Giải Toán 9 Trang 48 Tập 1 Kết Nối Tri Thức: Phân Tích Chuyên Sâu Bài Tập Căn Bậc Hai

Trang 48, Tập 1 sách giáo khoa Toán 9 bộ Kết nối tri thức, là nơi tập trung các bài tập củng cố kiến thức quan trọng về căn thức bậc hai và các phép biến đổi liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp hướng dẫn giải toán 9 trang 48 chi tiết, tập trung làm rõ bản chất toán học của từng bài, từ lý thuyết cơ bản đến các bài toán vận dụng thực tiễn, giúp học sinh nắm vững hằng đẳng thức $sqrt{A^2} = |A|$ và nguyên tắc điều kiện xác định của căn thức. Việc hiểu rõ các khái niệm này là nền tảng vững chắc để thực hiện chính xác phép tính rút gọn biểu thức phức tạp hơn trong chương trình. Chủ đề này thể hiện sự liên kết chặt chẽ giữa toán học lý thuyết và toán học và ứng dụng thực tiễn.

Cơ Sở Lý Thuyết Căn Bản Về Căn Thức Bậc Hai

Để giải quyết hiệu quả các bài tập trang 48, học sinh cần nắm chắc định nghĩa và tính chất cơ bản của căn bậc hai. Căn bậc hai số học của một số $a$ không âm là số $x$ không âm sao cho $x^2 = a$. Ký hiệu là $sqrt{a}$.

Định Nghĩa Và Điều Kiện Xác Định

Căn thức bậc hai $sqrt{A}$ được xác định khi và chỉ khi biểu thức $A$ nằm dưới dấu căn nhận giá trị không âm, tức là $A ge 0$. Đây là nguyên tắc cốt lõi cần áp dụng đầu tiên cho mọi bài toán liên quan đến căn thức. Việc tìm điều kiện xác định giúp đảm bảo phép tính hợp lệ trong tập số thực.

Hằng Đẳng Thức Căn Bản Quan Trọng

Hằng đẳng thức $sqrt{A^2} = |A|$ là công cụ then chốt trong việc rút gọn biểu thức chứa căn. Giá trị tuyệt đối đảm bảo kết quả của căn bậc hai số học luôn không âm. Khi áp dụng, chúng ta phải xét dấu của biểu thức $A$ để bỏ dấu giá trị tuyệt đối cho chính xác.

Lời Giải Chi Tiết Bài Tập Luyện Tập Và Vận Dụng

Phần bài tập này đòi hỏi học sinh áp dụng linh hoạt lý thuyết vào việc rút gọn và giải quyết bài toán thực tế.

Phân Tích Và Rút Gọn Biểu Thức (Luyện tập 5a)

Bài toán yêu cầu rút gọn biểu thức $dfrac{x}{sqrt{x^6}}$ với điều kiện $x < 0$. Việc rút gọn này bắt đầu bằng việc biến đổi căn thức bậc hai.

Ta có $sqrt{x^6} = sqrt{(x^3)^2}$. Áp dụng hằng đẳng thức căn bản, ta nhận được $sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$.

Vì điều kiện đề bài là $x < 0$, suy ra $x^3$ cũng mang giá trị âm. Do đó, theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, $|x^3| = -x^3$.

Thay thế kết quả này vào biểu thức gốc: $dfrac{x}{sqrt{x^6}} = dfrac{x}{-x^3}$. Rút gọn $x$ trên tử và mẫu ta được $dfrac{1}{-x^2}$.

Rút Gọn Và Tính Giá Trị Biểu Thức (Luyện tập 5b)

Biểu thức cần rút gọn là $x + sqrt{4x^2 – 4x + 1}$. Ta nhận thấy biểu thức dưới dấu căn là một hằng đẳng thức đáng nhớ.

Biểu thức dưới dấu căn là $4x^2 – 4x + 1 = (2x)^2 – 2 cdot 2x cdot 1 + 1^2 = (2x – 1)^2$.

Thay vào biểu thức gốc: $x + sqrt{(2x – 1)^2} = x + |2x – 1|$. Đây là dạng đã rút gọn tối đa.

Để tính giá trị tại $x = -2,5$, ta thay $x$ vào biểu thức đã rút gọn. Ta có $2x – 1 = 2(-2,5) – 1 = -5 – 1 = -6$.

Vì $-6$ là số âm, nên $|2x – 1| = |-6| = 6$.

Giá trị của biểu thức là $x + |2x – 1| = -2,5 + 6 = 3,5$. Kết quả này thể hiện sự chính xác khi xét dấu trị tuyệt đối.

Ứng Dụng Vật Lý Thực Tế (Vận dụng)

Bài toán vận dụng liên quan đến công thức tính quãng đường rơi tự do $S = 4,9t^2$, trong đó $S$ tính bằng mét và $t$ tính bằng giây.

Công Thức Tính Thời Gian Rơi Tự Do

Từ công thức $S = 4,9t^2$, ta cần biểu diễn $t$ theo $S$. Ta có $t^2 = dfrac{S}{4,9}$.

