Giải Bài 4.21 Trang 70 SGK Toán 10 – Kết Nối Tri Thức
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, việc tính toán góc giữa hai vectơ là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Bài viết này tập trung vào việc giải bài 4.21 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức, cung cấp một cái nhìn chi tiết và dễ hiểu về cách xác định góc này thông qua các công thức và phương pháp chuẩn xác. Chúng ta sẽ đi sâu vào từng bước giải, làm rõ mối liên hệ giữa tích vô hướng của hai vectơ và góc tạo bởi chúng, cùng với việc áp dụng linh hoạt các kiến thức về tọa độ Oxy để đưa ra kết quả cuối cùng.
Đề Bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) trong mỗi trường hợp sau:
a) (overrightarrow a = ( – 3;1),;overrightarrow b = (2;6))
b) (overrightarrow a = (3;1),;overrightarrow b = (2;4))
c) (overrightarrow a = ( – sqrt 2 ;1),;overrightarrow b = (2; – sqrt 2 ))
Phân Tích Yêu Cầu
Bài toán yêu cầu chúng ta xác định số đo góc tạo bởi hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) trong ba trường hợp khác nhau. Mỗi trường hợp đều cung cấp tọa độ của hai vectơ trong mặt phẳng Oxy. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng kiến thức về định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ và mối liên hệ của nó với góc giữa hai vectơ đó. Các dữ kiện quan trọng bao gồm tọa độ của (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) trong mỗi phần a), b), c). Hướng giải chung là sử dụng công thức tính tích vô hướng để suy ra cosin của góc giữa hai vectơ, từ đó tìm ra số đo góc.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để tính góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng tọa độ, chúng ta dựa vào định nghĩa và công thức của tích vô hướng.
Cho hai vectơ (overrightarrow a = ({a_1}; {a_2})) và (overrightarrow b = ({b_1}; {b_2})) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Tích vô hướng của hai vectơ:
(overrightarrow a .overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2})Độ dài (mô-đun) của vectơ:
(left| {overrightarrow a } right| = sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2})
(left| {overrightarrow b } right| = sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2})Công thức tính góc giữa hai vectơ:
Góc ( alpha ) giữa hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) được xác định bởi:
(cos alpha = frac{{overrightarrow a .overrightarrow b }}{{left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|}}), với ( 0^o le alpha le 180^o ).Từ đó, ta có ( alpha = arccos left( frac{{overrightarrow a .overrightarrow b }}{{left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|}} right) ).
Các trường hợp đặc biệt:
- Nếu (overrightarrow a .overrightarrow b = 0), thì (overrightarrow a ) vuông góc với (overrightarrow b ) ((overrightarrow a bot overrightarrow b )), suy ra góc giữa chúng là ( 90^o ).
- Nếu hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) cùng phương, tức là (overrightarrow a = koverrightarrow b ) (hoặc (overrightarrow b = koverrightarrow a )) với ( k ) là một số thực khác 0:
- Nếu ( k > 0 ), (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) cùng hướng, góc giữa chúng là ( 0^o ).
- Nếu ( k < 0 ), (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) ngược hướng, góc giữa chúng là ( 180^o ).
Việc kiểm tra các trường hợp đặc biệt này trước có thể giúp đơn giản hóa bài toán.
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Chúng ta sẽ tiến hành giải từng phần của bài toán theo các bước đã phân tích.
Phần a) (overrightarrow a = ( – 3;1),;overrightarrow b = (2;6))
Bước 1: Tính tích vô hướng của (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ).
Sử dụng công thức: (overrightarrow a .overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}).
Với ( {a_1} = – 3, {a_2} = 1 ) và ( {b_1} = 2, {b_2} = 6 ), ta có:
(overrightarrow a .overrightarrow b = ( – 3) times 2 + 1 times 6 = – 6 + 6 = 0).
Bước 2: Nhận xét về kết quả tích vô hướng.
Vì (overrightarrow a .overrightarrow b = 0), điều này cho thấy hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) vuông góc với nhau.
Bước 3: Xác định góc giữa hai vectơ.
Khi hai vectơ vuông góc, góc giữa chúng là ( 90^o ).
Vậy, ( left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {90^o} ).
Mẹo kiểm tra:
Khi hai vectơ có tọa độ ( (x_1, y_1) ) và ( (x_2, y_2) ), tích vô hướng bằng ( x_1x_2 + y_1y_2 ). Nếu tổng này bằng 0, hai vectơ đó vuông góc. Trong trường hợp này, ( (-3)(2) + (1)(6) = -6 + 6 = 0 ), kết quả là chính xác.
Lỗi hay gặp:
Quên kiểm tra trường hợp tích vô hướng bằng 0 trước khi áp dụng công thức cosin đầy đủ. Điều này có thể dẫn đến việc tính toán độ dài và arccos không cần thiết.
Phần b) (overrightarrow a = (3;1),;overrightarrow b = (2;4))
Bước 1: Tính tích vô hướng của (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ).
(overrightarrow a .overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2})
Với ( {a_1} = 3, {a_2} = 1 ) và ( {b_1} = 2, {b_2} = 4 ):
(overrightarrow a .overrightarrow b = 3 times 2 + 1 times 4 = 6 + 4 = 10).
Bước 2: Tính độ dài (mô-đun) của hai vectơ.
Độ dài của (overrightarrow a ):
(left| {overrightarrow a } right| = sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} = sqrt {{3^2} + {1^2}} = sqrt {9 + 1} = sqrt {10}).
Độ dài của (overrightarrow b ):
(left| {overrightarrow b } right| = sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} = sqrt {{2^2} + {4^2}} = sqrt {4 + 16} = sqrt {20}).
Chúng ta có thể rút gọn ( sqrt {20} = sqrt {4 times 5} = 2sqrt 5 ).
Bước 3: Tính cosin của góc giữa hai vectơ.
Sử dụng công thức: (cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = frac{{overrightarrow a .overrightarrow b }}{{left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|}}).
(cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = frac{{10}}{{sqrt {10} .2sqrt 5 }} = frac{{10}}{{2sqrt {50}}} = frac{{10}}{{2sqrt {25 times 2}}} = frac{{10}}{{2 times 5sqrt 2 }} = frac{{10}}{{10sqrt 2 }} = frac{1}{{sqrt 2 }}).
Nhân cả tử và mẫu với ( sqrt 2 ) để trục căn thức ở mẫu:
(cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = frac{{sqrt 2 }}{2}).
Bước 4: Xác định góc giữa hai vectơ.
Tìm góc ( alpha ) sao cho ( cos alpha = frac{{sqrt 2 }}{2} ) và ( 0^o le alpha le 180^o ).
Ta biết ( cos {45^o} = frac{{sqrt 2 }}{2} ).
Vậy, ( left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {45^o} ).
Mẹo kiểm tra:
Kiểm tra lại các phép tính nhân, cộng, bình phương, căn bậc hai. Đảm bảo việc rút gọn phân số và trục căn thức được thực hiện chính xác. Tính ( sqrt{10} times 2sqrt{5} = 2 sqrt{50} = 2 sqrt{25 times 2} = 2 times 5 sqrt{2} = 10sqrt{2} ). Tỷ số là ( frac{10}{10sqrt{2}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} ).
Lỗi hay gặp:
Sai sót trong các phép tính số học, đặc biệt là khi làm việc với căn bậc hai hoặc khi rút gọn biểu thức. Nhầm lẫn giữa ( frac{1}{sqrt{2}} ) và ( frac{sqrt{2}}{2} ) hoặc giá trị cosin của các góc cơ bản.
Phần c) (overrightarrow a = ( – sqrt 2 ;1),;overrightarrow b = (2; – sqrt 2 ))
Bước 1: Kiểm tra xem hai vectơ có cùng phương không.
Hai vectơ (overrightarrow a = ({a_1}; {a_2})) và (overrightarrow b = ({b_1}; {b_2})) cùng phương nếu tồn tại số ( k ) sao cho ( {a_1} = k{b_1} ) và ( {a_2} = k{b_2} ). Hoặc kiểm tra tỷ lệ tọa độ: ( frac{a_1}{b_1} = frac{a_2}{b_2} ) (nếu mẫu khác 0).
Ta có ( {a_1} = -sqrt 2 ), ( {a_2} = 1 ) và ( {b_1} = 2 ), ( {b_2} = -sqrt 2 ).
Xét tỷ lệ:
( frac{{a_1}}{{b_1}} = frac{{ – sqrt 2 }}{2} )
( frac{{a_2}}{{b_2}} = frac{1}{ – sqrt 2 } = – frac{1}{{sqrt 2 }} = – frac{{sqrt 2 }}{2} ).
Vì ( frac{{ – sqrt 2 }}{2} = frac{1}{ – sqrt 2 } ) (cả hai đều bằng ( – frac{sqrt{2}}{2} )), hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) là cùng phương.
