Giải Toán 10 trang 50 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trang 50, giải toán 10 trang 50 thuộc Bài 7: Các khái niệm mở đầu, sách Toán 10 Tập 1, bộ sách Kết nối tri thức. Mục tiêu là giúp học sinh lớp 10 nắm vững kiến thức về vectơ, đặc biệt là các khái niệm về cùng phương, cùng hướng và ngược hướng, từ đó vận dụng vào giải các bài tập phức tạp hơn.

Đề Bài

Vận dụng trang 50 Toán 10 Tập 1: Hai ca nô A và B chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là 15km/h. Tuy vậy, ca nô A chạy xuôi dòng còn ca nô B chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là 3km/h.

a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vectơ vận tốc v→ của dòng nước và các vectơ vận tốc thực tế va→,vb→ của ca nô A, B.

b) Trong các vectơ v→,va→,vb→, những cặp vectơ nào cùng phương và những cặp vectơ nào ngược hướng?

Bài 4.1 trang 50 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ a→,b→,c→ đều khác 0→. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) a→,b→,c→ đều cùng hướng với 0→;

b) Nếu b→ không cùng hướng với a→ thì b→ ngược hướng với a→;

c) Nếu a→ và b→ đều cùng phương với c→ thì a→ và b→ cùng phương;

d) Nếu a→ và b→ đều cùng hướng với c→ thì a→ và b→ cùng hướng.

Bài 4.2 trang 50 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.

Bài 4.3 trang 50 Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi BC→=AD→.

Bài 4.4 trang 50 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập S gồm tất cả các vectơ khác 0→, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O}. Hãy chia tập S thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

Bài 4.5 trang 50 Toán 10 Tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy vẽ các vectơ OA→,MN→ với A(1;2), M(0;-1), N(3;5)

a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.

b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ v→=OA→. Hỏi vật thể đó có đi qua N hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới N?

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trang 50 trong sách Toán 10 Tập 1 bộ Kết nối tri thức tập trung vào việc củng cố và vận dụng các khái niệm cơ bản về vectơ. Cụ thể, chúng yêu cầu học sinh:

1. Biểu diễn vectơ: Vẽ và thể hiện các vectơ trên hình vẽ, bao gồm vectơ vận tốc trong chuyển động thực tế có yếu tố dòng nước.
2. Nhận biết mối quan hệ giữa các vectơ: Xác định các cặp vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng dựa trên hình vẽ hoặc dữ kiện cho trước.
3. Ứng dụng định nghĩa vectơ bằng nhau: Chứng minh các tính chất hình học (như hình bình hành) dựa trên điều kiện vectơ bằng nhau.
4. Phân loại và nhóm vectơ: Liệt kê và nhóm các vectơ bằng nhau trong một tập hợp nhất định.
5. Ứng dụng vectơ trong bài toán tọa độ: Xác định mối quan hệ giữa các vectơ cho trước tọa độ điểm và giải bài toán chuyển động thẳng đều.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Khái niệm Vectơ: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
2. Vectơ Không: Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
3. Cộng, Trừ, Nhân Vectơ với một số:
   • Cộng: Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành.
   • Trừ: Sử dụng vectơ đối.
   • Nhân: Vectơ k.a→ cùng phương với a→. Nếu k > 0, k.a→ cùng hướng với a→. Nếu k < 0, k.a→ ngược hướng với a→. Nếu k = 0, k.a→ = 0→.
4. Quan hệ giữa các Vectơ:
   • Cùng phương: Hai vectơ a→ và b→ gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Vectơ a→ cùng phương với b→ nếu có số k sao cho a→ = k.b→. Vectơ không cùng phương với mọi vectơ.
   • Cùng hướng: Hai vectơ cùng phương có hướng giống nhau. Nếu a→ = k.b→ với k > 0, thì a→ và b→ cùng hướng.
   • Ngược hướng: Hai vectơ cùng phương có hướng ngược nhau. Nếu a→ = k.b→ với k < 0, thì a→ và b→ ngược hướng.
   • Bằng nhau: Hai vectơ a→ và b→ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Ký hiệu a→ = b→.
5. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ:
   • Cho a→ = (x_a, y_a) và b→ = (x_b, y_b).
   • a→ = b→ khi và chỉ khi x_a = x_b và y_a = y_b.
   • a→ và b→ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho a→ = k.b→. Điều này tương đương với x_a.y_b = x_b.y_a (nếu các tọa độ khác 0) hoặc một trong các tọa độ bằng 0 và các tọa độ tương ứng bằng 0.
   • Vectơ OA→ với O là gốc tọa độ và A(x_A, y_A) thì OA→ = (x_A, y_A).

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Vận dụng trang 50

a) Thể hiện trên hình vẽ:

• Vận tốc riêng của ca nô A và B: 15 km/h.
• Vận tốc dòng nước: 3 km/h.
• Ca nô A chạy xuôi dòng.
• Ca nô B chạy ngược dòng.

Ta có:

• Vận tốc thực tế của ca nô A: v_a→ = v→_riêng_A + v→_nước. Vì chạy xuôi dòng, vận tốc thực tế có độ lớn là 15 + 3 = 18 km/h và cùng hướng với dòng nước.
• Vận tốc thực tế của ca nô B: v_b→ = v→_riêng_B + v→_nước. Vì chạy ngược dòng, vận tốc thực tế có độ lớn là 15 - 3 = 12 km/h và ngược hướng với dòng nước.
• Vận tốc dòng nước: v→ có độ lớn 3 km/h.

Tỉ lệ độ dài các vectơ: |v→| : |v_a→| : |v_b→| = 3 : 18 : 12 = 1 : 6 : 4.

• Giả sử dòng nước chảy từ trái sang phải, ta vẽ v→ mũi tên sang phải với độ dài tỉ lệ với 1.
• Ca nô A chạy xuôi dòng: v_a→ cùng hướng với v→, độ dài tỉ lệ với 6.
• Ca nô B chạy ngược dòng: v_b→ ngược hướng với v→, độ dài tỉ lệ với 4.

Vận dụng trang 50 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 10

b) Các cặp vectơ cùng phương và ngược hướng:

• Cùng phương: Tất cả các vectơ vận tốc đều nằm trên một đường thẳng hoặc song song với nhau. Do đó, bất kỳ hai vectơ nào trong ba vectơ v→, v_a→, v_b→ đều cùng phương.
  • Các cặp vectơ cùng phương: v→ và v_a→; v→ và v_b→; v_a→ và v_b→.
• Ngược hướng:
  • v→ (nước chảy từ trái sang phải) và v_a→ (ca nô A xuôi dòng) có cùng hướng.
  • v→ (nước chảy từ trái sang phải) và v_b→ (ca nô B ngược dòng) có hướng ngược nhau.
  • v_a→ (ca nô A xuôi dòng) và v_b→ (ca nô B ngược dòng) có hướng ngược nhau.
  • Các cặp vectơ ngược hướng: v→ và v_b→; v_a→ và v_b→.

Mẹo kiểm tra:

• Hai vectơ cùng phương nếu chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ cùng hướng nếu chúng cùng phương và chỉ về cùng một phía.
• Hai vectơ ngược hướng nếu chúng cùng phương và chỉ về hai phía đối nhau.

Lỗi hay gặp:

• Nhầm lẫn giữa vận tốc riêng và vận tốc thực tế.
• Không xác định đúng hướng của vectơ vận tốc so với dòng nước.

Bài 4.1 trang 50

a) a→,b→,c→ đều cùng hướng với 0→: Đúng. Vectơ không có hướng tùy ý, nên nó cùng phương, cùng hướng, ngược hướng với mọi vectơ khác (theo định nghĩa).

b) Nếu b→ không cùng hướng với a→ thì b→ ngược hướng với a→: Sai. Nếu b→ không cùng hướng với a→, có thể b→ ngược hướng với a→, hoặc b→ không cùng phương với a→. Ví dụ, a→ nằm trên trục Ox, b→ nằm trên trục Oy thì chúng không cùng hướng và cũng không ngược hướng.

c) Nếu a→ và b→ đều cùng phương với c→ thì a→ và b→ cùng phương: Đúng. Nếu a→ cùng phương với c→ và b→ cùng phương với c→, thì giá của a→ song song hoặc trùng với giá của c→, giá của b→ song song hoặc trùng với giá của c→. Điều này suy ra giá của a→ và b→ cũng song song hoặc trùng nhau, tức là a→ và b→ cùng phương.

d) Nếu a→ và b→ đều cùng hướng với c→ thì a→ và b→ cùng hướng: Đúng. Nếu a→ cùng hướng với c→ và b→ cùng hướng với c→, thì cả a→ và b→ đều có chung một hướng với c→. Do đó, a→ và b→ phải cùng hướng với nhau.

Mẹo kiểm tra:

• Vectơ không có tính chất đặc biệt, cần xem xét kỹ định nghĩa.
• Quan hệ “cùng phương” là quan hệ tương đương, còn “cùng hướng” và “ngược hướng” không phải là quan hệ tương đương.

Lỗi hay gặp:

• Hiểu sai khái niệm “cùng hướng” với “cùng phương”.
• Quên mất tính chất của vectơ không.