Vì thời gian $t$ phải là một giá trị dương ($t > 0$), nên $t$ chính là căn bậc hai số học của $dfrac{S}{4,9}$.

Công thức cuối cùng là $t = sqrt{dfrac{S}{4,9}}$ (giây). Đây là công thức chuyên môn dùng để tính thời gian vật rơi.

Tính Thời Gian Vật Chạm Đất

Độ cao vật rơi là $S = 122,5$ mét. Thay $S$ vào công thức vừa tìm được: $t = sqrt{dfrac{122,5}{4,9}}$.

Thực hiện phép chia: $dfrac{122,5}{4,9} = 25$.

Suy ra $t = sqrt{25} = 5$ (giây). Sau 5 giây, vật được thả rơi tự do từ độ cao 122,5 mét sẽ chạm đất.

Giải Quyết Các Bài Tập Củng Cố Kiến Thức Nền Tảng

Các bài tập từ 3.1 đến 3.4 củng cố kiến thức về cách tính căn bậc hai, làm tròn số, và điều kiện xác định của căn thức.

Tìm Căn Bậc Hai Và Làm Tròn (Bài 3.1)

Căn bậc hai của một số dương $a$ là hai giá trị $sqrt{a}$ và $-sqrt{a}$. Bài toán yêu cầu làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai (độ chính xác 0,005).

Trường Hợp Số Thập Phân (24,5)

Sử dụng máy tính, $sqrt{24,5} approx 4,949747$. Để làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, ta xét chữ số thập phân thứ ba (là 9).

Vì $9 ge 5$, ta cần cộng thêm 1 vào chữ số thập phân thứ hai. Ta được $sqrt{24,5} approx 4,95$.

Vậy, hai căn bậc hai của 24,5 là $4,95$ và $-4,95$.

Trường Hợp Phân Số (9/10)

Ta có $dfrac{9}{10} = 0,9$. Sử dụng máy tính, $sqrt{0,9} approx 0,948683$.

Xét chữ số thập phân thứ ba (là 8). Vì $8 ge 5$, ta cộng thêm 1 vào chữ số thứ hai.

Ta được $sqrt{dfrac{9}{10}} approx 0,95$.

Vậy, hai căn bậc hai của $dfrac{9}{10}$ là $0,95$ và $-0,95$.

Ước Lượng Đường Kính Ô Đất (Bài 3.2)

Bài toán áp dụng công thức diện tích hình tròn $S = pi R^2$ để ước lượng đường kính $d = 2R$ của ô đất có $S = 2 text{ m}^2$.

Thiết Lập Công Thức

Từ $S = pi R^2$, ta có $R^2 = dfrac{S}{pi}$. Thay $S = 2$: $R^2 = dfrac{2}{pi}$.

Vì bán kính $R$ luôn dương, ta có $R = sqrt{dfrac{2}{pi}}$.

Đường kính $d$ là $2R$, nên $d = 2sqrt{dfrac{2}{pi}}$.

Tính Toán Và Ước Lượng

Sử dụng máy tính, ta tính giá trị của $d = 2sqrt{dfrac{2}{pi}} approx 1,595769$.

Bài toán yêu cầu ước lượng với độ chính xác $0,005$, tức là làm tròn đến hai chữ số thập phân.

Xét chữ số thập phân thứ ba (là 5). Ta cần cộng thêm 1 vào chữ số thứ hai.

Vậy, $d approx 1,60 text{ m}$. Đường kính của các ô đất đó ước lượng khoảng 1,60 mét.

Điều Kiện Xác Định Và Tính Giá Trị Căn Thức (Bài 3.3)

Biểu thức căn thức là $sqrt{x + 10}$. Điều kiện để căn thức này có nghĩa là biểu thức dưới dấu căn không âm.

Điều kiện xác định là $x + 10 ge 0$. Điều này tương đương với $x ge -10$.

Giá trị $x = -1$ thỏa mãn điều kiện $x ge -10$.

Thay $x = -1$ vào biểu thức: $sqrt{-1 + 10} = sqrt{9}$.

Giá trị của $sqrt{9}$ là 3.

Tính Giá Trị Căn Bậc Hai Của Bình Phương (Bài 3.4)

Bài tập này nhằm củng cố việc áp dụng hằng đẳng thức $sqrt{A^2} = |A|$ một cách thuần thục.

Trường Hợp Thứ Nhất: $sqrt{5,1^2}$

Ta có $sqrt{5,1^2} = |5,1|$. Vì $5,1$ là số dương, nên $|5,1| = 5,1$.

Trường Hợp Thứ Hai: $sqrt{(-4,9)^2}$

Ta có $sqrt{(-4,9)^2} = |-4,9|$. Vì $-4,9$ là số âm, giá trị tuyệt đối của nó là số đối, tức là $4,9$.

Trường Hợp Thứ Ba: $-sqrt{(-0,001)^2}$

Ta thực hiện tính $sqrt{(-0,001)^2}$ trước. Ta có $sqrt{(-0,001)^2} = |-0,001|$.

