Giải Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm Sách Kết nối tri thức

by Thầy Đông · January 6, 2026

Rate this post

Chào mừng các em học sinh lớp 12 đến với chuyên mục giải toán bài nguyên hàm sách Kết nối tri thức. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá khái niệm nguyên hàm, các tính chất quan trọng và cách tìm nguyên hàm của một số hàm số cơ bản, giúp các em nắm vững kiến thức để ôn tập hiệu quả.

Đề Bài

Nội dung bài viết này tập trung vào việc giải thích và làm rõ khái niệm, tính chất của Nguyên hàm trong chương trình Toán 12, sách Kết nối tri thức. Các bài tập cụ thể cùng đề bài chi tiết sẽ được trình bày trong các phần liên quan hoặc các trang tài liệu được trích dẫn.

Phân Tích Yêu Cầu

Nguyên hàm, hay còn gọi là tích phân bất định, là một khái niệm nền tảng trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán diện tích, thể tích, giải các phương trình vi phân và nhiều ứng dụng khác trong khoa học kỹ thuật. Khi tìm nguyên hàm của một hàm số $f(x)$, chúng ta cần tìm một hàm số $F(x)$ sao cho đạo hàm của nó bằng $f(x)$, tức là $F'(x) = f(x)$ . Điều này có nghĩa là phép lấy nguyên hàm là phép toán ngược của phép lấy đạo hàm.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

1. Định nghĩa Nguyên hàm

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên một khoảng $K$. Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x in K$.

Ký hiệu: $\int f(x) , dx = F(x) + C$ , trong đó:

$\int$ là ký hiệu nguyên hàm.
$f(x)$ là hàm số dưới dấu nguyên hàm.
$dx$ chỉ biến số lấy nguyên hàm là $x$.
$F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$.
$C$ là hằng số tùy ý ( $C in mathbb{R}$ ).

Tập hợp tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ được gọi là họ nguyên hàm của $f(x)$ và ký hiệu là $\int f(x) , dx$ .

2. Định lý cơ bản về Nguyên hàm

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x) + C$ , với $C$ là một hằng số nào đó.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

1. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Dựa trên định nghĩa và các quy tắc đạo hàm, chúng ta có thể suy ra các công thức nguyên hàm cơ bản sau:

Nguyên hàm của hàm đa thức:
Với $n \ne -1$ , ta có:
$\int x^n , dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
- Ví dụ: $\int x^2 , dx = \dfrac{x^3}{3} + C$ , $\int \sqrt{x} , dx = \int x^{1/2} , dx = \dfrac{x^{3/2}}{3/2} + C = \dfrac{2}{3}xsqrt{x} + C$
Nguyên hàm của hàm hằng:
$\int a , dx = ax + C$ (với $a$ là hằng số)
Nguyên hàm của hàm lượng giác:
$\int \cos x , dx = \sin x + C$
$\int \sin x , dx = -\cos x + C$
$\int \dfrac{1}{\cos^2 x} , dx = \tan x + C$ (với $x \ne \dfrac{\pi}{2} + kpi$ )
$\int \dfrac{1}{\sin^2 x} , dx = -\cot x + C$ (với $x \ne kpi$ )
Nguyên hàm của hàm mũ và logarit:
$\int e^x , dx = e^x + C$
$\int a^x , dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$ (với $a > 0$, $a \ne 1$ )
$\int \dfrac{1}{x} , dx = \ln|x| + C$

2. Tính chất cơ bản của Nguyên hàm

Các tính chất này giúp chúng ta biến đổi và tìm nguyên hàm của các hàm số phức tạp hơn dựa trên nguyên hàm của các hàm số cơ bản.

Tính chất 1: $\int [f(x) + g(x)] , dx = \int f(x) , dx + \int g(x) , dx$
Nguyên hàm của một tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm.
Tính chất 2: $\int kf(x) , dx = k \int f(x) , dx$ (với $k$ là hằng số)
Nếu nhân hàm số dưới dấu nguyên hàm với một hằng số $k$, ta có thể đưa hằng số đó ra ngoài dấu nguyên hàm.
Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được một họ nguyên hàm $F(x) + C$ cho hàm $f(x)$, em có thể kiểm tra lại bằng cách lấy đạo hàm của $F(x)$. Nếu $F'(x) = f(x)$ , thì kết quả là đúng.
Lỗi hay gặp:
- Quên cộng hằng số $C$ khi tìm nguyên hàm.
- Nhầm lẫn công thức nguyên hàm của các hàm lượng giác hoặc hàm mũ, logarit.
- Không xử lý đúng giá trị tuyệt đối trong $\ln|x|$ .
- Sai sót trong việc áp dụng các quy tắc biến đổi.

3. Phương pháp đổi biến số trong Nguyên hàm (sơ lược)

Đây là phương pháp nâng cao hơn, thường được giới thiệu sau các công thức cơ bản.

Trường hợp 1: Nếu $u = g(x)$ , thì $du = g'(x) , dx$ . Khi đó, ta có thể viết lại tích phân theo biến $u$:
$\int f(g(x))g'(x) , dx = \int f(u) , du$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của $\int (2x+1)^3 , dx$ .
Đặt $u = 2x+1$ , suy ra $du = 2 , dx$ , hay $dx = \dfrac{1}{2} , du$ .
Khi đó, $\int (2x+1)^3 , dx = \int u^3 \left(\dfrac{1}{2} , duright) = \dfrac{1}{2} \int u^3 , du = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{u^4}{4} + C = \dfrac{(2x+1)^4}{8} + C$ .
Trường hợp 2: Đặt $x = g(t)$ , suy ra $dx = g'(t) , dt$ .
$\int f(x) , dx = \int f(g(t))g'(t) , dt$
Phương pháp này thường dùng khi hàm dưới dấu nguyên hàm có dạng phức tạp, ví dụ chứa căn thức hoặc khi muốn đưa về các hàm số quen thuộc.

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi tìm được nguyên hàm $F(x) + C$ cho một hàm số $f(x)$, kết quả cuối cùng là một họ các hàm số có đạo hàm bằng $f(x)$. Giá trị của hằng số $C$ sẽ được xác định nếu có thêm điều kiện ban đầu (ví dụ: đi qua một điểm cụ thể), khi đó ta có thể tìm được một nguyên hàm duy nhất.

Kết luận

Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các công thức nguyên hàm cơ bản là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan. Hãy thực hành thường xuyên với các dạng bài tập khác nhau để làm quen và thành thạo kỹ năng giải toán bài nguyên hàm, từ đó tự tin chinh phục các kiến thức Toán học lớp 12.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.