Giải Toán 7 Bài 25: Đa thức một biến (Kết nối tri thức)

by Thầy Đông · January 9, 2026

Rate this post

Trong chương trình Toán lớp 7, việc nắm vững khái niệm và cách thao tác với đa thức một biến là vô cùng quan trọng. Giải toán 7 bài 25 thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống sẽ cung cấp những kiến thức nền tảng và bài tập thực hành để các em học sinh làm quen với đa thức một biến. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích từng bài tập, giúp các em hiểu rõ bản chất, phương pháp giải và cách trình bày lời giải một cách chuẩn xác, khoa học, sẵn sàng chinh phục mọi dạng bài tập tương tự.

Đề Bài

Giải Toán 7 Kết nối tri thức với cuộc sống trang 30 tập 2

Bài 7.5 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

a) Tính (left( {dfrac{1}{2}{x^3}} right).left( {4{x^2}} right)). Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

b) Tính (dfrac{1}{2}{x^3} – dfrac{5}{2}{x^3}). Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

Bài 7.6 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Cho hai đa thức:
(A = {x^3} + dfrac{3}{2}x – 7{x^4} + dfrac{1}{2}x – 4{x^2} + 9)
(B = {x^5} – 3{x^2} + 8{x^4} – 5{x^2} – {x^5} + x – 7)

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.

Bài 7.7 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Cho hai đa thức:
(P(x) = 5{x^3} + 2{x^4} – {x^2} + 3{x^2} – {x^3} – 2{x^4} – 4{x^3})
(Q(x) = 3x – 4{x^3} + 8{x^2} – 5x + 4{x^3} + 5)

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.

Bài 7.8 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Người ta dùng hai máy bơm để bơm nước vào một bể chứa nước. Máy thứ nhất bơm mỗi giờ được 22 m3 nước. Máy thứ hai bơm mỗi giờ được 16 m3 nước. Sau khi cả hai máy chạy trong x giờ, người ta tắt máy thứ nhất và để máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ nữa thì bể nước đầy.

Hãy viết đa thức (biến x) biểu thị dung tích bể (m3). Biết rằng trước khi bơm, trong bể có 1,5 m3 nước. Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.

Bài 7.9 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Viết đa thức F(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

Bậc của F(x) bằng 3
Hệ số của x^2 bằng hệ số của x và bằng 2
Hệ số cao nhất của F(x) bằng -6 và hệ số tự do bằng 3.

Bài 7.10 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Kiểm tra xem:

a) (x = – dfrac{1}{8}) có phải là nghiệm của đa thức (P(x) = 4x + dfrac{1}{2}) không?

b) Trong ba số 1; -1 và 2, số nào là nghiệm của đa thức Q(x) = x^2 + x – 2?

Bài 7.11 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Mẹ cho Quỳnh 100 nghìn đồng. Quỳnh mua một bộ dụng cụ học tập có giá 37 nghìn đồng và một cuốn sách tham khảo môn Toán với giá x (nghìn đồng).

a) Hãy tìm đa thức ( biến x) biểu thị số tiền Quỳnh còn lại (đơn vị: nghìn đồng). Tìm bậc của đa thức đó.

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho. Hỏi giá tiền của cuốn sách là bao nhiêu?

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trong giải toán 7 bài 25 tập trung vào việc củng cố và mở rộng kiến thức về đa thức một biến. Yêu cầu chung là:

Hiểu rõ khái niệm đơn thức, đa thức.
Biết cách nhân, trừ các đơn thức, đa thức.
Biết cách thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức.
Biết cách thiết lập đa thức từ các dữ kiện bài toán và tìm nghiệm của đa thức.
Các bài toán yêu cầu sự chính xác trong tính toán và hiểu biết về cấu trúc của đa thức.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, cần nắm vững các kiến thức sau:

