mọi vectơ $overrightarrow{c}$ đều có thể biểu thị một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$. Công thức tổng quát là:
$$overrightarrow{c} = moverrightarrow{a} + noverrightarrow{b}$$
Với $m$ và $n$ là các số thực duy nhất.
Kỹ năng này là trung tâm của mọi bài toán hình học vectơ. Nó giúp chuyển một vấn đề hình học thành một vấn đề đại số thông qua hệ tọa độ hoặc hệ cơ sở vectơ.

Ứng Dụng vào Điều Kiện Thẳng Hàng và Điểm Chia Đoạn Thẳng

Điều kiện thẳng hàng của ba điểm A, B, C là một ứng dụng trực tiếp của tính chất cùng phương, vốn được định nghĩa thông qua phép nhân vectơ với một số. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực $k neq 0$ sao cho $overrightarrow{AB} = koverrightarrow{AC}$.

Nếu $k > 0$, B nằm ngoài đoạn AC.
Nếu $k < 0$, B nằm giữa A và C.
Nếu $k in (0, 1)$, C nằm ngoài đoạn AB.

Công thức điểm chia đoạn thẳng cũng là một kết quả của phép nhân vectơ với một số. Nếu điểm $M$ chia đoạn $AB$ theo tỷ lệ $k$ (tức là $overrightarrow{MA} = koverrightarrow{MB}$), ta có công thức biểu diễn vectơ vị trí của $M$ theo một điểm gốc $O$ bất kỳ:
$$overrightarrow{OM} = frac{1}{1-k}overrightarrow{OA} – frac{k}{1-k}overrightarrow{OB}$$
Trường hợp đặc biệt, nếu $M$ là trung điểm của $AB$, ta có $overrightarrow{MA} = -overrightarrow{MB}$, tức $k=-1$. Công thức trở thành $overrightarrow{OM} = frac{1}{2}overrightarrow{OA} + frac{1}{2}overrightarrow{OB}$.

Phương Pháp Giải Các Dạng Bài Tập Thường Gặp

Để thành thạo chuyên đề giải toán 10 bài tích của vecto với một số, học sinh cần luyện tập qua bốn dạng bài tập cốt lõi được trình bày trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo.

Dạng 1: Biểu diễn một vectơ qua hai vectơ khác

Mục tiêu của dạng bài này là sử dụng các quy tắc hình bình hành và quy tắc ba điểm cùng với phép nhân vectơ với một số để biểu thị một vectơ $overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ gốc $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AD}$. Đây là nền tảng của kỹ năng phân tích và tổ hợp vectơ.

Phương pháp:

Chọn một điểm trung gian thích hợp (thường là trung điểm, đỉnh, hoặc điểm đã cho).
Sử dụng quy tắc ba điểm: $overrightarrow{AM} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BM}$.
Biểu thị các vectơ trung gian ($overrightarrow{BM}$) theo các vectơ cơ sở ($overrightarrow{AD}$) thông qua mối quan hệ cùng phương và độ dài (ví dụ: $overrightarrow{BM} = koverrightarrow{AD}$).

Phân tích Bài 4.11: Bài toán yêu cầu biểu thị $overrightarrow{AM}$ theo $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AD}$ trong hình bình hành $ABCD$ với $M$ là trung điểm $BC$.

Hướng tiếp cận: Sử dụng $overrightarrow{AM} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BM}$.
Do $M$ là trung điểm $BC$, ta có $overrightarrow{BM} = frac{1}{2}overrightarrow{BC}$.
Trong hình bình hành $ABCD$, ta có $overrightarrow{BC} = overrightarrow{AD}$.
Kết quả: $overrightarrow{AM} = overrightarrow{AB} + frac{1}{2}overrightarrow{AD}$.

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm

Dạng bài này yêu cầu chứng minh một đẳng thức vectơ, thường liên quan đến các trung điểm tam giác hoặc tứ giác. Nó đòi hỏi khả năng biến đổi linh hoạt, áp dụng quy tắc trung điểm và các tính chất cơ bản của phép cộng, trừ và nhân vectơ với một số.

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc trung điểm: $overrightarrow{MN} = frac{1}{2}(overrightarrow{AB} + overrightarrow{CD})$ nếu $M, N$ là trung điểm $AC, BD$.
Biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản, hoặc biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức trung gian.
Áp dụng quy tắc hình bình hành để thay thế các vectơ tương đương.

Phân tích Bài 4.12: Chứng minh $overrightarrow{BC} + overrightarrow{AD} = 2overrightarrow{MN} = overrightarrow{AC} + overrightarrow{BD}$ với $M, N$ là trung điểm $AB, CD$.

Hướng tiếp cận 1 (Vế $2overrightarrow{MN}$): Sử dụng công thức trung điểm: $overrightarrow{MN} = overrightarrow{MA} + overrightarrow{AD} + overrightarrow{DN}$ và $overrightarrow{MN} = overrightarrow{MB} + overrightarrow{BC} + overrightarrow{CN}$. Cộng hai đẳng thức lại.
- $2overrightarrow{MN} = (overrightarrow{MA} + overrightarrow{MB}) + (overrightarrow{AD} + overrightarrow{BC}) + (overrightarrow{DN} + overrightarrow{CN})$.
- Do $M$ là trung điểm $AB$, $overrightarrow{MA} + overrightarrow{MB} = overrightarrow{0}$.
- Do $N$ là trung điểm $CD$, $overrightarrow{DN}$ ngược hướng $overrightarrow{NC}$, nên $overrightarrow{DN} + overrightarrow{CN} = overrightarrow{DN} – overrightarrow{ND} = overrightarrow{DN} – overrightarrow{CN} neq overrightarrow{0}$ (Lỗi suy luận ở bài gốc, cần sửa).
- Sửa: Dùng công thức trung điểm mở rộng: $2overrightarrow{MN} = overrightarrow{AD} + overrightarrow{CB}$. Đẳng thức cần chứng minh là $overrightarrow{BC} + overrightarrow{AD} = 2overrightarrow{MN}$ (Sử dụng $overrightarrow{AD} – overrightarrow{BC} = 2overrightarrow{MN}$ mới đúng).
Hướng tiếp cận 2 (Vế $overrightarrow{AC} + overrightarrow{BD}$): Phân tích bằng quy tắc chèn điểm. $overrightarrow{AC} + overrightarrow{BD} = (overrightarrow{AD} + overrightarrow{DC}) + (overrightarrow{BC} + overrightarrow{CD})$.
- Khai triển: $overrightarrow{AD} + overrightarrow{DC} + overrightarrow{BC} – overrightarrow{DC} = overrightarrow{AD} + overrightarrow{BC}$. Vế này chứng minh được.

Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn điều kiện vectơ

Đây là dạng bài áp dụng trực tiếp các tính chất của phép nhân vectơ với một số để tìm vị trí của một điểm $K$ hoặc $M$ thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước, ví dụ: $koverrightarrow{KA} + loverrightarrow{KB} = overrightarrow{0}$.

Phương pháp:

Chèn điểm: Chọn một điểm gốc $O$ bất kỳ (thường là $A$ hoặc $O$ theo yêu cầu) để chèn vào đẳng thức: $overrightarrow{KA} = overrightarrow{OA} – overrightarrow{OK}$.
Rút gọn: Thay thế và rút gọn để biểu diễn $overrightarrow{OK}$ theo $overrightarrow{OA}$ và $overrightarrow{OB}$.
Xác định vị trí: Dựa vào biểu thức $overrightarrow{OK} = moverrightarrow{OA} + noverrightarrow{OB}$ và $m+n=1$ (cho bài toán điểm chia đoạn thẳng), ta suy ra vị trí của $K$.

Phân tích Bài 4.13: Xác định điểm $K$ sao cho $overrightarrow{KA} + 2overrightarrow{KB} = overrightarrow{0}$.

Xác định vị trí: $overrightarrow{KA} = -2overrightarrow{KB} = 2overrightarrow{BK}$. Vectơ $overrightarrow{KA}$ và $overrightarrow{BK}$ cùng hướng. Do đó $K$ phải nằm giữa $A$ và $B$ và thỏa mãn $KA = 2KB$. Điểm $K$ chia đoạn $AB$ theo tỷ lệ $frac{KB}{KA} = frac{1}{2}$.
Chứng minh công thức: Chứng minh $overrightarrow {OK} = frac{1}{3}overrightarrow {OA} + frac{2}{3}overrightarrow {OB}$.

Dạng 4: Ứng dụng vật lý – Lực cân bằng

Đây là dạng bài tập thực tiễn, áp dụng nguyên tắc tổng hợp lực (bằng phép cộng vectơ) và điều kiện cân bằng. Điều kiện lực cân bằng là tổng các vectơ lực tác động lên chất điểm bằng vectơ không: $overrightarrow{F_1} + overrightarrow{F_2} + dots + overrightarrow{F_n} = overrightarrow{0}$.

Phương pháp:

Tổng hợp lực: Tính $overrightarrow{F}_{hợp} = overrightarrow{F_1} + overrightarrow{F_2}$ bằng quy tắc hình bình hành.
Điều kiện cân bằng: $overrightarrow{F}_{hợp} + overrightarrow{F3} = overrightarrow{0}$, suy ra $overrightarrow{F}{hợp}$ và $overrightarrow{F3}$ là hai vectơ đối nhau, tức là $|overrightarrow{F}{hợp}| = |overrightarrow{F_3}|$ và chúng nằm trên cùng một đường thẳng.
Sử dụng Hình học: Áp dụng các định lý hình học (Pythagoras, hàm lượng giác) để tính độ dài (độ lớn lực) dựa trên góc và độ lớn lực đã biết.

Phân tích Bài 4.15: Tính độ lớn $F_2, F_3$ khi $F_1 = 20N$ và chất điểm cân bằng.

Tổng hợp lực: $overrightarrow{F_1} + overrightarrow{F_2} = overrightarrow{R}$ (gọi là $overrightarrow{OD}$ trong lời giải gốc).
Cân bằng: $overrightarrow{R} + overrightarrow{F_3} = overrightarrow{0}$, suy ra $|overrightarrow{R}| = |overrightarrow{F_3}|$.
Hình học: Tam giác tạo bởi $overrightarrow{F_1}, overrightarrow{F_2}$ và $overrightarrow{R}$ là tam giác vuông (do $F_1 perp F_2$). Góc giữa $F_1$ và $F_3$ là $150^circ$. Góc giữa $F_1$ và $overrightarrow{R}$ là $30^circ$.
Sử dụng lượng giác trong tam giác vuông: $F_2 = F_1 cdot tan(30^circ)$ và $F_3 = frac{F_1}{sin(30^circ)}$ (lời giải gốc dùng $60^circ$ do quy ước góc khác, cần kiểm tra lại hình vẽ SGK, nhưng quy trình tính toán là đúng).

Giải Chi Tiết Bài Tập Sách Giáo Khoa Toán 10 KNTT

Sau khi nắm vững lý thuyết và phương pháp, chúng ta tiến hành giải toán 10 bài tích của vecto với một số chi tiết các bài tập trong SGK.

Bài 4.11 trang 58: Biểu thị Vectơ trong Hình Bình Hành

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị $overrightarrow {AM}$ theo hai vectơ $overrightarrow {AB}$ và $overrightarrow {AD}$.

Phân tích chuyên sâu: Bài toán này là điển hình của Dạng 1, sử dụng quy tắc ba điểm và tính chất trung điểm. Vectơ $overrightarrow {AB}$ và $overrightarrow {AD}$ là hai vectơ cơ sở không cùng phương của hình bình hành.

Lời giải chi tiết:
Ta sử dụng quy tắc ba điểm để phân tích $overrightarrow{AM}$ theo một điểm trung gian, ở đây là $B$:
$$overrightarrow {AM} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {BM}$$
Vì $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, theo định nghĩa trung điểm, vectơ $overrightarrow {BM}$ cùng phương và cùng chiều với $overrightarrow {BC}$, và có độ dài bằng một nửa. Do đó:
$$overrightarrow {BM} = frac{1}{2}overrightarrow {BC}$$
Trong hình bình hành $ABCD$, ta có $overrightarrow {BC} = overrightarrow {AD}$ (hai cạnh đối diện song song và bằng nhau).
Thay thế $overrightarrow {BC}$ bằng $overrightarrow {AD}$ vào biểu thức trên:
$$overrightarrow {BM} = frac{1}{2}overrightarrow {AD}$$
Cuối cùng, thay biểu thức của $overrightarrow {BM}$ vào công thức $overrightarrow {AM}$:
$$overrightarrow {AM} = overrightarrow {AB} + frac{1}{2}overrightarrow {AD}$$
Vậy ta đã biểu thị được $overrightarrow {AM}$ theo $overrightarrow {AB}$ và $overrightarrow {AD}$.

Hình vẽ minh họa biểu thị vectơ AMHình ảnh minh họa vị trí các vectơ trong hình bình hành ABCD với M là trung điểm BC.
Hình vẽ minh họa quy tắc hình bình hành cho vectơ AMHình ảnh bổ sung quy tắc hình bình hành để xác định $2overrightarrow{AM} = overrightarrow{AE}$.

Bài 4.12 trang 58: Chứng minh Đẳng thức Vectơ Trung Điểm

Đề bài: Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB, CD$. Chứng minh rằng: $overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} = 2overrightarrow {MN} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD}$.

Phân tích chuyên sâu: Đây là bài toán về tính chất vector trung điểm trong tứ giác, thuộc Dạng 2. Ta sẽ chứng minh đẳng thức kép bằng cách biến đổi vế đầu và vế cuối về vế giữa hoặc biến đổi các vế thành cùng một biểu thức trung gian.

Lời giải chi tiết:

1. Chứng minh $overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD}$
Ta sẽ biến đổi vế trái $overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD}$ bằng cách sử dụng quy tắc ba điểm (chèn điểm $D$ vào $overrightarrow {AC}$ và chèn điểm $C$ vào $overrightarrow {BD}$):
$$overrightarrow {AC} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {DC}$$
$$overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {CD}$$
Cộng hai đẳng thức lại:
$$overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = (overrightarrow {AD} + overrightarrow {DC}) + (overrightarrow {BC} + overrightarrow {CD})$$
$$overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} + (overrightarrow {DC} + overrightarrow {CD})$$
Vì $overrightarrow {DC}$ và $overrightarrow {CD}$ là hai vectơ đối nhau nên $overrightarrow {DC} + overrightarrow {CD} = overrightarrow {0}$.
$$overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC}$$
Như vậy, ta đã chứng minh được $overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD}$. (Phần $()$ trong bài gốc)

2. Chứng minh $overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} = 2overrightarrow {MN}$
Sử dụng quy tắc chèn điểm $M$ và $N$ vào các vectơ $overrightarrow{AD}$ và $overrightarrow{BC}$.
$$overrightarrow {AD} = overrightarrow {AM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {ND}$$
$$overrightarrow {BC} = overrightarrow {BM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {NC}$$
Cộng hai biểu thức trên:
$$overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} = (overrightarrow {AM} + overrightarrow {BM}) + 2overrightarrow {MN} + (overrightarrow {ND} + overrightarrow {NC})$$
Vì $M$ là trung điểm của $AB$, nên $overrightarrow {AM}$ và $overrightarrow {BM}$ là hai vectơ đối nhau: $overrightarrow {AM} + overrightarrow {BM} = overrightarrow {0}$.
Vì $N$ là trung điểm của $CD$, nên $overrightarrow {ND}$ và $overrightarrow {NC}$ là hai vectơ đối nhau: $overrightarrow {ND} + overrightarrow {NC} = overrightarrow {0}$.
Thay thế vào biểu thức tổng:
$$overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {0} + 2overrightarrow {MN} + overrightarrow {0}$$
$$overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} = 2overrightarrow {MN}$$
Từ (1) và (2) ta suy ra $overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} = 2overrightarrow {MN} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD}$.

Hình vẽ minh họa tứ giác ABCD và trung điểm MNHình ảnh mô tả tứ giác ABCD với M, N là trung điểm của AB và CD.

Bài 4.13 trang 58: Xác định Điểm Chia Đoạn Thẳng Theo Tỷ Lệ

Đề bài: Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
a) Hãy xác định điểm $K$ sao cho $overrightarrow {KA} + 2overrightarrow {KB} = overrightarrow 0$.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có: $overrightarrow {OK} = frac{1}{3}overrightarrow {OA} + frac{2}{3}overrightarrow {OB}$.

Phân tích chuyên sâu: Bài toán này thuộc Dạng 3, áp dụng công thức điểm chia đoạn thẳng và kỹ thuật chèn điểm gốc $O$ để chứng minh đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

a) Xác định điểm $K$:
Từ đẳng thức $overrightarrow {KA} + 2overrightarrow {KB} = overrightarrow 0$, ta suy ra:
$$overrightarrow {KA} = -2overrightarrow {KB} = 2overrightarrow {BK}$$
Mối quan hệ này cho biết:

Vectơ $overrightarrow {KA}$ và $overrightarrow {BK}$ là hai vectơ cùng hướng. Điều này chứng tỏ điểm $K$ phải nằm giữa $A$ và $B$.
Độ dài $KA$ bằng hai lần độ dài $KB$: $KA = 2KB$.
Do đó, điểm $K$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $AB$ và thỏa mãn $KA = 2KB$. Điều này có nghĩa $K$ chia đoạn $AB$ thành ba phần, $AK$ chiếm hai phần và $KB$ chiếm một phần, hay $K$ là điểm gần $B$ hơn.

Hình ảnh minh họa vị trí điểm K trên đoạn thẳng AB thỏa mãn $overrightarrow {KA} + 2overrightarrow {KB} = overrightarrow 0$.

b) Chứng minh đẳng thức:
Ta cần chứng minh $overrightarrow {OK} = frac{1}{3}overrightarrow {OA} + frac{2}{3}overrightarrow {OB}$.
Sử dụng quy tắc hiệu vectơ để chèn điểm $K$ vào vế phải (VP):
$$overrightarrow {OA} = overrightarrow {OK} + overrightarrow {KA}$$
$$overrightarrow {OB} = overrightarrow {OK} + overrightarrow {KB}$$
Thay thế vào VP:
$$VP = frac{1}{3}overrightarrow {OA} + frac{2}{3}overrightarrow {OB}$$
$$VP = frac{1}{3}(overrightarrow {OK} + overrightarrow {KA}) + frac{2}{3}(overrightarrow {OK} + overrightarrow {KB})$$
$$VP = frac{1}{3}overrightarrow {OK} + frac{1}{3}overrightarrow {KA} + frac{2}{3}overrightarrow {OK} + frac{2}{3}overrightarrow {KB}$$
Sắp xếp lại các hạng tử:
$$VP = (frac{1}{3}overrightarrow {OK} + frac{2}{3}overrightarrow {OK}) + (frac{1}{3}overrightarrow {KA} + frac{2}{3}overrightarrow {KB})$$
$$VP = overrightarrow {OK} + frac{1}{3}(overrightarrow {KA} + 2overrightarrow {KB})$$
Theo giả thiết của câu $a)$, ta có $overrightarrow {KA} + 2overrightarrow {KB} = overrightarrow 0$.
$$VP = overrightarrow {OK} + frac{1}{3}overrightarrow {0} = overrightarrow {OK}$$
Vậy, ta đã chứng minh được $overrightarrow {OK} = frac{1}{3}overrightarrow {OA} + frac{2}{3}overrightarrow {OB}$ (bằng $VT$).

Hình vẽ minh họa chứng minh đẳng thức vectơ OKHình ảnh thể hiện mối quan hệ vectơ của điểm O, A, B, K.

Bài 4.14 trang 58: Xác định Điểm Thỏa Mãn Tổng Vectơ

Đề bài: Cho tam giác $ABC$.
a) Hãy xác định điểm $M$ để $overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + 2overrightarrow {MC} = overrightarrow 0$.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có: $overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + 2overrightarrow {OC} = 4overrightarrow {OM}$.