Vì $-0,001$ là số âm, $|-0,001| = 0,001$.

Do đó, $-sqrt{(-0,001)^2} = -0,001$. Dấu trừ bên ngoài căn thức được giữ nguyên.

Kỹ Thuật Rút Gọn Biểu Thức Chuyên Sâu

Các bài tập rút gọn sau đòi hỏi sự cẩn thận trong việc xét dấu biểu thức để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Rút Gọn Biểu Thức Chứa Số (Bài 3.5a)

Biểu thức cần rút gọn là $sqrt{(2 – sqrt{5})^2}$. Áp dụng hằng đẳng thức, ta được $|2 – sqrt{5}|$.

Ta cần so sánh $2$ và $sqrt{5}$. Ta biết $2 = sqrt{4}$. Vì $sqrt{4} < sqrt{5}$, nên $2 < sqrt{5}$.

Do đó, $2 – sqrt{5}$ là số âm.

Theo định nghĩa, $|2 – sqrt{5}| = -(2 – sqrt{5}) = sqrt{5} – 2$.

Rút Gọn Biểu Thức Chứa Biến Số (Bài 3.5b)

Biểu thức là $3sqrt{x^2} – x + 1$ với điều kiện $x < 0$.

Ta có $sqrt{x^2} = |x|$. Vì $x < 0$, giá trị tuyệt đối của $x$ là số đối của nó, $|x| = -x$.

Thay vào biểu thức gốc: $3sqrt{x^2} – x + 1 = 3(-x) – x + 1$.

Thực hiện phép tính: $-3x – x + 1 = -4x + 1$.

Rút Gọn Biểu Thức Căn Thức Bậc Hai Phức Tạp (Bài 3.5c)

Biểu thức cần rút gọn là $sqrt{x^2 – 4x + 4}$ với điều kiện $x < 2$.

Phân tích biểu thức dưới dấu căn: $x^2 – 4x + 4$ là hằng đẳng thức $(x – 2)^2$.

Thay vào: $sqrt{x^2 – 4x + 4} = sqrt{(x – 2)^2}$. Áp dụng hằng đẳng thức căn bản, ta có $|x – 2|$.

Xét điều kiện $x < 2$. Điều này tương đương với $x – 2 < 0$.

Vì $x – 2$ là số âm, nên $|x – 2| = -(x – 2) = 2 – x$.

Chứng Minh Giá Trị Nguyên Của Biểu Thức

Bài 3.6 là một bài toán nâng cao, đòi hỏi sự linh hoạt trong việc áp dụng hằng đẳng thức. Biểu thức là $A = sqrt{(1 + sqrt{2})^2} – sqrt{(1 – sqrt{2})^2}$.

Phân Tích Và Áp Dụng Căn Thức

Sử dụng $sqrt{A^2} = |A|$ cho từng hạng tử:

$A = |1 + sqrt{2}| – |1 – sqrt{2}|$.

Xét Dấu Hạng Tử Thứ Nhất

Ta có $1 + sqrt{2}$. Vì $1$ và $sqrt{2}$ đều là số dương, nên $1 + sqrt{2} > 0$.

Do đó, $|1 + sqrt{2}| = 1 + sqrt{2}$.

Xét Dấu Hạng Tử Thứ Hai

Ta có $1 – sqrt{2}$. Vì $1 = sqrt{1}$ và $sqrt{1} < sqrt{2}$, nên $1 < sqrt{2}$.

Do đó, $1 – sqrt{2}$ là số âm.

Theo định nghĩa, $|1 – sqrt{2}| = -(1 – sqrt{2}) = sqrt{2} – 1$.

Tính Giá Trị Cuối Cùng

Thay kết quả trị tuyệt đối vào biểu thức $A$:

$A = (1 + sqrt{2}) – (sqrt{2} – 1)$.

Mở dấu ngoặc: $A = 1 + sqrt{2} – sqrt{2} + 1$.

Rút gọn: $A = 1 + 1 + (sqrt{2} – sqrt{2}) = 2$.

Vì 2 là một số nguyên, ta đã chứng tỏ được biểu thức $A$ có giá trị là số nguyên, hoàn thành yêu cầu của bài toán. Bài tập này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc xét dấu cẩn thận khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

---

Việc hoàn thành các bài tập trong giải toán 9 trang 48 không chỉ là tìm ra đáp số mà còn là quá trình đào sâu kiến thức nền tảng về căn bậc hai và căn thức. Từ việc tìm điều kiện xác định, áp dụng thành thạo hằng đẳng thức $sqrt{A^2} = |A|$, cho đến việc giải quyết các bài toán thực tế như tính thời gian rơi tự do, tất cả đều củng cố khả năng tư duy logic và kỹ năng phép tính rút gọn biểu thức của học sinh. Nắm vững các phương pháp và nguyên tắc đã trình bày là chìa khóa để đạt kết quả cao trong chương trình Toán 9.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 28, 2025 by Thầy Đông