Đơn thức: Là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc tích của số với lũy thừa của biến (với số mũ nguyên dương).
- Ví dụ: (5x^3), (-2x^2y), (7).
Nhân hai đơn thức: Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau (cộng các số mũ của cùng một biến).
- Ví dụ: ( (2x^3) cdot (3x^2) = (2 cdot 3) cdot (x^3 cdot x^2) = 6x^{3+2} = 6x^5 ).
Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng: Cộng, trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.
- Ví dụ: ( 3x^2 + 5x^2 = (3+5)x^2 = 8x^2 ).
- Ví dụ: ( dfrac{1}{2}x^3 – dfrac{5}{2}x^3 = left(dfrac{1}{2} – dfrac{5}{2}right)x^3 = -dfrac{4}{2}x^3 = -2x^3 ).
Đa thức một biến: Là tổng của các đơn thức của cùng một biến.
- Ví dụ: ( P(x) = 3x^4 – 2x^3 + x^2 – 5 ).
Thu gọn đa thức: Thực hiện phép cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong đa thức.
Sắp xếp đa thức: Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa tăng dần hoặc giảm dần của biến. Thông thường, ta sắp xếp theo lũy thừa giảm dần.
Bậc của đa thức: Là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức.
Hệ số cao nhất: Là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất.
Hệ số tự do: Là hạng tử có bậc bằng 0 (hệ số của (x^0)), hoặc là hạng tử không chứa biến.
Nghiệm của đa thức: Nếu tại (x=a), giá trị của đa thức (P(x)) bằng 0, tức là (P(a)=0), thì (a) được gọi là nghiệm của đa thức (P(x)).

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 7.5 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

a) Để tính (left( {dfrac{1}{2}{x^3}} right).left( {4{x^2}} right)), ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.
(left( {dfrac{1}{2}{x^3}} right).left( {4{x^2}} right) = left( {dfrac{1}{2} cdot 4} right) cdot left( {{x^3} cdot {x^2}} right))
Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: (x^m cdot x^n = x^{m+n}).
( = 2 cdot x^{3+2} = 2{x^5}).
Đơn thức nhận được là (2x^5).

Hệ số của đơn thức này là 2.
Bậc của đơn thức này là 5 (do lũy thừa cao nhất của biến x là 5).

b) Để tính (dfrac{1}{2}{x^3} – dfrac{5}{2}{x^3}), ta thực hiện trừ các đơn thức đồng dạng.
(dfrac{1}{2}{x^3} – dfrac{5}{2}{x^3} = left( {dfrac{1}{2} – dfrac{5}{2}} right){x^3})
( = dfrac{1 – 5}{2}{x^3} = dfrac{-4}{2}{x^3} = -2{x^3}).
Đơn thức nhận được là (-2x^3).

Hệ số của đơn thức này là -2.
Bậc của đơn thức này là 3.

Mẹo kiểm tra: Trong phép nhân đơn thức, hãy nhân riêng phần số và phần biến. Trong phép cộng/trừ, chỉ cộng/trừ các đơn thức có cùng phần biến.
Lỗi hay gặp: Sai sót khi nhân hệ số hoặc khi cộng/trừ số mũ của biến.

Bài 7.6 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Cho hai đa thức:
(A = {x^3} + dfrac{3}{2}x – 7{x^4} + dfrac{1}{2}x – 4{x^2} + 9)
(B = {x^5} – 3{x^2} + 8{x^4} – 5{x^2} – {x^5} + x – 7)

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức A:
Nhóm các hạng tử đồng dạng và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến x:
(A = – 7{x^4} + {x^3} – 4{x^2} + left( {dfrac{3}{2}x + dfrac{1}{2}x} right) + 9)
(A = – 7{x^4} + {x^3} – 4{x^2} + left( {dfrac{3+1}{2}} right)x + 9)
(A = – 7{x^4} + {x^3} – 4{x^2} + 2x + 9)

Thu gọn và sắp xếp đa thức B:
Nhóm các hạng tử đồng dạng:
(B = left( {{x^5} – {x^5}} right) + 8{x^4} + left( { – 3{x^2} – 5{x^2}} right) + x – 7)
(B = 0 + 8{x^4} + left( { – 3 – 5} right){x^2} + x – 7)
(B = 8{x^4} – 8{x^2} + x – 7)
Lưu ý: Đa thức B không có hạng tử bậc 3, nên khi sắp xếp ta bỏ qua bậc đó.

b) Phân tích đa thức A:
(A(x) = – 7{x^4} + {x^3} – 4{x^2} + 2x + 9)

Bậc của đa thức A là 4 (lũy thừa cao nhất của x).
Hệ số cao nhất (hệ số của hạng tử bậc cao nhất (x^4)) là -7.
Hệ số tự do (hạng tử không chứa x) là 9.

