Giải Toán 11 trang 54 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá chi tiết cách giải các bài tập thuộc Giải Toán 11 trang 54 Chân trời sáng tạo thuộc chương Cấp số cộng. Bài viết được trình bày một cách khoa học, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và phương pháp giải toán. Các khái niệm và công thức toán học sẽ được diễn giải rõ ràng, kèm theo các ví dụ minh họa sinh động.
Đề Bài
Hoạt động khám phá 2 trang 54 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng \left(u_nright). Hãy cho biết các hiệu số sau đây gấp bao nhiêu lần công sai $d$ của \left(u_nright): u_2 – u_1; u_3 – u_1; u_4 – u_1; …; u_n – u_1.
Thực hành 3 trang 54 Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau:
a) Cấp số cộng \left(a_nright) có a_1 = 5 và d = – 5;
b) Cấp số cộng \left(b_nright) có b<em>1 = 2 và b</em>{10} = 20.
Vận dụng 2 trang 54 Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng \left(c_nright) có c_4 = 80 và c_6 = 40.
Hoạt động khám phá 3 trang 54 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng \left(u_nright) có công sai $d$.
a) Tính các tổng u_1 + u_n; u<em>2 + u</em>{n-1}; u<em>3 + u</em>{n-2}; …; u<em>k + u</em>{n-k+1} theo u_1, $n$ và $d$.
b) Chứng tỏ rằng 2left(u_1 + u_2 + u_3 + \ldots + u_nright) = nleft(u_1 + u_nright).
Phân Tích Yêu Cầu
Các bài tập trong phần này tập trung vào việc củng cố và mở rộng hiểu biết về cấp số cộng, một khái niệm nền tảng trong chương trình Toán lớp 11. Yêu cầu chung là vận dụng định nghĩa và các công thức liên quan để tìm số hạng tổng quát, phân tích mối quan hệ giữa các số hạng và chứng minh các tính chất của cấp số cộng.
Cụ thể, bài tập yêu cầu:
- Hiểu rõ mối quan hệ giữa hiệu hai số hạng bất kỳ và công sai $d$.
- Áp dụng công thức số hạng tổng quát để xác định biểu thức của u_n khi biết các thông tin cho trước.
- Giải hệ phương trình dựa trên các công thức của cấp số cộng để tìm các yếu tố chưa biết.
- Chứng minh một tính chất quan trọng của tổng các số hạng trong cấp số cộng.
Các dữ kiện quan trọng bao gồm giá trị của số hạng đầu tiên (u_1), công sai ($d$), hoặc giá trị của hai số hạng bất kỳ trong dãy. Mục tiêu cuối cùng là sử dụng các công cụ toán học đã học để giải quyết các bài toán cụ thể và hiểu sâu hơn về cấu trúc của cấp số cộng.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cốt lõi về cấp số cộng, đặc biệt là:
Định nghĩa cấp số cộng: Một dãy số \left(u<em>nright) được gọi là cấp số cộng nếu với mọi số nguyên dương $n$, ta có u</em>{n+1} = u_n + d, trong đó $d$ là một số không đổi gọi là công sai.
Công thức số hạng tổng quát: Số hạng thứ $n$ của một cấp số cộng được cho bởi công thức:
\left[]u_n = u_1 + (n-1)d[/katex]
với u_1 là số hạng đầu tiên và $d$ là công sai.Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên: Tổng của $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số cộng được tính bởi một trong hai công thức sau:
\left[]S_n = \dfrac{n}{2}(u_1 + u_n)[/katex]
hoặc
\left[]S_n = \dfrac{n}{2}(2u_1 + (n-1)d)[/katex]Quan hệ giữa các số hạng: Từ công thức số hạng tổng quát, ta có thể suy ra các mối quan hệ quan trọng khác. Ví dụ, hiệu của hai số hạng u_m và u_n là:
\left[]u_m - u_n = (m-n)d[/katex]
Nếu biết hai số hạng bất kỳ u_m và u_k (m \ne k), ta có thể tìm công sai $d$ và số hạng đầu u_1:
u_m = u_1 + (m-1)d
u_k = u_1 + (k-1)d
Trừ hai phương trình này, ta có:
u_m - u_k = (m-k)d Rightarrow d = \dfrac{u_m - u_k}{m-k}
Sau đó thay $d$ vào một trong hai phương trình để tìm u_1.
