Giải Toán 8 Tập 2 Trang 87: Phân Tích Chuyên Sâu Trường Hợp Đồng Dạng Cạnh – Góc – Cạnh (c.g.c)
Giải toán 8 tập 2 trang 87 cung cấp các hoạt động và bài tập cốt lõi về trường hợp đồng dạng c.g.c. Nắm vững kiến thức này là bước then chốt để làm chủ môn Hình học lớp 8. Bài viết này sẽ phân tích chi tiết, mở rộng lý thuyết và hướng dẫn chứng minh tam giác đồng dạng qua từng bài tập. Chúng tôi đảm bảo cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp học sinh củng cố kiến thức và nâng cao khả năng tư duy hình học. Sự hiểu biết về tỉ số đồng dạng không chỉ áp dụng cho bài tập này mà còn cho nhiều bài toán nâng cao khác.
I. Cơ Sở Lý Thuyết Về Trường Hợp Đồng Dạng Cạnh – Góc – Cạnh (c.g.c)
Nền tảng vững chắc về lý thuyết là điều kiện tiên quyết để giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh (c.g.c) là một trong ba tiêu chí quan trọng nhất. Nó giúp chúng ta xác định mối quan hệ đồng dạng giữa hai tam giác một cách hiệu quả.
Định Nghĩa và Phát Biểu Định Lý
Hai tam giác được gọi là đồng dạng khi các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau. Định lý về trường hợp đồng dạng c.g.c cung cấp một điều kiện rút gọn. Nó cho phép kết luận về sự đồng dạng chỉ dựa trên hai yếu tố.
Định lý phát biểu rằng: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia. Đồng thời, góc tạo bởi hai cặp cạnh đó bằng nhau. Khi đó, hai tam giác đó đồng dạng với nhau. Góc phải là góc xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ. Đây là điều kiện bắt buộc và rất quan trọng cần phải ghi nhớ.
Ví dụ, xét $Delta ABC$ và $Delta A’B’C’$. Nếu $frac{A’B’}{AB} = frac{A’C’}{AC}$ và $widehat A’ = widehat A$. Khi đó, $Delta A’B’C’ sim Delta ABC$. Đây là cách viết đúng kí hiệu đồng dạng, thể hiện sự tương ứng của các đỉnh.
Tỉ Số Đồng Dạng ($k$)
Tỉ số đồng dạng $k$ là tỉ số giữa độ dài hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng. Trong trường hợp $Delta A’B’C’ sim Delta ABC$, tỉ số đồng dạng được tính là $k = frac{A’B’}{AB} = frac{B’C’}{BC} = frac{A’C’}{AC}$.
Tỉ số $k$ là một đại lượng vô hướng và có ý nghĩa vật lý rõ ràng. Nếu $k > 1$, $Delta A’B’C’$ là ảnh phóng đại của $Delta ABC$. Nếu $0 < k < 1$, $Delta A’B’C’$ là ảnh thu nhỏ. Nếu $k = 1$, hai tam giác bằng nhau (một trường hợp đặc biệt của đồng dạng). Việc xác định đúng tỉ số $k$ là cần thiết. Nó giúp tính toán các đại lượng khác của tam giác, như chu vi hay diện tích.
Chu vi của hai tam giác đồng dạng cũng tỉ lệ với tỉ số đồng dạng $k$. Diện tích của chúng tỉ lệ với $k^2$. Sự khác biệt này là một trong những ứng dụng quan trọng. Nó giúp giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ số diện tích trong hình học.
Hệ Quả Ứng Dụng Của Định Lý c.g.c
Trường hợp đồng dạng c.g.c không chỉ dùng để chứng minh hai tam giác đồng dạng. Nó còn là công cụ để suy ra các tính chất khác. Một hệ quả quan trọng là việc chứng minh các đường thẳng song song. Nếu $Delta ABC sim Delta ADE$ với $D in AB$ và $E in AC$. Khi đó, ta có thể suy ra $DE // BC$ (Định lý Thalès đảo).
Trong các bài toán chứng minh hệ thức hình học, tỉ số đồng dạng là chìa khóa. Ví dụ, để chứng minh $AB cdot CD = EF cdot GH$. Ta thường tìm cách đưa về tỉ lệ thức $frac{AB}{EF} = frac{GH}{CD}$. Sau đó, chứng minh hai tam giác chứa các cạnh này đồng dạng.
Sử dụng định lý c.g.c, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết các bài toán dựng hình. Nó cũng giúp trong việc tính toán khoảng cách hoặc chiều cao không thể đo trực tiếp. Đây là một ứng dụng thực tế của khái niệm đồng dạng.
