Hướng Dẫn Chi Tiết: Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình Dạng Năng Suất Chuẩn WordPress (KaTeX)

Trong chương trình Toán học, việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất là một chủ đề quan trọng, giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế. Website GiaiToan.com đã tổng hợp và biên soạn các tài liệu hữu ích, từ cơ bản đến nâng cao, dành cho học sinh ôn tập, đặc biệt là cho kỳ thi Toán lớp 9 và tuyển sinh vào lớp 10. Bài viết này sẽ trình bày một cách chi tiết, dễ hiểu các bước, công thức và phương pháp giải quyết dạng toán này, đảm bảo tính chính xác học thuật và cú pháp hiển thị công thức chuẩn KaTeX trên nền tảng WordPress.

Đề Bài

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định xong trong 12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều đi làm việc khác. Đội 2 tiếp tục làm, do cải tiến kĩ thuật năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần công việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc trên.

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu chúng ta xác định thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội khi làm độc lập. Dữ kiện cho biết tiến độ làm việc chung, thời gian hai đội cùng làm, tiến độ của đội 2 sau khi năng suất tăng gấp đôi, và thời gian đội 2 hoàn thành phần việc còn lại. Yêu cầu chính là lập một hệ phương trình dựa trên mối quan hệ giữa năng suất, thời gian và khối lượng công việc.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán dạng năng suất, chúng ta cần nắm vững các công thức cơ bản sau:

• Năng suất: Là lượng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian.
• Thời gian: Là khoảng thời gian để hoàn thành một lượng công việc nhất định.
• Khối lượng công việc: Là tổng lượng công việc cần hoàn thành.

Mối quan hệ giữa ba đại lượng này được biểu diễn qua công thức:

Khối lượng công việc = Năng suất × Thời gian

Khi hai hay nhiều đội/người cùng làm chung, năng suất tổng cộng là tổng năng suất của từng đội/người:

Năng suất chung = Năng suất đội 1 + Năng suất đội 2 + …

Trong các bài toán về năng suất, thường quy ước:

• Nếu xem toàn bộ công việc là 1 đơn vị, thì năng suất của một người/đội là phần công việc người đó/đội đó hoàn thành trong 1 ngày (hoặc 1 giờ).
• Thời gian hoàn thành công việc = 1 / Năng suất
• Năng suất = 1 / Thời gian

Các dạng bài có thể xuất hiện:

• Năng suất không đổi.
• Năng suất tăng hoặc giảm theo một tỷ lệ phần trăm hoặc một lượng cố định.

Trong bài toán cụ thể này, năng suất của đội 2 có sự thay đổi, đây là điểm mấu chốt cần xử lý.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bước 1: Xác định ẩn và điều kiện

• Gọi x là số ngày đội 1 làm một mình thì sẽ xong công việc.
• Gọi y là số ngày đội 2 làm một mình thì sẽ xong công việc.

Điều kiện: x > 12 và y > 12 (vì cả hai đội làm chung dự định xong trong 12 ngày, nên làm một mình phải mất nhiều hơn 12 ngày).

Bước 2: Biểu diễn năng suất của từng đội

• Trong 1 ngày, đội 1 làm được 1/x (công việc).
• Trong 1 ngày, đội 2 làm được 1/y (công việc).

Bước 3: Lập phương trình dựa trên thông tin làm việc chung

• Trong 1 ngày, cả hai đội làm chung được 1/x + 1/y (công việc).
• Hai đội làm chung trong 12 ngày thì xong công việc, nên ta có phương trình:
  \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} (1)

Bước 4: Lập phương trình dựa trên thông tin khi đội 1 đi làm việc khác

• Hai đội làm chung được 8 ngày. Khối lượng công việc hai đội đã hoàn thành là:
  8 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})
  Vì \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}, nên khối lượng công việc đã hoàn thành là:
  8 \times \frac{1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} (công việc).
• Khối lượng công việc còn lại là: 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} (công việc).
• Đội 2 tiếp tục làm phần công việc còn lại này. Năng suất của đội 2 tăng gấp đôi, nên năng suất mới là 2 \times \frac{1}{y} = \frac{2}{y} (công việc/ngày).
• Thời gian đội 2 hoàn thành nốt 1/3 công việc với năng suất tăng gấp đôi là 3,5 ngày.
• Ta có phương trình:
  \frac{1}{3} = 3,5 \times \frac{2}{y}
  \frac{1}{3} = \frac{7}{2} \times \frac{2}{y}
  \frac{1}{3} = \frac{7}{y}
  y = 3 \times 7 = 21 (ngày) (2)

Bước 5: Giải hệ phương trình

Ta đã tìm được y = 21 từ phương trình (2). Thay giá trị của y vào phương trình (1):

\frac{1}{x} + \frac{1}{21} = \frac{1}{12} \frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{21}

Quy đồng mẫu số cho 12 và 21. Bội chung nhỏ nhất của 12 và 21 là 84 (12 = 2^2 \times 3, 21 = 3 \times 7, BCNN(12, 21) = 2^2 \times 3 \times 7 = 84).

\frac{1}{x} = \frac{7}{84} - \frac{4}{84} \frac{1}{x} = \frac{3}{84} \frac{1}{x} = \frac{1}{28}

x = 28 (ngày)

Mẹo kiểm tra:

• Kiểm tra điều kiện: x = 28 > 12 và y = 21 > 12. Điều kiện hợp lệ.
• Thay x = 28, y = 21 vào các phương trình gốc:
  • Phương trình (1): \frac{1}{28} + \frac{1}{21} = \frac{3}{84} + \frac{4}{84} = \frac{7}{84} = \frac{1}{12}. Đúng.
  • Phần công việc còn lại sau 8 ngày là 1/3. Năng suất mới của đội 2 là 2/21. Thời gian đội 2 hoàn thành là katex / (2/21) = (1/3) times (21/2) = 7/2 = 3.5[/katex] ngày. Đúng.

Lỗi hay gặp:

• Nhầm lẫn giữa năng suất và thời gian.
• Không xử lý đúng phần công việc còn lại hoặc sự thay đổi năng suất.
• Sai sót trong quá trình giải hệ phương trình hoặc quy đồng mẫu số.
• Quên kiểm tra điều kiện của ẩn.

Đáp Án/Kết Quả

• Đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình trong 28 ngày.
• Đội thứ hai hoàn thành công việc một mình trong 21 ngày.

Kết Luận

Việc nắm vững phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất cho phép chúng ta phân tích và đưa ra lời giải cho nhiều bài toán thực tế liên quan đến công việc, thời gian và hiệu suất. Bằng cách xác định rõ ràng ẩn số, biểu diễn năng suất và lập hệ phương trình dựa trên các mối quan hệ cho trước, cùng với việc áp dụng đúng các quy tắc hiển thị công thức KaTeX, chúng ta có thể trình bày bài giải một cách khoa học và chính xác.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông