Giải Bài Tập 1 Trang 24 SGK Toán 12 Tập 1 Chân Trời Sáng Tạo

by Thầy Đông · January 6, 2026

Rate this post

Khi học về hàm số, việc xác định các đường tiệm cận là một kỹ năng quan trọng để hiểu rõ hơn về hành vi và đồ thị của chúng. Đặc biệt, giải toán 12 trang 24 bài 1 thuộc chương trình Sách giáo khoa Toán 12 tập 1 “Chân trời sáng tạo” tập trung vào việc tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang cho các hàm số phân thức hữu tỷ. Bài viết này sẽ đi sâu vào phương pháp giải chi tiết, cung cấp kiến thức nền tảng và lưu ý các lỗi thường gặp, giúp các em học sinh nắm vững dạng toán này.

Đề Bài

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:
a) (y = frac{{4x – 5}}{{2x – 3}})
b) (y = frac{{ – 2x + 7}}{{4x – 3}})
c) (y = frac{{5x}}{{3x – 7}})

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu xác định hai loại tiệm cận chính của đồ thị hàm số: tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Tiệm cận đứng: Là các đường thẳng đứng mà đồ thị hàm số tiến đến vô cùng khi biến số tiến về một giá trị xác định. Điều này thường xảy ra tại các điểm mà mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0.
Tiệm cận ngang: Là các đường thẳng nằm ngang mà đồ thị hàm số tiến đến khi biến số tiến ra vô cùng (dương vô cùng hoặc âm vô cùng). Điều này liên quan đến giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$ .

Chúng ta sẽ lần lượt phân tích từng câu a), b), c) để tìm ra các đường tiệm cận này.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các định nghĩa và phương pháp tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang cho hàm số phân thức hữu tỷ.

Định Nghĩa Tiệm Cận Đứng

Đường thẳng $x = a$ được gọi là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

$mathop {\lim }limits_{x \to {a^ - }} f(x) = + \infty$
$mathop {\lim }limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty$
$mathop {\lim }limits_{x \to {a^ - }} f(x) = - \infty$
$mathop {\lim }limits_{x \to {a^ + }} f(x) = - \infty$

Cách tìm tiệm cận đứng:
Đối với hàm số phân thức dạng $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ , các tiệm cận đứng thường xuất hiện tại các giá trị của $x$ sao cho $Q(x) = 0$ và $P(x) \ne 0$ . Chúng ta cần tính giới hạn một bên tại các giá trị này.

Định Nghĩa Tiệm Cận Ngang

Đường thẳng $y = m$ được gọi là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu:

$mathop {\lim }limits_{x \to - \infty } f(x) = m$ hoặc
$mathop {\lim }limits_{x \to + \infty } f(x) = m$

Cách tìm tiệm cận ngang:
Đối với hàm số phân thức hữu tỷ $y = \frac{a_n x^n + dots + a_0}{b_m x^m + dots + b_0}$ :

Nếu bậc của tử số ($n$) nhỏ hơn bậc của mẫu số ($m$), tiệm cận ngang là $y = 0$ .
Nếu bậc của tử số ($n$) bằng bậc của mẫu số ($m$), tiệm cận ngang là $y = \frac{a_n}{b_m}$ (tỷ lệ hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu).
Nếu bậc của tử số ($n$) lớn hơn bậc của mẫu số ($m$), đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Đối với các hàm số dạng $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ như trong bài tập này, bậc của tử và mẫu đều bằng 1. Do đó, tiệm cận ngang (nếu có) sẽ là tỉ lệ của hệ số của $x$ ở tử và mẫu, tức là $y = \frac{a}{c}$ .

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức trên để giải quyết từng phần của bài toán.

a) Xét (y = frac{{4x – 5}}{{2x – 3}})

1. Tìm Tiệm Cận Đứng:

Xác định mẫu số bằng 0: $2x - 3 = 0 implies x = \frac{3}{2}$ .
Kiểm tra tử số tại $x = \frac{3}{2}$ : $4(\frac{3}{2}) - 5 = 6 - 5 = 1 \ne 0$ .
Do đó, $x = \frac{3}{2}$ là ứng cử viên cho tiệm cận đứng.
Tính giới hạn một bên:
- Khi $x \to (\frac{3}{2})^+$ , $x$ lớn hơn $\frac{3}{2}$ một chút. Mẫu số $2x - 3$ sẽ dương và tiến về 0. Tử số $4x - 5$ tiến về 1.
  $mathop {\lim }limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = \frac{1}{0^+} = + \infty$
- Khi $x \to (\frac{3}{2})^-$ , $x$ nhỏ hơn $\frac{3}{2}$ một chút. Mẫu số $2x - 3$ sẽ âm và tiến về 0. Tử số $4x - 5$ tiến về 1.
  $mathop {\lim }limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = \frac{1}{0^-} = - \infty$
Vì cả hai giới hạn một bên đều tiến ra vô cùng, nên đường thẳng $x = \frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng.

2. Tìm Tiệm Cận Ngang:

Hàm số có dạng $y = \frac{4x - 5}{2x - 3}$ . Bậc của tử và mẫu đều là 1.
Hệ số của $x$ ở tử là 4, hệ số của $x$ ở mẫu là 2.
Tiệm cận ngang là $y = \frac{4}{2} = 2$ .
Để kiểm chứng, ta tính giới hạn khi $x \to \pm \infty$ :
$mathop {\lim }limits{x \to + \infty } \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = mathop {\lim }limits{x \to + \infty } \frac{{4 - \frac{5}{x}}}{{2 - \frac{3}{x}}} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2$
$mathop {\lim }limits{x \to - \infty } \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = mathop {\lim }limits{x \to - \infty } \frac{{4 - \frac{5}{x}}}{{2 - \frac{3}{x}}} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2$
Vậy đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang.