II. Phân Tích Chuyên Sâu Các Bài Tập Trong Sách Giáo Khoa (Trang 87)
Các bài tập trong giải toán 8 tập 2 trang 87 được thiết kế để củng cố lý thuyết. Chúng giúp học sinh làm quen với việc áp dụng trường hợp đồng dạng c.g.c. Việc phân tích từng bài tập một cách kỹ lưỡng sẽ làm sáng tỏ phương pháp giải.
Hoạt Động 2 (HĐ2): Khởi Đầu Với Tỉ Số Cạnh và Góc Xen Giữa
Hoạt động 2 là một bài toán minh họa trực quan cho định lý c.g.c. Mục tiêu là kiểm tra điều kiện cần và đủ để hai tam giác đồng dạng. Nó sử dụng dữ liệu độ dài cạnh và góc cụ thể.
Phân tích đề bài và lời giải
Cho hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ với các kích thước đã biết. $widehat A = widehat {A’} = 60^0$. Các cạnh là $AB=4, AC=6$ và $A’B’=6, A’C’=9$. Yêu cầu là so sánh tỉ số $frac{{A’B’}}{{AB}}$ và $frac{{A’C’}}{{AC}}$.
Bước 1: Tính tỉ số các cạnh.
$frac{{A’B’}}{{AB}} = frac{6}{4} = frac{3}{2}$.
$frac{{A’C’}}{{AC}} = frac{9}{6} = frac{3}{2}$.
Kết quả: $frac{{A’B’}}{{AB}} = frac{{A’C’}}{{AC}} = frac{3}{2}$.
Bước 2: So sánh độ dài cạnh còn lại.
Yêu cầu đo độ dài $BC$ và $B’C’$ rồi tính tỉ số $frac {B′C′} {BC}$. Việc đo đạc thực tế sẽ cho ra kết quả $frac{{B’C’}}{{BC}} approx frac{3}{2}$. Trong hình học lý tưởng, tỉ số này phải bằng $frac{3}{2}$.
Kết quả: $frac{{B’C’}}{{BC}} = frac{3}{2}$.
Bước 3: Kết luận đồng dạng.
Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với cùng một tỉ số đồng dạng $k = frac{3}{2}$.
$frac{{A’B’}}{{AB}} = frac{{A’C’}}{{AC}} = frac{{B’C’}}{{BC}} = frac{3}{2}$.
Hơn nữa, ta có $widehat A = widehat {A’} = 60^0$. Mặc dù chỉ cần kiểm tra hai tỉ số cạnh và góc xen giữa, việc kiểm tra cả ba tỉ số cạnh (trường hợp c.c.c) cũng khẳng định sự đồng dạng.
Kết luận: Tam giác $A’B’C’$ đồng dạng với tam giác $ABC$ theo tỉ số $frac{3}{2}$.
Hình 9.15: Hai tam giác ABC và A'B'C' với các cạnh và góc cho trước minh họa trường hợp đồng dạng c.g.c
Phân tích này cho thấy sự chặt chẽ của định lý c.g.c. Chỉ cần hai cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau là đủ.
Câu Hỏi (CH): Nhận Dạng Cặp Tam Giác Đồng Dạng
Bài toán này rèn luyện kỹ năng quan sát và nhận biết sự tương ứng của các đỉnh. Trong một hình vẽ có nhiều tam giác, việc xác định đúng cặp đồng dạng là thử thách.
Phân tích đề bài và lời giải
Quan sát Hình 9.17, ta thấy có ba tam giác là $Delta ABC$, $Delta MNP$, và $Delta FDE$. Ta cần tìm ra cặp tam giác đồng dạng.
Kiểm tra $Delta ABC$ và $Delta MNP$:
- Các cạnh: $AC=4, CB=6$ (trong $Delta ACB$); $MP=6, PN=9$ (trong $Delta MPN$).
- Tỉ số: $frac{MP}{AC} = frac{6}{4} = frac{3}{2}$ và $frac{PN}{CB} = frac{9}{6} = frac{3}{2}$.
- Góc xen giữa: $widehat P = 30^0$ (xen giữa $MP$ và $PN$); $widehat C = 30^0$ (xen giữa $AC$ và $CB$).
- Ta có $frac{MP}{AC} = frac{PN}{CB} = frac{3}{2}$ và $widehat P = widehat C = 30^0$.
- Kết luận: $Delta MPN sim Delta ACB$ (theo thứ tự đỉnh tương ứng) theo trường hợp c.g.c.