Việc ghi nhớ và hiểu rõ các công thức này là chìa khóa để giải quyết hiệu quả các bài tập về cấp số cộng.
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng phần của các bài tập.
Hoạt động khám phá 2 trang 54: Mối quan hệ giữa hiệu số hạng và công sai
Đề bài yêu cầu phân tích các hiệu số dạng u_k - u_1 so với công sai $d$. Ta sẽ sử dụng công thức số hạng tổng quát u_n = u_1 + (n-1)d.
u_2 - u_1: Theo công thức, u_2 = u_1 + (2-1)d = u_1 + d.
Do đó, u_2 - u_1 = (u_1 + d) - u_1 = d.
Vậy, u_2 - u_1 gấp 1 lần công sai $d$.u_3 - u_1: Theo công thức, u_3 = u_1 + (3-1)d = u_1 + 2d.
Do đó, u_3 - u_1 = (u_1 + 2d) - u_1 = 2d.
Vậy, u_3 - u_1 gấp 2 lần công sai $d$.u_4 - u_1: Theo công thức, u_4 = u_1 + (4-1)d = u_1 + 3d.
Do đó, u_4 - u_1 = (u_1 + 3d) - u_1 = 3d.
Vậy, u_4 - u_1 gấp 3 lần công sai $d$.Tổng quát với u_n - u_1: Theo công thức, u_n = u_1 + (n-1)d.
Do đó, u_n - u_1 = (u_1 + (n-1)d) - u_1 = (n-1)d.
Vậy, u_n - u_1 gấp (n-1) lần công sai $d$.
Kết luận: Các hiệu số u_k – u_1 lần lượt gấp 1, 2, 3, \ldots, n-1 lần công sai $d$.
Thực hành 3 trang 54: Tìm số hạng tổng quát
a) Cấp số cộng \left(a_nright) có a_1 = 5 và d = – 5
Đã cho biết số hạng đầu tiên a_1 và công sai $d$. Ta chỉ cần áp dụng công thức số hạng tổng quát:
\left[]a_n = a_1 + (n-1)d[/katex]
Thay các giá trị đã cho vào:
\left[]a_n = 5 + (n-1)(-5)[/katex]
\left[]a_n = 5 - 5n + 5[/katex]
\left[]a_n = 10 - 5n[/katex]
Số hạng tổng quát của cấp số cộng \left(a_nright) là a_n = 10 - 5n.
Mẹo kiểm tra: Thử với n=1: a_1 = 10 - 5(1) = 5 (Đúng). Thử với n=2: a_2 = 10 - 5(2) = 0. a_2 - a_1 = 0 - 5 = -5, đúng bằng công sai $d$.
b) Cấp số cộng \left(b_nright) có b<em>1 = 2 và b</em>{10} = 20
Ta có b<em>1 = 2. Dùng công thức số hạng tổng quát cho b</em>{10}:
\left[]b_{10} = b<em>1 + (10-1)d[/katex]
\left[]b</em>{10} = b_1 + 9d[/katex]
Thay giá trị đã cho:
\left[]20 = 2 + 9d[/katex]
Giải phương trình tìm $d$:
\left[]18 = 9d[/katex]
\left[]d = \dfrac{18}{9} = 2[/katex]
Bây giờ ta đã có b_1 = 2 và d = 2. Áp dụng công thức số hạng tổng quát:
\left[]b_n = b_1 + (n-1)d[/katex]
\left[]b_n = 2 + (n-1)2[/katex]
\left[]b_n = 2 + 2n - 2[/katex]
\left[]b_n = 2n[/katex]
Số hạng tổng quát của cấp số cộng \left(b_nright) là b_n = 2n.
Mẹo kiểm tra: Thử với n=1: b<em>1 = 2(1) = 2 (Đúng). Thử với n=10: b</em>{10} = 2(10) = 20 (Đúng).
Lỗi hay gặp: Quên đổi dấu khi tính $d$, hoặc nhầm lẫn giữa b_1 và b_n khi áp dụng công thức.
Vận dụng 2 trang 54: Tìm số hạng tổng quát khi biết hai số hạng bất kỳ
Cấp số cộng \left(c_nright) có c_4 = 80 và c_6 = 40.
Ta có hai số hạng là c_4 và c_6. Chúng ta có thể tìm công sai $d$ bằng công thức:
\left[]d = \dfrac{c_m - c_k}{m-k}[/katex]
Ở đây, m=6, k=4, c_m = c_6 = 40, c_k = c_4 = 80.
\left[]d = \dfrac{40 - 80}{6 - 4}[/katex]
\left[]d = \dfrac{-40}{2}[/katex]
\left[]d = -20[/katex]
Bây giờ, để tìm số hạng tổng quát c_n = c_1 + (n-1)d, chúng ta cần tìm c_1. Ta có thể sử dụng c_4 hoặc c_6. Sử dụng c_4 = 80:
\left[]c_4 = c_1 + (4-1)d[/katex]
\left[]80 = c_1 + 3d[/katex]
Thay d = -20 vào:
\left[]80 = c_1 + 3(-20)[/katex]
\left[]80 = c_1 - 60[/katex]
Giải tìm c_1:
\left[]c_1 = 80 + 60 = 140[/katex]
Bây giờ ta đã có c_1 = 140 và d = -20. Áp dụng công thức số hạng tổng quát:
\left[]c_n = c_1 + (n-1)d[/katex]
\left[]c_n = 140 + (n-1)(-20)[/katex]
\left[]c_n = 140 - 20n + 20[/katex]
\left[]c_n = 160 - 20n[/katex]
Số hạng tổng quát của cấp số cộng \left(c_nright) là c_n = 160 - 20n.
Mẹo kiểm tra:
- Kiểm tra c_4: c_4 = 160 - 20(4) = 160 - 80 = 80. (Đúng)
- Kiểm tra c_6: c_6 = 160 - 20(6) = 160 - 120 = 40. (Đúng)
- Kiểm tra công sai: c_6 - c_4 = 40 - 80 = -40. Số khoảng cách giữa c_4 và c_6 là 6-4=2. d = \dfrac{-40}{2} = -20. (Đúng)
Hoạt động khám phá 3 trang 54: Tính chất tổng các cặp số hạng đối xứng
Cho cấp số cộng \left(u_nright) có công sai $d$.
a) Tính các tổng u_1 + u_n; u<em>2 + u</em>{n-1}; u<em>3 + u</em>{n-2}; …; u<em>k + u</em>{n-k+1} theo u_1, $n$ và $d$.
Ta sử dụng công thức số hạng tổng quát: u_i = u_1 + (i-1)d.
Tổng thứ nhất: u_1 + u_n
Ta đã có u_n = u_1 + (n-1)d.
\left[]u_1 + u_n = u_1 + (u_1 + (n-1)d) = 2u_1 + (n-1)d[/katex]Tổng thứ hai: u<em>2 + u</em>{n-1}
Ta có u_2 = u_1 + (2-1)d = u<em>1 + d.
Ta có u</em>{n-1} = u_1 + ((n-1)-1)d = u_1 + (n-2)d.
\left[]u<em>2 + u</em>{n-1} = (u_1 + d) + (u_1 + (n-2)d) = 2u_1 + d + (n-2)d = 2u_1 + (1 + n-2)d = 2u_1 + (n-1)d[/katex]Tổng thứ ba: u<em>3 + u</em>{n-2}
Ta có u_3 = u_1 + (3-1)d = u<em>1 + 2d.
Ta có u</em>{n-2} = u_1 + ((n-2)-1)d = u_1 + (n-3)d.