Mẹo kiểm tra:

Tiệm cận đứng thường xuất hiện tại nghiệm của mẫu số, miễn là nó không phải là nghiệm của tử số.
Tiệm cận ngang cho biết giá trị mà hàm số “ổn định” ở hai đầu của trục số.

Lỗi hay gặp:

Nhầm lẫn giới hạn một bên với giới hạn hai bên.
Quên kiểm tra tử số khác 0 khi mẫu số bằng 0 cho tiệm cận đứng.
Áp dụng sai quy tắc tìm tiệm cận ngang khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu.

b) Xét (y = frac{{ – 2x + 7}}{{4x – 3}})

1. Tìm Tiệm Cận Đứng:

Xác định mẫu số bằng 0: $4x - 3 = 0 implies x = \frac{3}{4}$ .
Kiểm tra tử số tại $x = \frac{3}{4}$ : $-2(\frac{3}{4}) + 7 = -\frac{3}{2} + 7 = \frac{11}{2} \ne 0$ .
Do đó, $x = \frac{3}{4}$ là tiệm cận đứng.
Tính giới hạn một bên:
- Khi $x \to (\frac{3}{4})^+$ , mẫu số $4x - 3$ dương tiến về 0. Tử số $-2x + 7$ tiến về $\frac{11}{2}$ .
  $mathop {\lim }limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ + }} \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = \frac{11/2}{0^+} = + \infty$
- Khi $x \to (\frac{3}{4})^-$ , mẫu số $4x - 3$ âm tiến về 0. Tử số $-2x + 7$ tiến về $\frac{11}{2}$ .
  $mathop {\lim }limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ - }} \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = \frac{11/2}{0^-} = - \infty$
Vậy đường thẳng $x = \frac{3}{4}$ là tiệm cận đứng.

2. Tìm Tiệm Cận Ngang:

Hàm số có dạng $y = \frac{-2x + 7}{4x - 3}$ . Bậc của tử và mẫu đều là 1.
Hệ số của $x$ ở tử là -2, hệ số của $x$ ở mẫu là 4.
Tiệm cận ngang là $y = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ .
Kiểm chứng bằng giới hạn:
$mathop {\lim }limits{x \to \pm \infty } \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = mathop {\lim }limits{x \to \pm \infty } \frac{{ - 2 + \frac{7}{x}}}{{4 - \frac{3}{x}}} = \frac{-2 + 0}{4 - 0} = -\frac{1}{2}$
Vậy đường thẳng $y = -\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang.

c) Xét (y = frac{{5x}}{{3x – 7}})

1. Tìm Tiệm Cận Đứng:

Xác định mẫu số bằng 0: $3x - 7 = 0 implies x = \frac{7}{3}$ .
Kiểm tra tử số tại $x = \frac{7}{3}$ : $5(\frac{7}{3}) = \frac{35}{3} \ne 0$ .
Do đó, $x = \frac{7}{3}$ là tiệm cận đứng.
Tính giới hạn một bên:
- Khi $x \to (\frac{7}{3})^+$ , mẫu số $3x - 7$ dương tiến về 0. Tử số $5x$ tiến về $\frac{35}{3}$ .
  $mathop {\lim }limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ + }} \frac{{5x}}{{3x - 7}} = \frac{35/3}{0^+} = + \infty$
- Khi $x \to (\frac{7}{3})^-$ , mẫu số $3x - 7$ âm tiến về 0. Tử số $5x$ tiến về $\frac{35}{3}$ .
  $mathop {\lim }limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ - }} \frac{{5x}}{{3x - 7}} = \frac{35/3}{0^-} = - \infty$
Vậy đường thẳng $x = \frac{7}{3}$ là tiệm cận đứng.

2. Tìm Tiệm Cận Ngang:

Hàm số có dạng $y = \frac{5x}{3x - 7}$ . Bậc của tử và mẫu đều là 1.
Hệ số của $x$ ở tử là 5, hệ số của $x$ ở mẫu là 3.
Tiệm cận ngang là $y = \frac{5}{3}$ .
Kiểm chứng bằng giới hạn:
$mathop {\lim }limits{x \to \pm \infty } \frac{{5x}}{{3x - 7}} = mathop {\lim }limits{x \to \pm \infty } \frac{5}{{3 - \frac{7}{x}}} = \frac{5}{3 - 0} = \frac{5}{3}$
Vậy đường thẳng $y = \frac{5}{3}$ là tiệm cận ngang.

Đáp Án/Kết Quả

Dựa trên phân tích chi tiết, kết quả tìm tiệm cận cho từng hàm số như sau:

a) Đối với hàm số (y = frac{{4x – 5}}{{2x – 3}}):

Tiệm cận đứng: $x = \frac{3}{2}$
Tiệm cận ngang: $y = 2$

b) Đối với hàm số (y = frac{{ – 2x + 7}}{{4x – 3}}):

Tiệm cận đứng: $x = \frac{3}{4}$
Tiệm cận ngang: $y = -\frac{1}{2}$

c) Đối với hàm số (y = frac{{5x}}{{3x – 7}}):

Tiệm cận đứng: $x = \frac{7}{3}$
Tiệm cận ngang: $y = \frac{5}{3}$

Việc nắm vững cách xác định tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, như đã trình bày trong giải toán 12 trang 24 bài 1, là nền tảng quan trọng để phân tích đồ thị hàm số và giải quyết các bài toán liên quan trong chương trình Toán 12. Hãy ôn tập kỹ các định nghĩa và phương pháp để có thể tự tin chinh phục dạng toán này.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.