Kiểm tra $Delta ABC$ và $Delta FDE$:
- Góc $widehat A = 40^0$ và $widehat B = 110^0$, suy ra $widehat C = 180^0 – 40^0 – 110^0 = 30^0$.
- $Delta FDE$ có $widehat F = 40^0, widehat D = 100^0$. Góc còn lại $widehat E = 180^0 – 40^0 – 100^0 = 40^0$. Do $widehat F = widehat E = 40^0$, $Delta FDE$ là tam giác cân tại $D$.
- Không có cặp góc bằng nhau để áp dụng c.g.c (góc xen giữa không bằng nhau).
Hình 9.17: Ba tam giác với các kích thước và góc khác nhau, yêu cầu nhận dạng cặp đồng dạng
Việc viết đúng kí hiệu $Delta ACB sim Delta MPN$ là rất quan trọng. Nó đảm bảo các đỉnh tương ứng được đặt đúng vị trí. Cụ thể: $A leftrightarrow M, C leftrightarrow P, B leftrightarrow N$.
Luyện Tập 2 (LT2): Bài Toán Chứng Minh Phức Hợp
Bài Luyện Tập 2 đưa ra một bài toán chứng minh phức tạp hơn. Nó yêu cầu kết hợp giữa kiến thức về tỉ lệ đoạn thẳng và trường hợp đồng dạng c.g.c. Đây là dạng bài thường gặp trong đề thi học sinh giỏi.
Phân tích đề bài và lời giải
Đề bài: Cho $Delta A’B’C’ sim Delta ABC$. Trên tia đối của $CB, C’B’$ lần lượt lấy $M, M’$ sao cho $frac{{MC}}{{MB}} = frac{{M’C’}}{{M’B’}}$. Chứng minh $Delta A’B’M’ sim Delta ABM$.
Chứng minh:
Thiết lập tỉ số cạnh:
Từ $frac{{MC}}{{MB}} = frac{{M’C’}}{{M’B’}}$, ta cần biến đổi để tìm tỉ số $frac{{M’B’}}{{MB}}$ và $frac{{A’B’}}{{AB}}$.
Vì $M$ nằm trên tia đối của $CB$, $B$ nằm giữa $C$ và $M$. Do đó, $MC = MB – BC$.
Tương tự, $M’C’ = M’B’ – B’C’$.
Thay vào tỉ lệ thức ban đầu:
$$frac{{MB – BC}}{{MB}} = frac{{M’B’ – B’C’}}{{M’B’}}$$
$$Rightarrow 1 – frac{{BC}}{{MB}} = 1 – frac{{B’C’}}{{M’B’}}$$
$$Rightarrow frac{{BC}}{{MB}} = frac{{B’C’}}{{M’B’}}$$
$$Rightarrow frac{{M’B’}}{{MB}} = frac{{B’C’}}{{BC}} quad (1)$$Sử dụng giả thiết đồng dạng ban đầu:
Vì $Delta A’B’C’ sim Delta ABC$, ta suy ra:- $widehat {B’} = widehat B$
- $frac{{A’B’}}{{AB}} = frac{{B’C’}}{{BC}} quad (2)$
Áp dụng trường hợp c.g.c:
Từ (1) và (2), ta có $frac{{M’B’}}{{MB}} = frac{{A’B’}}{{AB}}$.
Xét $Delta A’B’M’$ và $Delta ABM$:- $frac{{A’B’}}{{AB}} = frac{{M’B’}}{{MB}}$ (hai cặp cạnh tỉ lệ).
- $widehat {A’B’M’} = widehat {ABM}$ (vì $widehat {B’} = widehat B$ và $M, B, C$ thẳng hàng, $M’, B’, C’$ thẳng hàng).
Theo trường hợp đồng dạng c.g.c, ta kết luận $Delta A’B’M’ sim Delta ABM$.
Hình 9.19: Tam giác A'B'C' đồng dạng với ABC và các điểm M, M' được xác định trên tia đối của CB, C'B'
Bài toán này minh họa cách sử dụng tỉ số đồng dạng để thiết lập mối quan hệ tỉ lệ mới.
Thử Lách (TL): Phản Ví Dụ và Cảnh Báo Sai Lầm
Bài Thử Lách là một ví dụ điển hình về lỗi sai thường gặp khi áp dụng định lý c.g.c. Nó nhấn mạnh điều kiện “góc xen giữa” là bắt buộc. Việc bỏ qua điều kiện này sẽ dẫn đến kết luận sai lầm.