Phân tích chuyên sâu: Bài toán này mở rộng khái niệm trung điểm sang trọng tâm tam giác và sử dụng một điểm phụ $G$ (trọng tâm) để đơn giản hóa biểu thức, thuộc Dạng 3 nâng cao.

Lời giải chi tiết:

a) Xác định điểm $M$:
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Theo tính chất trọng tâm tam giác, ta có:
$$overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0$$
Áp dụng quy tắc chèn điểm $G$ vào đẳng thức $overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + 2overrightarrow {MC} = overrightarrow 0$:
$$(overrightarrow {MG} + overrightarrow {GA}) + (overrightarrow {MG} + overrightarrow {GB}) + 2(overrightarrow {MG} + overrightarrow {GC}) = overrightarrow 0$$
Phân phối và nhóm các hạng tử:
$$(1+1+2)overrightarrow {MG} + (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC}) + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0$$
$$(4overrightarrow {MG}) + (overrightarrow {0}) + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0$$
$$4overrightarrow {MG} + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0$$
Từ đó, ta có:
$$4overrightarrow {MG} = -overrightarrow {GC} = overrightarrow {CG}$$
$$overrightarrow {MG} = frac{1}{4}overrightarrow {CG}$$
Mối quan hệ này cho thấy $overrightarrow {MG}$ và $overrightarrow {CG}$ là hai vectơ cùng hướng, nghĩa là điểm $M$ nằm giữa $C$ và $G$.
Đồng thời, độ dài $MG$ bằng một phần tư độ dài $CG$: $MG = frac{1}{4}CG$.
Vậy, $M$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $CG$, gần $G$ hơn, và chia $CG$ theo tỷ lệ $MC = 3MG$.

Hình vẽ minh họa xác định điểm MHình ảnh minh họa vị trí điểm M trên đoạn thẳng CG trong tam giác ABC.

b) Chứng minh đẳng thức:
Ta cần chứng minh $overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + 2overrightarrow {OC} = 4overrightarrow {OM}$.
Sử dụng quy tắc chèn điểm $M$ vào vế trái (VT):
$$overrightarrow {OA} = overrightarrow {OM} + overrightarrow {MA}$$
$$overrightarrow {OB} = overrightarrow {OM} + overrightarrow {MB}$$
$$2overrightarrow {OC} = 2(overrightarrow {OM} + overrightarrow {MC}) = 2overrightarrow {OM} + 2overrightarrow {MC}$$
Cộng các đẳng thức lại để có VT:
$$VT = (overrightarrow {OM} + overrightarrow {MA}) + (overrightarrow {OM} + overrightarrow {MB}) + (2overrightarrow {OM} + 2overrightarrow {MC})$$
Nhóm các hạng tử:
$$VT = (1+1+2)overrightarrow {OM} + (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + 2overrightarrow {MC})$$
$$VT = 4overrightarrow {OM} + (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + 2overrightarrow {MC})$$
Theo kết quả câu $a)$, ta có $overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + 2overrightarrow {MC} = overrightarrow 0$.
$$VT = 4overrightarrow {OM} + overrightarrow {0} = 4overrightarrow {OM}$$
Vậy, ta đã chứng minh được $overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + 2overrightarrow {OC} = 4overrightarrow {OM}$ (bằng $VP$).

Bài 4.15 trang 58: Ứng dụng Vectơ vào Bài Toán Vật Lý (Lực Cân Bằng)

Đề bài: Chất điểm $A$ chịu tác động của ba lực $overrightarrow {{F_1}} ; overrightarrow {{F_2}} ; overrightarrow {{F_3}}$ như hình $4.30$ và ở trạng thái cân bằng (tức là $overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow 0$). Tính độ lớn của các lực $overrightarrow {{F_2}} ; overrightarrow {{F_3}}$ biết $overrightarrow {{F_1}}$ có độ lớn là $20N$.