\left[]u<em>3 + u</em>{n-2} = (u_1 + 2d) + (u_1 + (n-3)d) = 2u_1 + 2d + (n-3)d = 2u_1 + (2 + n-3)d = 2u_1 + (n-1)d[/katex]Tổng quát với u<em>k + u</em>{n-k+1}:
Ta có u_k = u<em>1 + (k-1)d.
Ta có u</em>{n-k+1} = u_1 + ((n-k+1)-1)d = u_1 + (n-k)d.
\left[]u<em>k + u</em>{n-k+1} = (u_1 + (k-1)d) + (u_1 + (n-k)d) = 2u_1 + (k-1+n-k)d = 2u_1 + (n-1)d[/katex]
Kết luận: Tất cả các tổng dạng u<em>k + u</em>{n-k+1} (với $k$ chạy từ $1$ đến n/2 nếu $n$ chẵn, hoặc (n+1)/2 nếu $n$ lẻ) đều bằng nhau và bằng 2u_1 + (n-1)d. Giá trị này chính là u_1 + u_n.
b) Chứng tỏ rằng 2left(u_1 + u_2 + u_3 + \ldots + u_nright) = nleft(u_1 + u_nright).
Gọi S_n = u_1 + u_2 + u_3 + \ldots + u_n.
Ta có thể viết tổng này theo hai cách:
S_n = u_1 + u<em>2 + \ldots + u</em>{n-1} + u_n
S_n = u<em>n + u</em>{n-1} + \ldots + u_2 + u_1 (Viết ngược lại)
Cộng vế theo vế hai biểu thức này:
\left[]2S_n = (u_1 + u_n) + (u<em>2 + u</em>{n-1}) + \ldots + (u_{n-1} + u_2) + (u_n + u_1)[/katex]
Từ phần a), ta đã chứng minh được rằng mỗi cặp (u<em>k + u</em>{n-k+1}) đều bằng u_1 + u_n. Có tổng cộng $n$ cặp như vậy (vì có $n$ số hạng).
Do đó,
\left[]2S_n = (u_1 + u_n) + (u_1 + u_n) + \ldots + (u_1 + u_n)[/katex] (có $n$ lần u_1+u_n)
\left[]2S_n = n(u_1 + u_n)[/katex]
Điều này đã được chứng minh. Công thức S_n = \dfrac{n}{2}(u_1 + u_n) là công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Mẹo kiểm tra: Tính tổng S_n bằng công thức S_n = \dfrac{n}{2}(2u_1 + (n-1)d) và so sánh với kết quả S_n = \dfrac{n}{2}(u_1 + u_n).
Ta có: \dfrac{n}{2}(u_1 + u_n) = \dfrac{n}{2}(u_1 + (u_1 + (n-1)d)) = \dfrac{n}{2}(2u_1 + (n-1)d). Hai công thức này hoàn toàn tương đương.
Đáp Án/Kết Quả
- Hoạt động khám phá 2: Hiệu số u_n - u_1 gấp (n-1) lần công sai $d$.
- Thực hành 3:
a) Số hạng tổng quát là a_n = 10 - 5n.
b) Số hạng tổng quát là b_n = 2n. - Vận dụng 2: Số hạng tổng quát là c_n = 160 - 20n.
- Hoạt động khám phá 3:
a) Các tổng u<em>k + u</em>{n-k+1} đều bằng 2u_1 + (n-1)d, hay bằng u_1 + u_n.
b) Đã chứng minh được 2(u_1 + u_2 + \ldots + u_n) = n(u_1 + u_n).
Kết Luận
Qua việc giải chi tiết các bài tập Giải Toán 11 trang 54 Chân trời sáng tạo, chúng ta đã củng cố sâu sắc kiến thức về cấp số cộng, đặc biệt là cách tìm số hạng tổng quát và chứng minh các tính chất quan trọng liên quan đến tổng của các số hạng. Việc nắm vững định nghĩa, công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng sẽ là nền tảng vững chắc cho các bài toán nâng cao hơn trong chương trình Toán lớp 11 và các cấp học tiếp theo. Hãy luôn luyện tập đều đặn để thành thạo các dạng bài tập này.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