Bài 4.2 trang 50

Quan sát Hình 4.12, ta thấy:

• Các vectơ a→, b→, c→ có giá song song với nhau. Do đó, chúng cùng phương.
• Vectơ a→ và c→ có cùng hướng và cùng độ dài.
• Vectơ b→ ngược hướng với a→ và c→.

Kết luận:

• Các cặp vectơ cùng phương: a→ và b→; a→ và c→; b→ và c→.
• Các cặp vectơ ngược hướng: a→ và b→; c→ và b→.
• Các cặp vectơ bằng nhau: a→ và c→ (vì cùng hướng và cùng độ dài).

Mẹo kiểm tra:

• Đảm bảo cả hai điều kiện: cùng phương và cùng hướng để kết luận bằng nhau.

Lỗi hay gặp:

• Nhầm lẫn giữa cùng phương và cùng hướng.
• Đánh giá sai độ dài của các vectơ.

Bài 4.3 trang 50

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi BC→=AD→.

• Phần thuận (Giả sử ABCD là hình bình hành ⇒ BC→=AD→):
  Nếu ABCD là hình bình hành, theo định nghĩa hoặc tính chất của hình bình hành, ta có hai cạnh đối AD và BC song song với nhau (AD // BC) và có độ dài bằng nhau (AD = BC).
  Vì AD // BC và cùng chiều (nếu xét theo thứ tự đỉnh ABCD), hai vectơ AD→ và BC→ cùng hướng.
  Vì AD = BC, hai vectơ AD→ và BC→ có cùng độ dài.
  Do đó, AD→ và BC→ cùng hướng và cùng độ dài, suy ra AD→ = BC→.

• Phần đảo (Giả sử BC→=AD→ ⇒ ABCD là hình bình hành):
  Nếu BC→ = AD→, theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau, ta có hai điều kiện:

  1. BC→ và AD→ cùng hướng.
  2. BC→ và AD→ có cùng độ dài (BC = AD).
     Từ BC→ và AD→ cùng hướng, suy ra giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Nếu giá của chúng trùng nhau thì bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, không tạo thành tứ giác. Do đó, chúng phải song song (BC // AD).
     Ta có tứ giác ABCD có hai cạnh đối AD và BC song song và bằng nhau. Đây là dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
     Vậy, ABCD là hình bình hành.

Mẹo kiểm tra:

• Nhớ lại các định nghĩa và dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
• Áp dụng đúng định nghĩa hai vectơ bằng nhau.

Lỗi hay gặp:

• Chỉ xét một trong hai điều kiện của hai vectơ bằng nhau (chỉ xét cùng hướng hoặc chỉ xét cùng độ dài).

Bài 4.4 trang 50

Cho hình vuông ABCD với tâm O. Tập hợp các vectơ khác 0→ có điểm đầu và cuối thuộc {A; B; C; D; O}.

Các điểm đã cho là A, B, C, D, O.
Các vectơ khác 0→ có thể tạo thành từ các cặp điểm (điểm đầu, điểm cuối) này.
Các vectơ có thể có là:
AB→, AC→, AD→, AO→, BA→, BC→, BD→, BO→, CA→, CB→, CD→, CO→, DA→, DB→, DC→, DO→, OA→, OB→, OC→, OD→.

Trong hình vuông, các tính chất quan trọng là:

• Các cạnh đối bằng nhau và cùng hướng: AB→ = DC→, AD→ = BC→.
• Các cạnh bên kia cũng bằng nhau và cùng hướng: BA→ = CD→, DA→ = CB→.
• Các đường chéo bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường: AC→ và BD→ là các đường chéo. OA→ = OC→, OB→ = OD→.
• Các cặp vectơ nối từ tâm đến đỉnh theo hướng đối nhau sẽ ngược hướng và bằng nhau về độ dài (tức là bằng nhau): OA→ ngược hướng với OC→, nhưng chúng bằng nhau vì O là trung điểm AC và độ dài OA = OC. Tương tự OB→ = OD→.
• Các cặp vectơ nối từ đỉnh đến tâm theo hướng đối nhau: AO→ và OC→. AO→ ngược hướng với CO→.
• Vectơ đường chéo: AC→ = AB→ + AD→. BD→ = AD→ - AB→.

Dựa vào các tính chất này, ta nhóm các vectơ bằng nhau:

• Nhóm 1: AB→ và DC→.
• Nhóm 2: AD→ và BC→.
• Nhóm 3: BA→ và CD→.
• Nhóm 4: DA→ và CB→.
• Nhóm 5: OA→ và OC→.
• Nhóm 6: AO→ và CO→.
• Nhóm 7: OB→ và OD→.
• Nhóm 8: BO→ và DO→.