Bước 2: Xác định hai vectơ cùng hướng hay ngược hướng.
Ta có thể tìm hệ số ( k ) sao cho (overrightarrow a = koverrightarrow b ).
( {a_1} = k{b_1} Rightarrow -sqrt 2 = k(2) Rightarrow k = -frac{{sqrt 2 }}{2} ).
Kiểm tra với tọa độ thứ hai:
( {a_2} = k{b_2} Rightarrow 1 = k(- sqrt 2) Rightarrow k = -frac{1}{{sqrt 2 }} = -frac{{sqrt 2 }}{2} ).
Vì ( k = -frac{{sqrt 2 }}{2} < 0 ), hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) ngược hướng.
Bước 3: Xác định góc giữa hai vectơ.
Khi hai vectơ ngược hướng, góc giữa chúng là ( 180^o ).
Vậy, ( left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {180^o} ).
Lưu ý thêm:
Nếu chúng ta không nhận ra ngay hai vectơ cùng phương, ta vẫn có thể giải bằng công thức cosin.
Tích vô hướng: (overrightarrow a .overrightarrow b = (- sqrt 2)(2) + (1)(- sqrt 2) = – 2sqrt 2 – sqrt 2 = – 3sqrt 2 ).
Độ dài (overrightarrow a ): (left| {overrightarrow a } right| = sqrt {{ ( – sqrt 2 )}^2} + {1^2}} = sqrt {2 + 1} = sqrt 3 ).
Độ dài (overrightarrow b ): (left| {overrightarrow b } right| = sqrt {{2^2} + {( – sqrt 2 )}^2} = sqrt {4 + 2} = sqrt 6 ).
(cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = frac{{ – 3sqrt 2 }}{{sqrt 3 .sqrt 6 }} = frac{{ – 3sqrt 2 }}{{sqrt {18}}} = frac{{ – 3sqrt 2 }}{{3sqrt 2 }} = – 1).
Với ( cos alpha = – 1 ) và ( 0^o le alpha le 180^o ), ta có ( alpha = 180^o ). Kết quả này khẳng định lại nhận định ban đầu.
Mẹo kiểm tra:
Luôn ưu tiên kiểm tra tính cùng phương và hướng của hai vectơ trước. Nếu ( vec{a} = (a_1, a_2) ) và ( vec{b} = (b_1, b_2) ), chúng cùng phương nếu ( a_1b_2 – a_2b_1 = 0 ). Ở đây, ( (-sqrt{2})(-sqrt{2}) – (1)(2) = 2 – 2 = 0 ), xác nhận chúng cùng phương. Sau đó, xét dấu của ( k ) (tỷ lệ tọa độ tương ứng) hoặc đơn giản hơn là xét dấu của tích vô hướng: ( vec{a} cdot vec{b} < 0 ) nghĩa là ngược hướng, ( vec{a} cdot vec{b} > 0 ) nghĩa là cùng hướng.
Lỗi hay gặp:
Sai sót trong phép nhân số vô tỉ hoặc khi rút gọn biểu thức chứa căn thức. Có thể nhầm lẫn giữa ( frac{a_1}{b_1} ) và ( frac{a_2}{b_2} ) khi kiểm tra cùng phương.
Đáp Án/Kết Quả
Tóm tắt kết quả cuối cho từng phần của bài toán:
a) Góc giữa (overrightarrow a = ( – 3;1)) và (overrightarrow b = (2;6)) là ( 90^o ).
b) Góc giữa (overrightarrow a = (3;1)) và (overrightarrow b = (2;4)) là ( 45^o ).
c) Góc giữa (overrightarrow a = ( – sqrt 2 ;1)) và (overrightarrow b = (2; – sqrt 2 )) là ( 180^o ).
Luyện Tập Thêm
Để nắm vững hơn về cách tính góc giữa hai vectơ, học sinh nên luyện tập thêm với các bài tập có dạng tương tự, bao gồm cả các trường hợp đặc biệt (vuông góc, cùng phương, ngược hướng) và các trường hợp tổng quát cần sử dụng công thức cosin. Việc thực hành thường xuyên sẽ giúp củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán, đặc biệt là trong việc áp dụng các công thức liên quan đến tích vô hướng và tọa độ Vectơ trong mặt phẳng Oxy. Việc hiểu rõ giải toán 10 sgk trang 70 là nền tảng quan trọng cho các bài học tiếp theo.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
