Giải Toán 11 trang 18 Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
Cùng với sự phát triển của chương trình giáo dục, việc tìm kiếm các nguồn tài liệu ôn tập chất lượng cao luôn là ưu tiên hàng đầu của học sinh và giáo viên. Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết để giải giải toán 11 trang 18, bám sát nội dung của các bộ sách giáo khoa mới như Kết nối tri thức, Cánh diều và Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc tìm giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác.
Đề Bài
Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a) y = 2cos x + 1
b) y = 3 – 2sin x
Lưu ý: Đề bài này được trích xuất từ SGK Đại số 11.
Phân Tích Yêu Cầu
Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị lớn nhất (maximum) của hai hàm số liên quan đến các hàm số lượng giác cơ bản là cosin (cos x) và sin (sin x). Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về tập giá trị của hàm số sin và cosin, cũng như cách biến đổi và suy luận với các bất đẳng thức.
Đối với hàm số y = 2cos x + 1, chúng ta cần xem xét các giá trị mà cos x có thể nhận và từ đó suy ra các giá trị tương ứng của 2cos x rồi đến 2cos x + 1. Tương tự, với hàm số y = 3 – 2sin x, chúng ta cần phân tích ảnh hưởng của việc nhân sin x với -2 và cộng thêm 3.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất của các hàm số lượng giác, chúng ta cần nhớ lại các kiến thức cơ bản sau:
Tập giá trị của hàm số Sin và Cosin:
Với mọi số thực x, ta luôn có:[-1, 1]là tập giá trị của hàm sốcos x. Điều này có nghĩa là-1 le cos x le 1.[-1, 1]là tập giá trị của hàm sốsin x. Điều này có nghĩa là-1 le sin x le 1.
Tính chất của bất đẳng thức:
Khi nhân một bất đẳng thức với một số dương, chiều của bất đẳng thức không đổi. Khi nhân với một số âm, chiều của bất đẳng thức đổi chiều. Khi cộng hoặc trừ cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức, chiều của bất đẳng thức không đổi.- Nếu
a le bvàm > 0, thìam le bm. - Nếu
a le bvàm < 0, thìam ge bm. - Nếu
a le b, thìa + c le b + c.
- Nếu
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Chúng ta sẽ tiến hành giải chi tiết từng phần của bài toán.
a) Tìm giá trị lớn nhất của y = 2cos x + 1
Bước 1: Xác định tập giá trị của
cos x.
Ta biết rằng với mọi số thực x,-1 le cos x le 1.Bước 2: Biến đổi bất đẳng thức để có biểu thức
2cos x.
Nhân cả ba vế của bất đẳng thức-1 le cos x le 1với 2 (là một số dương, nên chiều bất đẳng thức không đổi):2 times (-1) le 2 times cos x le 2 times 1-2 le 2cos x le 2Bước 3: Biến đổi tiếp để có biểu thức
2cos x + 1.
Cộng 1 vào cả ba vế của bất đẳng thức-2 le 2cos x le 2:-2 + 1 le 2cos x + 1 le 2 + 1-1 le 2cos x + 1 le 3Bước 4: Kết luận giá trị lớn nhất.
Từ bất đẳng thức cuối cùng, ta thấy rằngy = 2cos x + 1có giá trị nhỏ nhất là -1 và giá trị lớn nhất là 3.
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số làmax y = 3.Bước 5: Tìm điều kiện để đạt giá trị lớn nhất.
Giá trị lớn nhấty = 3đạt được khi2cos x + 1 = 3, tức là2cos x = 2, suy racos x = 1.
Phương trìnhcos x = 1có nghiệmx = k2pi, vớiklà một số nguyên (k in mathbb{Z}).Mẹo kiểm tra: Khi
x = k2pi,cos x = cos(k2pi) = 1. Thay vào hàm số:y = 2(1) + 1 = 3. Đây là giá trị lớn nhất tìm được.Lỗi hay gặp: Bỏ qua điều kiện
-1 le cos x le 1hoặc nhầm lẫn khi biến đổi bất đẳng thức, đặc biệt là khi nhân với số âm (trong các bài toán khác).
b) Tìm giá trị lớn nhất của y = 3 – 2sin x
Bước 1: Xác định tập giá trị của
sin x.
Ta biết rằng với mọi số thực x,-1 le sin x le 1.Bước 2: Biến đổi bất đẳng thức để có biểu thức
-2sin x.
Nhân cả ba vế của bất đẳng thức-1 le sin x le 1với -2 (là một số âm, nên chiều bất đẳng thức đổi chiều):(-2) times (-1) ge (-2) times sin x ge (-2) times 12 ge -2sin x ge -2
Sắp xếp lại theo thứ tự tăng dần:-2 le -2sin x le 2.Bước 3: Biến đổi tiếp để có biểu thức
3 - 2sin x.
Cộng 3 vào cả ba vế của bất đẳng thức-2 le -2sin x le 2:-2 + 3 le -2sin x + 3 le 2 + 31 le 3 - 2sin x le 5Bước 4: Kết luận giá trị lớn nhất.
Từ bất đẳng thức cuối cùng, ta thấy rằngy = 3 - 2sin xcó giá trị nhỏ nhất là 1 và giá trị lớn nhất là 5.
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số làmax y = 5.Bước 5: Tìm điều kiện để đạt giá trị lớn nhất.
Giá trị lớn nhấty = 5đạt được khi3 - 2sin x = 5, tức là-2sin x = 2, suy rasin x = -1.
Phương trìnhsin x = -1có nghiệmx = -frac{pi}{2} + k2pi, vớiklà một số nguyên (k in mathbb{Z}).Mẹo kiểm tra: Khi
x = -frac{pi}{2} + k2pi,sin x = sin(-frac{pi}{2} + k2pi) = -1. Thay vào hàm số:y = 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5. Đây là giá trị lớn nhất tìm được.Lỗi hay gặp: Quên đổi chiều bất đẳng thức khi nhân với số âm (-2). Sai sót trong việc giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm x.
Đáp Án/Kết Quả
Tóm tắt kết quả cho từng phần:
a) Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2cos x + 1 là 3, đạt được khi x = k2pi, k in mathbb{Z}.
b) Giá trị lớn nhất của hàm số y = 3 - 2sin x là 5, đạt được khi x = -frac{pi}{2} + k2pi, k in mathbb{Z}.
Hình Ảnh Minh Họa (Nếu Có)
(Trong bài viết gốc không có hình ảnh minh họa liên quan trực tiếp đến bài toán tìm GTLN hàm lượng giác, chỉ có hình ảnh của SGK. Do đó, phần này sẽ bỏ trống hoặc chỉ mô tả nội dung hình ảnh gốc nếu cần thiết.)
(Hình ảnh gốc có thể là ảnh chụp màn hình của sách giáo khoa hoặc lời giải, không mang tính minh họa trực quan cho phương pháp giải).
Lời Kết
Việc nắm vững tập giá trị của các hàm số lượng giác cơ bản sin x và cos x cùng với các quy tắc biến đổi bất đẳng thức là chìa khóa để giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Thông qua việc phân tích chi tiết hai ví dụ trong giải toán 11 trang 18, hy vọng học sinh có thể tự tin áp dụng phương pháp này cho các bài tập tương tự. Luôn ghi nhớ kiểm tra lại các bước biến đổi và điều kiện xảy ra cực trị để đảm bảo tính chính xác.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