Phân tích đa thức B:
(B(x) = 8{x^4} – 8{x^2} + x – 7)

Bậc của đa thức B là 4.
Hệ số cao nhất là 8.
Hệ số tự do là -7.

Mẹo kiểm tra: Sau khi thu gọn, kiểm tra xem tất cả các hạng tử đồng dạng đã được gộp hết chưa và thứ tự các lũy thừa đã đúng chưa.
Lỗi hay gặp: Cộng trừ sai hệ số, bỏ sót hạng tử, hoặc sắp xếp sai thứ tự bậc.

Bài 7.7 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Cho hai đa thức:
(P(x) = 5{x^3} + 2{x^4} – {x^2} + 3{x^2} – {x^3} – 2{x^4} – 4{x^3})
(Q(x) = 3x – 4{x^3} + 8{x^2} – 5x + 4{x^3} + 5)

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức P(x):
Nhóm các hạng tử đồng dạng:
(P(x) = left( {2{x^4} – 2{x^4}} right) + left( {5{x^3} – {x^3} – 4{x^3}} right) + left( { – {x^2} + 3{x^2}} right))
(P(x) = 0 + left( {5 – 1 – 4} right){x^3} + left( { – 1 + 3} right){x^2})
(P(x) = 0 + 0 cdot {x^3} + 2{x^2})
(P(x) = 2{x^2})

Thu gọn và sắp xếp đa thức Q(x):
Nhóm các hạng tử đồng dạng:
(Q(x) = left( { – 4{x^3} + 4{x^3}} right) + 8{x^2} + left( {3x – 5x} right) + 5)
(Q(x) = 0 + 8{x^2} + left( {3 – 5} right)x + 5)
(Q(x) = 8{x^2} – 2x + 5)

b) Phân tích đa thức P(x):
(P(x) = 2{x^2})

Bậc của đa thức P là 2.
Hệ số cao nhất là 2.
Hệ số tự do là 0 (vì không có hạng tử không chứa x).

Phân tích đa thức Q(x):
(Q(x) = 8{x^2} – 2x + 5)

Bậc của đa thức Q là 2.
Hệ số cao nhất là 8.
Hệ số tự do là 5.

Mẹo kiểm tra: Kiểm tra xem có hạng tử nào bị bỏ sót khi nhóm hay không, đặc biệt là các hạng tử có hệ số bằng 0.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong phép cộng trừ số với số âm, hoặc quên mất hệ số tự do khi nó không xuất hiện tường minh.

Bài 7.8 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Đề bài yêu cầu lập đa thức biểu thị dung tích bể nước.
Cho biết:

Máy thứ nhất bơm: 22 m3/giờ.
Máy thứ hai bơm: 16 m3/giờ.
Cả hai máy chạy trong x giờ.
Sau đó, máy thứ nhất tắt, máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ.
Dung tích ban đầu trong bể: 1,5 m3.

Bước 1: Tính lượng nước cả hai máy bơm được trong x giờ.
Lượng nước máy thứ nhất bơm được: (22x) m3.
Lượng nước máy thứ hai bơm được: (16x) m3.
Tổng lượng nước hai máy bơm được trong x giờ: (22x + 16x = (22+16)x = 38x) m3.

Bước 2: Tính lượng nước máy thứ hai bơm thêm.
Máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ với tốc độ 16 m3/giờ.
Lượng nước bơm thêm: (0,5 cdot 16 = 8) m3.

Bước 3: Tính tổng dung tích bể.
Tổng dung tích bể bằng dung tích ban đầu cộng với tổng lượng nước đã bơm vào.
Dung tích bể (V(x) = (text{lượng nước ban đầu}) + (text{lượng nước bơm trong x giờ}) + (text{lượng nước bơm thêm}))
(V(x) = 1,5 + 38x + 8)
(V(x) = 38x + 1,5 + 8)
(V(x) = 38x + 9,5)

Đa thức biểu thị dung tích bể (biến x) là (V(x) = 38x + 9,5).

Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do:

Hệ số cao nhất của đa thức (V(x)) là 38 (hệ số của hạng tử (x^1)).
Hệ số tự do của đa thức (V(x)) là 9,5 (hạng tử không chứa x).

Mẹo kiểm tra: Đọc kỹ đề bài, xác định rõ các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng để thiết lập biểu thức.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa số giờ chạy của mỗi máy, hoặc quên cộng dung tích nước ban đầu.

Bài 7.9 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Yêu cầu viết đa thức (F(x)) thỏa mãn các điều kiện:

Bậc của (F(x)) bằng 3.
Hệ số của (x^2) bằng hệ số của (x) và bằng 2.
Hệ số cao nhất của (F(x)) bằng -6.
Hệ số tự do bằng 3.

Một đa thức bậc 3 có dạng tổng quát là: (F(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d).

Dựa vào các điều kiện đã cho:

Bậc của (F(x)) bằng 3, nên hệ số (a) phải khác 0.
Hệ số cao nhất của (F(x)) bằng -6. Do đó, (a = -6).
Hệ số của (x^2) bằng 2. Do đó, (b = 2).
Hệ số của (x) bằng 2. Do đó, (c = 2).
Hệ số tự do bằng 3. Do đó, (d = 3).

Thay các giá trị này vào dạng tổng quát của đa thức bậc 3, ta được:
(F(x) = -6x^3 + 2x^2 + 2x + 3)

Mẹo kiểm tra: Viết ra dạng tổng quát của đa thức theo bậc yêu cầu rồi điền các hệ số theo từng điều kiện.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa hệ số cao nhất, hệ số tự do và các hệ số khác.

Bài 7.10 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

a) Kiểm tra xem (x = – dfrac{1}{8}) có phải là nghiệm của đa thức (P(x) = 4x + dfrac{1}{2}) không.
Để kiểm tra, ta thay giá trị (x = – dfrac{1}{8}) vào đa thức (P(x)) và xem kết quả có bằng 0 hay không.
(Pleft(-dfrac{1}{8}right) = 4 cdot left(-dfrac{1}{8}right) + dfrac{1}{2})
(Pleft(-dfrac{1}{8}right) = -dfrac{4}{8} + dfrac{1}{2})
(Pleft(-dfrac{1}{8}right) = -dfrac{1}{2} + dfrac{1}{2})
(Pleft(-dfrac{1}{8}right) = 0)
Vì (Pleft(-dfrac{1}{8}right) = 0), nên (x = – dfrac{1}{8}) là nghiệm của đa thức (P(x)).

b) Kiểm tra xem trong ba số 1; -1 và 2, số nào là nghiệm của đa thức (Q(x) = x^2 + x – 2).
Ta lần lượt thay từng giá trị của x vào đa thức (Q(x)).

Với (x = 1):
(Q(1) = (1)^2 + (1) – 2 = 1 + 1 – 2 = 0).
Vì (Q(1) = 0), nên (x = 1) là một nghiệm của đa thức (Q(x)).
Với (x = -1):
(Q(-1) = (-1)^2 + (-1) – 2 = 1 – 1 – 2 = -2).
Vì (Q(-1) ne 0), nên (x = -1) không phải là nghiệm của đa thức (Q(x)).
Với (x = 2):
(Q(2) = (2)^2 + (2) – 2 = 4 + 2 – 2 = 4).
Vì (Q(2) ne 0), nên (x = 2) không phải là nghiệm của đa thức (Q(x)).

Vậy, trong ba số đã cho, chỉ có (x = 1) là nghiệm của đa thức (Q(x)).

Mẹo kiểm tra: Khi kiểm tra nghiệm, chỉ cần tính giá trị của đa thức tại điểm đó, nếu bằng 0 thì đó là nghiệm.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong phép tính khi thay giá trị âm vào đa thức, hoặc nhầm lẫn dấu trong phép tính.