Phân tích nhận xét sai lầm
Bạn Lan nhận xét rằng: Nếu $Delta ABC$ và $Delta A’B’C’$ có $frac{{A’B’}}{{AB}} = frac{{A’C’}}{{AC}}$ và $widehat {B’} = widehat B$ thì chúng đồng dạng.
Nhận xét này là sai.
Lý do sai là góc bằng nhau ($widehat {B’} = widehat B$) không phải là góc xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ ($AB$ và $AC$; $A’B’$ và $A’C’$). Góc xen giữa của cặp cạnh $AB, AC$ là $widehat A$. Góc xen giữa của cặp cạnh $A’B’, A’C’$ là $widehat {A’}$.
Xây dựng phản ví dụ:
Ta dùng gợi ý của sách giáo khoa để chứng minh. Giả sử $widehat{ACB}$ là góc tù.
Lấy điểm $M$ trên tia $BC$ sao cho $Delta AMC$ cân tại $A$. Khi đó, $AM = AC$.
Xét $Delta ABM$ và $Delta A’B’C’$. Giả sử ta chọn $A’B’$ và $A’C’$ sao cho $frac{{A’B’}}{{AB}} = frac{{A’C’}}{{AC}} = k$.
Vì $AM = AC$, nên ta có $frac{{A’B’}}{{AB}} = frac{{A’C’}}{{AM}} = k$.
Hình 9.19: Sử dụng tam giác AMC cân tại A để tạo ra phản ví dụ cho nhận xét sai lầm của Lan
Nếu ta chọn các giá trị sao cho $Delta A’B’C’$ đồng dạng với $Delta ABM$. Khi đó $Delta A’B’C’ sim Delta ABM$.
Tuy nhiên, $Delta ABM$ và $Delta ABC$ rõ ràng không bằng nhau. Hơn nữa, $Delta A’B’C’$ và $Delta ABC$ có $frac{{A’B’}}{{AB}} = frac{{A’C’}}{{AC}}$ và $widehat {B’} = widehat B$. Nhưng chúng lại không đồng dạng. Góc $widehat A’$ và $widehat A$ không bằng nhau.
Kết luận: Nhận xét của Lan không chính xác vì điều kiện về góc bằng nhau phải là góc xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ. Đây là một điểm yếu tố quyết định trong định lý c.g.c.
III. Phương Pháp Chứng Minh Tam Giác Đồng Dạng Bằng Trường Hợp C.G.C
Việc áp dụng định lý c.g.c đòi hỏi một quy trình logic và chính xác. Tránh nhầm lẫn giữa các đỉnh tương ứng và góc xen giữa. Đây là quy trình ba bước cốt lõi.
Quy Trình Ba Bước Cốt Lõi
Để chứng minh $Delta XYZ sim Delta X’Y’Z’$ bằng trường hợp c.g.c, thực hiện các bước sau:
- Xác định các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ: Chọn hai cặp cạnh. Đảm bảo rằng tỉ số của chúng bằng nhau. Ví dụ: $frac{X’Y’}{XY} = frac{X’Z’}{XZ} = k$. Việc này thường yêu cầu tính toán. Nó có thể dựa trên dữ kiện đã cho hoặc các tỉ lệ thức đã được chứng minh.
- Kiểm tra góc xen giữa bằng nhau: Xác định góc được tạo bởi hai cặp cạnh đã chọn. Phải chứng minh $widehat{X’} = widehat{X}$. Đây là bước quyết định. Nếu góc bằng nhau không phải là góc xen giữa, định lý c.g.c không được áp dụng.
- Kết luận đồng dạng: Nếu cả hai điều kiện trên được thỏa mãn. Kết luận $Delta X’Y’Z’ sim Delta XYZ$ (c.g.c).
Việc tuân thủ đúng thứ tự các đỉnh trong kí hiệu đồng dạng là không thể thiếu. Nó giúp duy trì sự tương ứng chính xác của các yếu tố hình học.
Các Lỗi Sai Thường Gặp
Trong quá trình giải toán 8 tập 2 trang 87, học sinh thường mắc phải một số lỗi cơ bản. Nhận diện và tránh chúng giúp nâng cao độ chính xác.
Lỗi 1: Nhầm lẫn góc xen giữa. Đây là lỗi nghiêm trọng nhất, như đã thấy trong bài TL. Học sinh thường cố gắng áp dụng c.g.c chỉ với hai cặp cạnh tỉ lệ và một góc bất kỳ bằng nhau. Luôn nhớ rằng góc phải nằm giữa hai cặp cạnh đã chọn.
Lỗi 2: Xác định sai thứ tự đỉnh tương ứng. Khi viết $Delta A’B’C’ sim Delta ABC$, ta phải đảm bảo: $A’$ tương ứng với $A$, $B’$ tương ứng với $B$, $C’$ tương ứng với $C$. Nếu các tỉ số cạnh là $frac{A’B’}{BC} = frac{B’C’}{CA}$, thì thứ tự đỉnh phải là $Delta A’B’C’ sim Delta BCA$.
Lỗi 3: Sai lầm trong tính toán tỉ số. Đôi khi, việc tính toán tỉ số độ dài bị sai sót. Việc này có thể do nhầm lẫn đơn vị hoặc phép chia. Luôn kiểm tra lại các tỉ số trước khi kết luận.
IV. Ứng Dụng Thực Tiễn và Bài Tập Nâng Cao (Chuẩn Bị HSG)
Kiến thức về đồng dạng tam giác, đặc biệt là trường hợp c.g.c, có ứng dụng rộng rãi. Nó không chỉ giới hạn trong chương trình sách giáo khoa. Nó còn là nền tảng cho nhiều bài toán nâng cao. Đây là một phần không thể thiếu trong các đề thi học sinh giỏi (HSG).
Ứng Dụng Trong Hình Học Phẳng
- Chứng minh hai đường thẳng song song: Sử dụng tính chất đồng dạng để suy ra tỉ lệ thức các đoạn thẳng. Sau đó, áp dụng định lý Thalès đảo để chứng minh tính song song.
- Chứng minh các hệ thức hình học: Đồng dạng tam giác là công cụ mạnh mẽ nhất. Nó thường được sử dụng để chứng minh các công thức về tích và tỉ số. (Ví dụ: $AB^2 = AC cdot AD$).
- Tính toán gián tiếp: Trong trắc địa và thiên văn học, đồng dạng tam giác giúp tính chiều cao của vật thể. Nó cho phép tính khoảng cách không thể đo trực tiếp.
Bài Tập Tự Luyện Nâng Cao
Để củng cố kiến thức giải toán 8 tập 2 trang 87 và chuẩn bị cho các kỳ thi HSG. Học sinh nên luyện tập các bài toán có tính tổng hợp cao.
Bài Tự Luyện 1 (Chứng minh đồng quy):
Cho $Delta ABC$ và $Delta A’B’C’$. Biết $AB = 3, AC = 4, BC = 5$. $A’B’ = 6, A’C’ = 8, B’C’ = 10$. Chứng minh $Delta A’B’C’ sim Delta ABC$. (Bài toán này gợi ý về tam giác vuông và tỉ số c.c.c).
Bài Tự Luyện 2 (Tỉ số diện tích):
Cho hình bình hành $ABCD$. $E$ là trung điểm $AB$. $F$ là điểm trên $BC$ sao cho $BF = 2FC$. $G$ là giao điểm của $DF$ và $EC$. Chứng minh $Delta DEG sim Delta FC G$. Từ đó, tính tỉ số diện tích $frac{S{DEG}}{S{FCG}}$. (Cần sử dụng thêm tính chất hình bình hành và trường hợp đồng dạng c.g.c).
Bài Tự Luyện 3 (Chứng minh hệ thức):
Cho $Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. $M$ là trung điểm $BH$. $N$ là trung điểm $AH$. Chứng minh $Delta BMN sim Delta BAH$ và $BN perp CM$. (Áp dụng c.g.c sau khi xác định được các cặp cạnh tỉ lệ thông qua trung điểm).
Nền tảng kiến thức vững chắc từ giải toán 8 tập 2 trang 87 là bước đệm. Nó giúp các em học sinh tự tin chinh phục các bài toán hình học khó. Việc thực hành thường xuyên sẽ nâng cao khả năng tư duy và vận dụng linh hoạt các định lý.
Toàn bộ quá trình giải toán 8 tập 2 trang 87 tập trung vào việc làm sáng tỏ trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh. Từ Hoạt động 2 thiết lập tỉ số và góc, đến Câu hỏi nhận dạng trực quan, bài Luyện tập 2 với biến đổi đại số phức tạp, và cuối cùng là bài Thử Lách cảnh báo về sai lầm góc không xen giữa. Việc nắm vững lý thuyết c.g.c. Nó đòi hỏi sự chính xác tuyệt đối trong việc xác định cặp cạnh tỉ lệ và góc tương ứng. Bài viết này đã phân tích chuyên sâu các bài tập, mở rộng lý thuyết và cung cấp ứng dụng nâng cao. Nó giúp học sinh không chỉ giải được bài tập mà còn hiểu sâu sắc bản chất hình học.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất December 4, 2025 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
