Giải Toán 8 trang 46 Tập 1 Kết nối tri thức: Phân Tích và Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử

by Thầy Đông · January 6, 2026

Rate this post

Chào mừng các em học sinh đến với phần giải toán 8 trang 46 thuộc tập 1 của bộ sách Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ đi sâu vào hai bài tập quan trọng là Bài 2.26 và Bài 2.27, giúp các em nắm vững kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử – một kiến thức nền tảng và xuyên suốt trong chương trình Toán học phổ thông. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước giải, làm rõ các phương pháp áp dụng và rút ra những lưu ý quan trọng để các em tự tin chinh phục dạng bài này.

Đề Bài

Bài 2.26 trang 46 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2 - 6x + 9 - y^2$ ;

b) $4x^2 - y^2 + 4y - 4$ ;

c) $xy + z^2 + xz + yz$ ;

d) $x^2 - 4xy + 4y^2 + xz - 2yz$ .

Bài 2.27 trang 46 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^3 + y^3 + x + y$ ;

b) $x^3 - y^3 + x - y$ ;

c) $(x - y)^3 + (x + y)^3$ ;

d) $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + y^2 - x^2$ .

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập được đưa ra yêu cầu chúng ta thực hiện “phân tích đa thức thành nhân tử”. Đây là một kỹ năng cốt lõi trong Đại số lớp 8, giúp đơn giản hóa biểu thức, giải phương trình và bất phương trình, cũng như rút gọn phân thức. Các bài tập này bao gồm nhiều dạng đa thức khác nhau, đòi hỏi sự linh hoạt trong việc áp dụng các phương pháp phân tích như: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử một cách hợp lý. Đặc biệt, Bài 2.27 còn liên quan đến các hằng đẳng thức bậc ba và cách kết hợp nhiều phương pháp.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Các Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ (Cơ bản và Nâng cao):
- Bình phương của một tổng: $\left(a+bright)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- Bình phương của một hiệu: $\left(a-bright)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- Hiệu hai bình phương: $a^2 - b^2 = \left(a-bright)\left(a+bright)$
- Lập phương của một tổng: $\left(a+bright)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
- Lập phương của một hiệu: $\left(a-bright)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
- Tổng hai lập phương: $a^3 + b^3 = \left(a+bright)\left(a^2 - ab + b^2right)$
- Hiệu hai lập phương: $a^3 - b^3 = \left(a-bright)\left(a^2 + ab + b^2right)$
Các Phương Pháp Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử:
- Đặt nhân tử chung: Tìm nhân tử chung lớn nhất của các hạng tử và đặt ra ngoài dấu ngoặc. Ví dụ: $ax + ay = a(x+y)$ .
- Nhóm các hạng tử: Sắp xếp lại các hạng tử và nhóm chúng lại sao cho có thể áp dụng các phương pháp khác (đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức).
- Sử dụng hằng đẳng thức: Nhận dạng đa thức có dạng một trong các hằng đẳng thức đã học và viết lại dưới dạng tích.
- Kết hợp các phương pháp: Đôi khi cần áp dụng liên tiếp nhiều phương pháp.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 2.26 trang 46 Toán 8 Tập 1

a) $x^2 - 6x + 9 - y^2$

Phân tích: Chúng ta thấy ba hạng tử đầu tiên là $x^2 - 6x + 9$ . Đây là một dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: $\left(x-3right)^2$ . Hạng tử còn lại là $y^2$ .
Áp dụng: Biểu thức trở thành $\left(x-3right)^2 – y^2$ . Đây là dạng hiệu hai bình phương với $a = x-3$ và $b = y$ .
Thực hiện: Áp dụng công thức $a^2 - b^2 = \left(a-bright)\left(a+bright)$ , ta được:
$\left( (x-3) - y \right) \left( (x-3) + y \right)$
$= \left(x - y - 3right)\left(x + y - 3right)$
Mẹo kiểm tra: Nhân hai đa thức kết quả lại để xem có ra đa thức ban đầu không.
Lỗi hay gặp: Quên dấu ngoặc khi áp dụng hiệu hai bình phương cho biểu thức phức tạp như katex[/katex].