Bài 7.11 trang 30 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Mẹ cho Quỳnh 100 nghìn đồng. Quỳnh mua một bộ dụng cụ học tập có giá 37 nghìn đồng và một cuốn sách tham khảo môn Toán với giá x (nghìn đồng).

a) Tìm đa thức biểu thị số tiền Quỳnh còn lại:
Số tiền ban đầu Quỳnh có: 100 nghìn đồng.
Số tiền đã chi mua dụng cụ học tập: 37 nghìn đồng.
Số tiền chi mua sách: x nghìn đồng.
Số tiền Quỳnh còn lại, ký hiệu là (C(x)), được tính bằng số tiền ban đầu trừ đi tổng số tiền đã chi.
(C(x) = 100 – 37 – x)
(C(x) = (100 – 37) – x)
(C(x) = 63 – x)

Đa thức biểu thị số tiền Quỳnh còn lại (biến x) là (C(x) = 63 – x).

Tìm bậc của đa thức đó:
Đa thức (C(x) = -x + 63) (sắp xếp lại theo lũy thừa giảm dần).
Hạng tử có bậc cao nhất là (-x), có bậc là 1.
Vậy, bậc của đa thức (C(x)) là 1.

b) Tìm giá tiền của cuốn sách:
Đề bài cho biết sau khi mua sách, Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho. Điều này có nghĩa là số tiền còn lại của Quỳnh là 0.
Ta có (C(x) = 0).
(-x + 63 = 0)
Chuyển x sang vế phải:
(63 = x)
Hay (x = 63).

Vậy, giá tiền của cuốn sách là 63 nghìn đồng.

Mẹo kiểm tra: Kiểm tra xem các phép trừ có thực hiện đúng thứ tự và có thu gọn đúng các hạng tử hay không. Khi tìm giá tiền, cần thiết lập phương trình đúng với điều kiện “tiêu vừa hết”.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong phép trừ số hoặc khi thiết lập phương trình để tìm x.

Đáp Án/Kết Quả

Bài 7.5:
a) Đơn thức nhận được là (2x^5). Hệ số là 2, bậc là 5.
b) Đơn thức nhận được là (-2x^3). Hệ số là -2, bậc là 3.

Bài 7.6:
a) (A(x) = – 7{x^4} + {x^3} – 4{x^2} + 2x + 9), (B(x) = 8{x^4} – 8{x^2} + x – 7).
b) Đa thức A: Bậc 4, hệ số cao nhất -7, hệ số tự do 9.
Đa thức B: Bậc 4, hệ số cao nhất 8, hệ số tự do -7.

Bài 7.7:
a) (P(x) = 2{x^2}), (Q(x) = 8{x^2} – 2x + 5).
b) Đa thức P: Bậc 2, hệ số cao nhất 2, hệ số tự do 0.
Đa thức Q: Bậc 2, hệ số cao nhất 8, hệ số tự do 5.

Bài 7.8: Đa thức biểu thị dung tích bể là (V(x) = 38x + 9,5). Hệ số cao nhất là 38, hệ số tự do là 9,5.

Bài 7.9: (F(x) = -6x^3 + 2x^2 + 2x + 3).

Bài 7.10:
a) (x = – dfrac{1}{8}) là nghiệm của đa thức (P(x) = 4x + dfrac{1}{2}).
b) (x = 1) là nghiệm của đa thức (Q(x) = x^2 + x – 2).

Bài 7.11:
a) Đa thức biểu thị số tiền còn lại là (C(x) = 63 – x). Bậc của đa thức là 1.
b) Giá tiền của cuốn sách là 63 nghìn đồng.

Conclusion

Bài tập giải toán 7 bài 25 về đa thức một biến, thuộc bộ sách Kết nối tri thức, đã trang bị cho học sinh những kỹ năng cơ bản và thiết yếu trong chương trình Đại số lớp 7. Thông qua việc phân tích chi tiết từng bài toán, từ phép tính đơn thức, thu gọn và sắp xếp đa thức đến việc xác định các yếu tố quan trọng như bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do, và tìm nghiệm, các em có thể tự tin hơn trong việc tiếp cận và giải quyết các dạng bài tập tương tự. Nắm vững kiến thức này là bước đệm quan trọng để học sinh tiếp tục chinh phục các chủ đề toán học phức tạp hơn ở các lớp tiếp theo.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 9, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.