Phân tích chuyên sâu: Bài toán thuộc Dạng 4. Điều kiện cân bằng vectơ $overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} = -overrightarrow {{F_3}}$ cho thấy vectơ tổng hợp của $overrightarrow {{F_1}}$ và $overrightarrow {{F_2}}$ phải đối nhau với $overrightarrow {{F_3}}$. Hình vẽ cho thấy $overrightarrow {F_1}$ vuông góc với $overrightarrow {F_2}$ và góc giữa $overrightarrow {F_1}$ và $overrightarrow {F_3}$ là $150^circ$.

Lời giải chi tiết:

1. Tổng hợp lực và Điều kiện Cân Bằng:
Theo điều kiện cân bằng:
$$overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow 0$$
Suy ra:
$$overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} = -overrightarrow {{F_3}}$$
Gọi $overrightarrow {R} = overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}}$ là vectơ hợp lực.
Thì $overrightarrow {R} = -overrightarrow {{F_3}}$, tức là $overrightarrow {R}$ và $overrightarrow {{F_3}}$ cùng phương, ngược chiều, và có độ lớn bằng nhau: $|overrightarrow {R}| = |overrightarrow {{F_3}}|$.

2. Xác định Hình học:
Vì $overrightarrow {{F_1}} perp overrightarrow {{F_2}}$, vectơ hợp lực $overrightarrow {R}$ được xác định bởi đường chéo của hình chữ nhật tạo bởi $overrightarrow {{F_1}}$ và $overrightarrow {{F_2}}$ (hoặc hình bình hành đặc biệt là hình chữ nhật).
Áp dụng định lý Pythagoras, độ lớn của hợp lực $overrightarrow {R}$ là:
$$|overrightarrow {R}|^2 = |overrightarrow {{F_1}}|^2 + |overrightarrow {{F_2}}|^2$$
Theo hình vẽ, góc giữa $overrightarrow {F_1}$ và $overrightarrow {F_3}$ là $150^circ$. Do $overrightarrow {R}$ đối với $overrightarrow {F_3}$, góc giữa $overrightarrow {F_1}$ và $overrightarrow {R}$ phải là $180^circ – 150^circ = 30^circ$.

Hình vẽ minh họa phân tích lực cân bằngHình ảnh phân tích hợp lực $overrightarrow{R}$ và mối quan hệ với $overrightarrow{F_3}$.

3. Tính Độ lớn Lực $overrightarrow {{F_2}}$ và $overrightarrow {{F_3}}$:
Xét tam giác vuông tạo bởi $overrightarrow {F_1}, overrightarrow {F_2}$ và $overrightarrow {R}$. Góc giữa $overrightarrow {F_1}$ và $overrightarrow {R}$ là $alpha = 30^circ$.

Tính $F_2$:
Ta có $tan alpha = frac{|overrightarrow {{F_2}}|}{|overrightarrow {{F_1}}|}$.
$$|overrightarrow {{F_2}}| = |overrightarrow {{F_1}}| cdot tan 30^circ$$
$$|overrightarrow {{F_2}}| = 20 cdot frac{1}{sqrt{3}} = frac{20sqrt{3}}{3} left(Nright)$$
Tính $F_3$ (bằng $|overrightarrow {R}|$):
Ta có $cos alpha = frac{|overrightarrow {{F_1}}|}{|overrightarrow {R}|}$.
$$|overrightarrow {R}| = frac{|overrightarrow {{F_1}}|}{cos 30^circ}$$
$$|overrightarrow {R}| = frac{20}{frac{sqrt{3}}{2}} = frac{40}{sqrt{3}} = frac{40sqrt{3}}{3} left(Nright)$$
Vì $|overrightarrow {F_3}| = |overrightarrow {R}|$, nên:
$$|overrightarrow {F_3}| = frac{40sqrt{3}}{3} left(Nright)$$

Vậy, độ lớn của hai lực $overrightarrow {{F_2}}$ và $overrightarrow {{F_3}}$ lần lượt là $frac{20sqrt{3}}{3} N$ và $frac{40sqrt{3}}{

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 30, 2025 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.