b) $4x^2 - y^2 + 4y - 4$

Phân tích: Quan sát các hạng tử $- y^2 + 4y - 4$ , ta có thể nhóm chúng lại và đặt dấu trừ ra ngoài. Khi đó, phần trong ngoặc là $y^2 - 4y + 4$ , đây là một hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: $\left(y-2right)^2$ .
Áp dụng: Biểu thức trở thành $4x^2 – \left(y^2 – 4y + 4right)$ . Hạng tử đầu tiên $4x^2$ cũng là bình phương của $2x$ , tức là $\left(2xright)^2$ .
Thực hiện: Biểu thức có dạng $\left(2xright)^2 – \left(y-2right)^2$ , đây là hiệu hai bình phương. Áp dụng công thức $a^2 - b^2 = \left(a-bright)\left(a+bright)$ với $a = 2x$ và $b = y-2$ :
$\left( 2x - (y-2) \right) \left( 2x + (y-2) \right)$
$= \left( 2x - y + 2 \right) \left( 2x + y - 2 \right)$
Mẹo kiểm tra: Đảm bảo dấu của các hạng tử bên trong ngoặc thay đổi đúng khi trừ đi katex[/katex].
Lỗi hay gặp: Sai lầm trong việc đổi dấu các hạng tử sau khi đặt dấu trừ ra ngoài ngoặc, hoặc nhầm lẫn hằng đẳng thức.

c) $xy + z^2 + xz + yz$

Có hai cách để giải bài này, đều dựa trên việc nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung.

Cách 1: Nhóm hạng tử (xy + xz) và (yz + z^2)

Phân tích: Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau.
Áp dụng:
$(xy + xz) + (yz + z^2)$
$= x(y + z) + z(y + z)$
Thực hiện: Ta thấy có nhân tử chung là katex[/katex]. Đặt nhân tử chung ra ngoài:
$= \left(x + zright)\left(y + zright)$

Cách 2: Nhóm hạng tử (xy + yz) và (z^2 + xz)

Phân tích: Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau theo cách khác.
Áp dụng:
$(xy + yz) + (z^2 + xz)$
$= y(x + z) + z(z + x)$
Thực hiện: Ta thấy có nhân tử chung là katex[/katex]. Đặt nhân tử chung ra ngoài:
$= \left(y + zright)\left(x + zright)$
Kết quả: Cả hai cách đều cho ra cùng một kết quả.
Mẹo kiểm tra: Đảm bảo rằng sau khi đặt nhân tử chung lần đầu, biểu thức còn lại trong ngoặc của hai nhóm là giống nhau.
Lỗi hay gặp: Chọn cách nhóm không hiệu quả, hoặc sai sót khi đặt nhân tử chung.

d) $x^2 - 4xy + 4y^2 + xz - 2yz$

Phân tích: Ba hạng tử đầu tiên là $x^2 - 4xy + 4y^2$ . Đây là một hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: $\left(x-2yright)^2$ . Hai hạng tử còn lại là $xz - 2yz$ , có nhân tử chung là $z$ .
Áp dụng: Ta nhóm ba hạng tử đầu và hai hạng tử cuối:
$(x^2 - 4xy + 4y^2) + (xz - 2yz)$
Thực hiện:
$= \left(x – 2yright)^2 + z(x – 2y)$
Bây giờ, ta thấy có nhân tử chung là $\left(x-2yright)$ . Đặt nhân tử chung này ra ngoài:
$= \left(x – 2yright)\left( (x-2y) + z \right)$
$= \left(x – 2yright)\left(x – 2y + zright)$
Mẹo kiểm tra: Sau khi nhóm và rút gọn từng phần, nhân tử chung katex[/katex] phải xuất hiện rõ ràng.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn khi khai triển hằng đẳng thức hoặc khi rút nhân tử chung từ nhóm thứ hai.

Bài 2.27 trang 46 Toán 8 Tập 1

a) $x^3 + y^3 + x + y$

Phân tích: Ta nhận thấy có tổng hai lập phương $x^3 + y^3$ và tổng $x + y$ .
Áp dụng: Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $x^3 + b^3 = \left(x+yright)\left(x^2 - xy + y^2right)$ .
Thực hiện:
$(x^3 + y^3) + (x + y)$
$= \left(x + yright)\left(x^2 – xy + y^2right) + (x + y)$
Ta thấy nhân tử chung là katex[/katex]. Đặt nhân tử chung ra ngoài:
$= \left(x + yright) \left( (x^2 – xy + y^2) + 1 \right)$
$= \left(x + yright)\left(x^2 – xy + y^2 + 1right)$
Mẹo kiểm tra: Sau khi đặt nhân tử chung, biểu thức còn lại không thể phân tích tiếp được nữa bằng các phương pháp cơ bản.
Lỗi hay gặp: Quên hạng tử “1” sau khi đặt nhân tử chung katex[/katex] ở biểu thức thứ hai.

b) $x^3 - y^3 + x - y$

Phân tích: Tương tự câu a, ta có hiệu hai lập phương $x^3 - y^3$ và hiệu $x - y$ .
Áp dụng: Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: $x^3 – y^3 = \left(x-yright)\left(x^2 + xy + y^2right)$ .
Thực hiện:
$(x^3 - y^3) + (x - y)$
$= \left(x – yright)\left(x^2 + xy + y^2right) + (x – y)$
Nhân tử chung là katex[/katex]. Đặt ra ngoài:
$= \left(x – yright) \left( (x^2 + xy + y^2) + 1 \right)$
$= \left(x – yright)\left(x^2 + xy + y^2 + 1right)$
Mẹo kiểm tra: Biểu thức thứ hai sau khi đặt nhân tử chung có dạng katex[/katex], khi tách ra, phần còn lại là số 1.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn dấu trong hằng đẳng thức hiệu hai lập phương hoặc khi đặt nhân tử chung.

c) $(x - y)^3 + (x + y)^3$

Phân tích: Biểu thức có dạng tổng hai lập phương, với $a = x-y$ và $b = x+y$ .
Áp dụng: Sử dụng hằng đẳng thức $a^3 + b^3 = \left(a+bright)\left(a^2 - ab + b^2right)$ .
Thực hiện:
$a+b = (x-y) + (x+y) = 2x$
$a^2 = (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
$b^2 = (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
$ab = (x-y)(x+y) = x^2 - y^2$
Vậy, biểu thức trong ngoặc thứ hai là:
$a^2 - ab + b^2 = (x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 - y^2) + (x^2 + 2xy + y^2)$
$= x^2 - 2xy + y^2 - x^2 + y^2 + x^2 + 2xy + y^2$
Rút gọn các hạng tử đồng dạng:
$= (x^2 - x^2 + x^2) + (-2xy + 2xy) + (y^2 + y^2 + y^2)$
$= x^2 + 3y^2$
Kết hợp lại:
$(x - y)^3 + (x + y)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) = (2x)(x^2 + 3y^2)$
Mẹo kiểm tra: Sau khi tính $a+b$ và $a^2 - ab + b^2$ một cách cẩn thận, hãy nhân kết quả lại.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong quá trình khai triển các bình phương, đổi dấu khi trừ $ab$ , hoặc sai lầm khi rút gọn biểu thức cuối cùng.

d) $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + y^2 - x^2$

Phân tích: Bốn hạng tử đầu tiên $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ là một hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: $\left(x-yright)^3$ . Hai hạng tử còn lại là $y^2 - x^2$ , có thể viết lại thành $-(x^2 - y^2)$ , đây là hiệu hai bình phương.
Áp dụng: Nhóm bốn hạng tử đầu và hai hạng tử cuối.
Thực hiện:
$(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + (y^2 - x^2)$
$= \left(x – yright)^3 – \left(x^2 – y^2right)$
Ta thấy $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ . Thay vào biểu thức:
$= \left(x – yright)^3 – \left(x – yright)\left(x + yright)$
Nhân tử chung lúc này là $\left(x-yright)$ . Đặt ra ngoài:
$= \left(x – yright) \left( (x-y)^2 – (x+y) \right)$
Tiếp tục khai triển biểu thức trong ngoặc vuông:
$= \left(x – yright) \left( (x^2 – 2xy + y^2) – (x+y) \right)$
$= \left(x – yright) \left( x^2 – 2xy + y^2 – x – y \right)$
Mẹo kiểm tra: Đảm bảo bạn nhận ra cả hai hằng đẳng thức và biết cách kết hợp chúng.
Lỗi hay gặp: Sai sót khi khai triển katex^2[/katex], hoặc quên đổi dấu khi trừ đi katex[/katex].

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi phân tích chi tiết, kết quả cuối cùng cho từng bài tập như sau:

Bài 2.26:
a) $\left(x + y – 3right)\left(x – y – 3right)$
b) $\left(2x + y – 2right)\left(2x – y + 2right)$
c) $\left(x + zright)\left(y + zright)$
d) $\left(x – 2yright)\left(x – 2y + zright)$

Bài 2.27:
a) $\left(x + yright)\left(x^2 – xy + y^2 + 1right)$
b) $\left(x – yright)\left(x^2 + xy + y^2 + 1right)$
c) $2xleft(x^2 + 3y^2right)$
d) $\left(x – yright)\left(x^2 – 2xy + y^2 – x – yright)$

Kết Luận

Việc nắm vững các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt là cách nhận diện và áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức, là chìa khóa để giải thành công các bài tập như giải toán 8 trang 46 này. Mỗi bài tập là một cơ hội để rèn luyện tư duy toán học, từ việc nhận dạng cấu trúc, nhóm hạng tử hợp lý cho đến việc áp dụng đúng công thức. Chúc các em luôn học tốt và tự tin với những bài toán sắp tới!

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.