Giải Toán 10 SGK Trang 70: Phân Tích Chuyên Sâu Công Thức Diện Tích Tam Giác Bằng Tích Vô Hướng (Bài 4.25, KNTT)

Học sinh đang tìm kiếm lời giải chi tiết cho giải toán 10 sgk trang 70, đặc biệt là Bài 4.25 trong Sách giáo khoa Toán 10 Kết Nối Tri Thức, sẽ tìm thấy câu trả lời toàn diện tại đây. Bài toán này là một minh chứng quan trọng, thiết lập mối liên hệ sâu sắc giữa khái niệm tích vô hướng của hai vectơ và công thức tính diện tích hình học phẳng. Việc nắm vững Hệ thức lượng trong tam giác qua lăng kính vectơ giúp học sinh nâng cao tư duy, từ đó tiếp cận các bài toán nâng cao dễ dàng hơn. Đây là kiến thức cốt lõi trong Chương 4, Toán 10 Kết Nối Tri Thức, giúp củng cố nền tảng đại số và hình học cần thiết cho chương trình học chuyên.

Khái Quát Chương 4: Vectơ Và Ứng Dụng Trong Hình Học Phẳng

Chương “Vectơ” là một trong những nội dung quan trọng nhất của hình học phổ thông. Nó cung cấp một ngôn ngữ toán học mới để mô tả các đối tượng hình học. Khái niệm tích vô hướng của hai vectơ là cầu nối mạnh mẽ, liên kết hình học với đại số và lượng giác. Trang 70 SGK Toán 10 Kết Nối Tri Thức chứa các bài tập củng cố kiến thức về tích vô hướng. Các bài toán này không chỉ là tính toán đơn thuần mà còn đòi hỏi khả năng biến đổi và áp dụng công thức một cách linh hoạt. Nắm vững bài tập này là chìa khóa để giải quyết các vấn đề phức tạp hơn trong hình học phẳng và không gian sau này.

Tầm Quan Trọng Của Công Thức Tính Diện Tích Theo Vectơ

Công thức diện tích tam giác truyền thống thường liên quan đến chiều cao và cạnh đáy. Tuy nhiên, công thức sử dụng sin góc xen giữa hai cạnh cũng rất phổ biến. Bài 4.25 yêu cầu chứng minh một công thức diện tích hoàn toàn mới. Công thức này dựa trên tọa độ và độ dài của vectơ. Nó thể hiện tính chất đại số hóa của hình học thông qua tích vô hướng. Việc chuyển đổi một đại lượng hình học (diện tích) sang một biểu thức đại số-vectơ (tích vô hướng và độ dài) là một kỹ thuật tư duy toán học cao cấp. Công thức này còn là tiền đề cho khái niệm tích có hướng trong không gian.

Phân Tích Chi Tiết Bài Toán 4.25 Trang 70

Bài toán 4.25 đặt ra yêu cầu chứng minh công thức tính diện tích tam giác $ABC$ thông qua tích vô hướng của hai vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$.

Nội dung bài toán là: Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$, ta có:
$$S_{ABC} = frac{1}{2}sqrt{||overrightarrow{AB}||^2 cdot ||overrightarrow{AC}||^2 – (overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC})^2}.$$

Công thức này còn được viết gọn lại như sau, trong đó $AB$ và $AC$ là độ dài các cạnh, và $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC}$ là tích vô hướng:
$$S_{ABC} = frac{1}{2}sqrt{overrightarrow {AB}^2 cdot overrightarrow {AC}^2 – (overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC})^2}.$$

Đây là một bài toán chứng minh hệ thức, đòi hỏi học sinh phải kết nối kiến thức về tích vô hướng và công thức lượng giác cơ bản. Cụ thể là công thức diện tích tam giác đã học và định nghĩa tích vô hướng.

Phương Pháp Giải Bài Toán 4.25

Để chứng minh hệ thức này, phương pháp hiệu quả nhất là biến đổi vế phải (biểu thức vectơ) về vế trái (biểu thức diện tích hình học) thông qua công thức lượng giác đã biết. Cụ thể, ta cần biến đổi vế phải để đưa nó về công thức diện tích tam giác:
$$S_{ABC} = frac{1}{2} AB cdot AC cdot sin A.$$
Trong đó, $AB$ và $AC$ là độ dài hai cạnh, và $A$ là góc tạo bởi hai cạnh đó (cũng chính là góc giữa hai vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$).