Mẹo kiểm tra:

• Vẽ hình vuông cẩn thận và biểu diễn các vectơ trên hình.
• Nhớ rằng hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.

Lỗi hay gặp:

• Nhầm lẫn giữa hướng của các vectơ.
• Bỏ sót các cặp vectơ hoặc đưa nhầm các cặp không bằng nhau vào cùng một nhóm.

Bài 4.5 trang 50

Cho A(1;2), M(0;-1), N(3;5).

a) Mối quan hệ giữa hai vectơ OA→ và MN→:

• Ta có vectơ OA→ với O là gốc tọa độ (0;0). Do đó OA→ = (1-0, 2-0) = (1, 2).
• Ta có vectơ MN→ = (x_N - x_M, y_N - y_M) = (3 - 0, 5 - (-1)) = (3, 6).

So sánh hai vectơ:

• Ta thấy tọa độ của MN→ gấp 3 lần tọa độ của OA→. Cụ thể, (3, 6) = 3 (1, 2).
• Điều này có nghĩa là MN→ = 3 OA→.
• Vì 3 > 0, hai vectơ MN→ và OA→ cùng hướng.
• Độ dài của MN→ gấp 3 lần độ dài của OA→.

Vậy, OA→ và MN→ là hai vectơ cùng hướng, và vectơ MN→ có độ dài gấp 3 lần vectơ OA→.

b) Vật thể khởi hành từ M với vận tốc v→=OA→ có đi qua N không?

• Vận tốc của vật là v→ = OA→ = (1, 2).
• Vật khởi hành từ M(0; -1).
• Ta có MN→ = (3, 6).

Vì MN→ = 3 OA→ = 3 v→, điều này có nghĩa là vectơ chỉ hướng và độ dời từ M đến N là bội số dương của vectơ vận tốc.
Nói cách khác, nếu vật chuyển động thẳng đều với vận tốc v→ (tức là OA→) và bắt đầu từ M, thì sau một khoảng thời gian t, vị trí của vật sẽ là M + t v→.
Để kiểm tra xem vật có đi qua N hay không, ta xem có tồn tại thời gian t sao cho M + t v→ = N.
Thay tọa độ vào: (0, -1) + t (1, 2) = (3, 5)
(t, -1 + 2t) = (3, 5)

Giải hệ phương trình:

• t = 3
• -1 + 2t = 5 ⇒ 2t = 6 ⇒ t = 3

Hai phương trình cho cùng một giá trị t = 3.
Do đó, vật thể sẽ đi qua N.

Thời gian để vật tới N là t = 3 giờ (nếu OA→ biểu thị vận tốc tính theo giờ).

Mẹo kiểm tra:

• Tính toán tọa độ vectơ chính xác.
• Kiểm tra mối quan hệ tỉ lệ giữa các vectơ.
• Áp dụng công thức vị trí trong chuyển động thẳng đều r = r_0 + v.t.

Lỗi hay gặp:

• Nhập sai tọa độ điểm hoặc tính sai tọa độ vectơ.
• Nhầm lẫn giữa độ lớn vận tốc và vectơ vận tốc.

Đáp Án/Kết Quả

• Vận dụng: Vectơ v→ (nước) và v_a→ (ca nô A) cùng hướng; v→ và v_b→ (ca nô B) ngược hướng; v_a→ và v_b→ ngược hướng.
• Bài 4.1: Các khẳng định đúng là a), c), d).
• Bài 4.2: Cặp cùng phương: (a→, b→), (a→, c→), (b→, c→). Cặp ngược hướng: (a→, b→), (c→, b→). Cặp bằng nhau: (a→, c→).
• Bài 4.3: Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi BC→=AD→.
• Bài 4.4: Tập S chia thành 8 nhóm vectơ bằng nhau: {AB→, DC→}, {AD→, BC→}, {BA→, CD→}, {DA→, CB→}, {OA→, OC→}, {AO→, CO→}, {OB→, OD→}, {BO→, DO→}.
• Bài 4.5:
  a) OA→ và MN→ cùng hướng, |MN→| = 3|OA→|.
  b) Vật thể sẽ đi qua N sau 3 giờ.

Kết Luận

Bài tập giải toán 10 trang 50 trong sách Kết nối tri thức đã giúp chúng ta ôn tập và vận dụng sâu sắc các khái niệm về vectơ như cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và bằng nhau. Việc hiểu rõ các mối quan hệ này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học và vật lý phức tạp hơn, đặc biệt là khi làm việc với các biểu diễn vectơ trên mặt phẳng tọa độ. Nắm vững phương pháp phân tích yêu cầu, áp dụng đúng kiến thức và kiểm tra lại kết quả sẽ giúp các em tự tin chinh phục mọi dạng bài tập.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.