Các bước biến đổi sẽ dựa trên hai công thức nền tảng chính:

1. Định nghĩa Tích vô hướng: $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = ||overrightarrow{AB}|| cdot ||overrightarrow{AC}|| cdot cos(overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC})$.
2. Hệ thức lượng giác cơ bản: $sin^2 A + cos^2 A = 1$, suy ra $sin A = sqrt{1 – cos^2 A}$ (do $sin A > 0$ trong tam giác).

Giải Chi Tiết Và Chứng Minh Công Thức Nâng Cao

Thiết Lập Mối Liên Hệ Giữa Các Đại Lượng

Trước hết, ta đặt độ dài các cạnh $AB = c$ và $AC = b$. Ta cũng biết rằng bình phương độ dài vectơ chính là bình phương độ dài cạnh.
$$overrightarrow{AB}^2 = ||overrightarrow{AB}||^2 = c^2$$
$$overrightarrow{AC}^2 = ||overrightarrow{AC}||^2 = b^2$$
Góc $A$ chính là góc $widehat{BAC}$ hay góc giữa hai vectơ $(overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC})$.

Theo định nghĩa, tích vô hướng của hai vectơ là:
$$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = AB cdot AC cdot cos A = b cdot c cdot cos A.$$

Các Bước Biến Đổi Vế Phải (VP)

Ta bắt đầu với vế phải của công thức cần chứng minh:
$$VP = frac{1}{2}sqrt{overrightarrow {AB}^2 cdot overrightarrow {AC}^2 – (overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC})^2}$$

Thay thế các đại lượng đã thiết lập vào biểu thức dưới dấu căn:
$$overrightarrow {AB}^2 cdot overrightarrow {AC}^2 – (overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC})^2 = (AB cdot AC)^2 – (AB cdot AC cdot cos A)^2$$

Sử dụng quy tắc phân phối và đặt nhân tử chung $(AB cdot AC)^2$:
$$= (AB cdot AC)^2 – (AB cdot AC)^2 cdot cos^2 A$$
$$= (AB cdot AC)^2 left( 1 – cos^2 A right)$$

Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản $1 – cos^2 A = sin^2 A$:
$$= (AB cdot AC)^2 cdot sin^2 A$$

Thay kết quả này trở lại công thức của $VP$:
$$VP = frac{1}{2}sqrt{(AB cdot AC)^2 cdot sin^2 A}$$

Vì $AB > 0$, $AC > 0$ và góc $A$ là góc trong tam giác nên $0^{circ} < A < 180^{circ}$. Điều này đảm bảo rằng $sin A > 0$. Do đó, ta có thể lấy căn bậc hai:
$$sqrt{(AB cdot AC)^2 cdot sin^2 A} = AB cdot AC cdot sin A$$

Cuối cùng, ta có:
$$VP = frac{1}{2} AB cdot AC cdot sin A$$

Kết Luận Chứng Minh

Ta đã biết công thức tính diện tích tam giác $ABC$ thông thường là:
$$S{ABC} = frac{1}{2} AB cdot AC cdot sin A$$
Như vậy, ta đã chứng minh được $VP = S{ABC}$.
$$S_{ABC} = frac{1}{2}sqrt{overrightarrow {AB}^2 cdot overrightarrow {AC}^2 – (overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC})^2}$$ (Điều phải chứng minh)

Công thức này thể hiện một cách tao nhã sự liên kết giữa hình học Euclide và đại số tuyến tính. Nó là một ví dụ điển hình về cách sử dụng vectơ để đơn giản hóa các công thức hình học phức tạp.

Lý Thuyết Nền Tảng Và Mở Rộng Kiến Thức Vectơ

Để thực hiện trọn vẹn việc giải toán 10 sgk trang 70, học sinh cần nắm vững toàn bộ kiến thức nền tảng trong bài “Tích vô hướng của hai vectơ”.

Định Nghĩa Tích Vô Hướng (Scalar Product)

Tích vô hướng của hai vectơ $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$ được định nghĩa là một đại lượng vô hướng.
$$overrightarrow{u} cdot overrightarrow{v} = ||overrightarrow{u}|| cdot ||overrightarrow{v}|| cdot cos(overrightarrow{u}, overrightarrow{v})$$
Định nghĩa này cho thấy tích vô hướng không chỉ phụ thuộc vào độ lớn của hai vectơ. Nó còn phụ thuộc vào góc $alpha$ giữa chúng.

Các Tính Chất Quan Trọng Của Tích Vô Hướng

Nhiều tính chất của tích vô hướng giúp việc biến đổi đại số trở nên dễ dàng.

1. Tính chất giao hoán: $overrightarrow{u} cdot overrightarrow{v} = overrightarrow{v} cdot overrightarrow{u}$.
2. Tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ: $overrightarrow{u} cdot (overrightarrow{v} + overrightarrow{w}) = overrightarrow{u} cdot overrightarrow{v} + overrightarrow{u} cdot overrightarrow{w}$.
3. Tích vô hướng với số thực: $(k overrightarrow{u}) cdot overrightarrow{v} = k (overrightarrow{u} cdot overrightarrow{v})$.
4. Bình phương vô hướng (Bình phương độ dài): $overrightarrow{u}^2 = ||overrightarrow{u}||^2$. Đây là tính chất then chốt được sử dụng trong Bài 4.25.

Ứng Dụng Của Tích Vô Hướng Trong Chứng Minh Hình Học

Việc sử dụng tích vô hướng cho phép chuyển các quan hệ hình học thành các phương trình đại số. Điều này giúp tránh việc phải vẽ hình và sử dụng các công cụ hình học phức tạp. Công thức trong Bài 4.25 là một ví dụ điển hình. Nó cho phép tính diện tích mà không cần xác định góc hay chiều cao. Công thức này đặc biệt hữu ích khi các vectơ được cho dưới dạng tọa độ trong hệ trục $Oxy$.

Nếu $overrightarrow{AB} = (x_1, y_1)$ và $overrightarrow{AC} = (x_2, y_2)$, ta có:
$$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$
$$overrightarrow{AB}^2 = x_1^2 + y_1^2$$
$$overrightarrow{AC}^2 = x_2^2 + y_2^2$$

Thay các giá trị này vào công thức đã chứng minh, ta có thể tính diện tích chỉ bằng tọa độ.
$$S_{ABC} = frac{1}{2}sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2) – (x_1 x_2 + y_1 y_2)^2}$$
Đây là công thức nền tảng để tính diện tích trong mặt phẳng tọa độ, một kỹ năng cực kỳ quan trọng đối với học sinh chuyên Toán.

Các Bài Tập Liên Quan Trên Trang 70 SGK

Để hoàn thành toàn bộ kiến thức của giải toán 10 sgk trang 70, cần xem xét thêm các bài tập còn lại, củng cố sự hiểu biết về hệ thức lượng và tích vô hướng.

Phân Tích Bài Toán 4.23

Bài 4.23 yêu cầu chứng minh định lí cosin trong tam giác $ABC$. Đây là một bài tập rất cơ bản, nhưng lại là nền tảng cho việc sử dụng tích vô hướng.

Đề bài 4.23: Cho tam giác $ABC$ có $BC = a, AC = b, AB = c$. Chứng minh định lí cosin: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc cdot cos A$.

Hướng dẫn giải:
Ta có $overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC} – overrightarrow{AB}$.
Bình phương vô hướng hai vế:
$$overrightarrow{BC}^2 = (overrightarrow{AC} – overrightarrow{AB})^2$$
$$overrightarrow{BC}^2 = overrightarrow{AC}^2 – 2 cdot overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AB} + overrightarrow{AB}^2$$
Thay độ dài và định nghĩa tích vô hướng:
$$a^2 = b^2 – 2 (AC cdot AB cdot cos A) + c^2$$
$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc cdot cos A.$$
Việc sử dụng vectơ để chứng minh định lý cosin là cách tiếp cận ngắn gọn và thanh lịch. Nó củng cố mối liên hệ giữa đại số vectơ và hệ thức lượng.

Phân Tích Bài Toán 4.24

Bài 4.24 tập trung vào điều kiện để hai vectơ vuông góc, một ứng dụng trực tiếp của tích vô hướng.

Đề bài 4.24: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác $ABC$ vuông tại $A$ là: $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = 0$.

Hướng dẫn giải:
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi góc $widehat{BAC} = 90^{circ}$.
Theo định nghĩa tích vô hướng:
$$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = AB cdot AC cdot cos(widehat{BAC})$$
Nếu $widehat{BAC} = 90^{circ}$, thì $cos 90^{circ} = 0$.
Do đó, $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = AB cdot AC cdot 0 = 0$.
Ngược lại, nếu $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = 0$, mà $AB ne 0$ và $AC ne 0$ (vì là tam giác), thì $cos(widehat{BAC}) = 0$. Trong khoảng $(0^{circ}, 180^{circ})$, góc có cosin bằng $0$ là $90^{circ}$. Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Đây là một kết quả cơ bản, nhưng cực kỳ quan trọng trong hình học giải tích. Nó cho phép kiểm tra tính vuông góc chỉ bằng phép tính đại số đơn giản.

Phân Tích Bài Toán 4.26

Bài 4.26 là bài toán mở rộng, sử dụng tổng hợp các kiến thức đã học trên trang 70.

Đề bài 4.26: Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Tính tích vô hướng $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC}$ và $overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AD}$.

Hướng dẫn giải:

1. Tính $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC}$:

Góc giữa $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$ là $widehat{BAC}$. Vì $ABCD$ là hình vuông, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$. Do đó, $widehat{BAC} = 45^{circ}$.
Độ dài cạnh $AB = a$.
Độ dài đường chéo $AC$ trong hình vuông cạnh $a$ là $AC = asqrt{2}$ (theo định lí Pitago).
Áp dụng công thức tích vô hướng:
$$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = AB cdot AC cdot cos(widehat{BAC})$$
$$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = a cdot asqrt{2} cdot cos 45^{circ}$$
$$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = a^2 sqrt{2} cdot frac{sqrt{2}}{2}$$
$$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = a^2 cdot frac{2}{2} = a^2$$

2. Tính $overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AD}$:

Góc giữa $overrightarrow{AC}$ và $overrightarrow{AD}$ là $widehat{CAD}$. Vì $ABCD$ là hình vuông, tam giác $ACD$ vuông cân tại $D$. Do đó, $widehat{CAD} = 45^{circ}$.
Độ dài cạnh $AD = a$.
Độ dài đường chéo $AC = asqrt{2}$.
Áp dụng công thức tích vô hướng:
$$overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AD} = AC cdot AD cdot cos(widehat{CAD})$$
$$overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AD} = asqrt{2} cdot a cdot cos 45^{circ}$$
$$overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AD} = a^2 sqrt{2} cdot frac{sqrt{2}}{2}$$
$$overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AD} = a^2 cdot frac{2}{2} = a^2$$
Các kết quả này củng cố kinh nghiệm thực tế khi sử dụng tích vô hướng. Chúng cho thấy tích vô hướng có thể tính được dễ dàng nếu biết độ dài và góc.

Phân Tích Sâu Về Công Thức Nâng Cao Trong Hình Học Giải Tích

Công thức diện tích tam giác $S_{ABC} = frac{1}{2}sqrt{overrightarrow {AB}^2 cdot overrightarrow {AC}^2 – (overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC})^2}$ không chỉ là một bài tập chứng minh đơn thuần. Nó còn là công cụ mạnh mẽ trong hình học giải tích. Công thức này giúp học sinh chuyên Toán kết nối khái niệm hình học và đại số.

Kết Nối Với Định Thức Gram (Gram Determinant)

Công thức vừa chứng minh chính là trường hợp đặc biệt của định thức Gram. Trong không gian vectơ thực, định thức Gram của hai vectơ $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$ là:
$$G(overrightarrow{u}, overrightarrow{v}) = begin{vmatrix} overrightarrow{u} cdot overrightarrow{u} & overrightarrow{u} cdot overrightarrow{v} overrightarrow{v} cdot overrightarrow{u} & overrightarrow{v} cdot overrightarrow{v} end{vmatrix} = (overrightarrow{u} cdot overrightarrow{u})(overrightarrow{v} cdot overrightarrow{v}) – (overrightarrow{u} cdot overrightarrow{v})^2$$

Nếu đặt $overrightarrow{u} = overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{v} = overrightarrow{AC}$, ta thấy biểu thức dưới dấu căn trong Bài 4.25 chính là định thức Gram $G(overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC})$.

Định lý về diện tích trong không gian vectơ cho thấy diện tích hình bình hành được tạo bởi hai vectơ $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$ là $sqrt{G(overrightarrow{u}, overrightarrow{v})}$. Vì diện tích tam giác là một nửa diện tích hình bình hành, nên công thức của Bài 4.25 được xác lập:
$$S_{ABC} = frac{1}{2} sqrt{G(overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC})}$$
Việc nhận ra mối liên hệ này giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về nguồn gốc và tính tổng quát của công thức. Nó rất quan trọng cho những ai muốn theo đuổi các chuyên đề toán cao cấp.

Công Thức Tích Có Hướng (Cross Product)

Trong không gian ba chiều $Oxyz$, diện tích tam giác $ABC$ còn được tính bằng tích có hướng. Đây là một khái niệm nâng cao hơn.
$$S_{ABC} = frac{1}{2} ||overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}||$$
Nếu ta xem tam giác $ABC$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$ ($z=0$), thì $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ sẽ là một vectơ vuông góc với mặt phẳng. Độ dài của nó chính là $AB cdot AC cdot |sin A|$. Trong trường hợp này, tích có hướng và công thức từ tích vô hướng cho cùng một kết quả. Công thức trong giải toán 10 sgk trang 70 là phiên bản 2D, đơn giản hóa, nhưng mang ý nghĩa nền tảng.

Tóm Lược Phương Pháp Học Tập Hiệu Quả

Việc giải toán 10 sgk trang 70 không chỉ dừng lại ở việc có được lời giải đúng. Điều cốt yếu là học sinh phải nắm bắt được phương pháp tư duy toán học đằng sau mỗi bài toán.

Phương Pháp Nắm Vững Lý Thuyết

Luôn bắt đầu từ định nghĩa. Bài 4.25 được giải quyết nhờ sự hiểu rõ định nghĩa của tích vô hướng và công thức diện tích. Học sinh cần đảm bảo nắm chắc các khái niệm cơ bản.

Rèn Luyện Kỹ Năng Biến Đổi Đại Số

Phần lớn các bài toán liên quan đến vectơ đều là bài toán biến đổi đại số. Kỹ năng áp dụng công thức lượng giác $1 – cos^2 A = sin^2 A$ và các tính chất của bình phương vô hướng là tối quan trọng. Học sinh nên luyện tập các bài toán chứng minh hệ thức trước khi chuyển sang các bài toán tính toán cụ thể.

Kết Nối Kiến Thức Liên Quan

Một học sinh giỏi cần nhìn thấy sự liên kết giữa các chương. Bài toán trên trang 70 là cầu nối hoàn hảo giữa Chương Vectơ (Đại số) và Chương Hệ thức lượng (Hình học và Lượng giác). Việc kết nối này giúp kiến thức trở nên sâu sắc và toàn diện hơn. Thường xuyên tự đặt câu hỏi: “Bài toán này có thể được giải bằng phương pháp nào khác?”

Kết Thúc: Tổng Hợp Giá Trị Cốt Lõi

Việc hoàn thành giải toán 10 sgk trang 70 là bước đi vững chắc trong việc làm chủ kiến thức Chương 4: Vectơ. Bài 4.25 đã cung cấp một công thức diện tích tiên tiến, thể hiện sự kết hợp hài hòa giữa hình học và đại số tuyến tính thông qua tích vô hướng của hai vectơ. Đây không chỉ là lời giải cho một bài tập sách giáo khoa; nó là một bài học về sự tổng quát hóa. Công thức này giúp học sinh phát triển tư duy toán học sâu sắc. Việc nắm vững các bài toán mở rộng như 4.23, 4.24, 4.26 sẽ trang bị đầy đủ hệ thức lượng trong tam giác và kỹ năng áp dụng vectơ. Điều này tạo nền tảng vững chắc để học sinh tiếp tục chinh phục các chuyên đề Toán 10 nâng cao và các kỳ thi Học sinh giỏi.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 29, 2025 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.