Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Bài 2: Tìm Khoảng Đơn Điệu Của Hàm Số (KaTeX Chuẩn)

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Để nắm vững kiến thức về hàm số, việc xác định chính xác các khoảng đơn điệu là bước cực kỳ quan trọng. Bài viết này sẽ đi sâu vào cách giải giải toán lớp 12 bài 2 thuộc chuyên đề khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số, tập trung vào việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Chúng tôi sẽ cung cấp phương pháp chi tiết, lời giải mẫu cùng những lưu ý cần thiết để các em học sinh có thể tự tin chinh phục dạng bài này.

Đề Bài

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) (y=dfrac{3x+1}{1-x})

b) (y=dfrac{x^{2}-2x}{1-x})

c) (y=sqrt{x^{2}-x-20})

d) (y=dfrac{2x}{x^{2}-9})

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm các khoảng mà tại đó hàm số có xu hướng tăng (đồng biến) hoặc giảm (nghịch biến). Điều này phụ thuộc vào dấu của đạo hàm bậc nhất của hàm số. Chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm của hàm số.
Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Lập bảng biến thiên dựa trên tập xác định và các điểm đặc biệt đã tìm được.
Kết luận các khoảng đồng biến (nếu đạo hàm dương) và nghịch biến (nếu đạo hàm âm) dựa vào bảng biến thiên.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Tập xác định của hàm số: Điều kiện để hàm số có nghĩa.
- Hàm phân thức (y = frac{P(x)}{Q(x)}) có tập xác định khi (Q(x) neq 0).
- Hàm căn bậc hai (y = sqrt{f(x)}) có tập xác định khi (f(x) ge 0).
Quy tắc tính đạo hàm: Đạo hàm của các hàm số cơ bản và các quy tắc về đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp.
- Đạo hàm của (frac{u}{v}) là (frac{u’v – uv’}{v^2}).
- Đạo hàm của (sqrt{u}) là (frac{u’}{2sqrt{u}}).
Dấu của đạo hàm:
- Nếu (y’ > 0) trên một khoảng, hàm số (y) đồng biến trên khoảng đó.
- Nếu (y’ < 0) trên một khoảng, hàm số (y) nghịch biến trên khoảng đó.
Lập bảng biến thiên: Bảng này thể hiện sự biến thiên của hàm số dựa trên các khoảng đơn điệu và giới hạn tại các điểm đặc biệt (bao gồm cả vô cùng).

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp trên cho từng câu:

Câu a: (y=dfrac{3x+1}{1-x})

Bước 1: Tìm tập xác định.
Hàm số có mẫu số là (1-x). Điều kiện xác định là (1-x neq 0), suy ra (x neq 1).
Tập xác định: (D = mathbb{R} setminus {1}), hay (D = (-infty; 1) cup (1; +infty)).
Bước 2: Tính đạo hàm.
Ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân thức (left(frac{u}{v}right)’ = frac{u’v – uv’}{v^2}) với (u = 3x+1) và (v = 1-x).
Ta có (u’ = 3) và (v’ = -1).
(y’ = dfrac{3(1-x) – (3x+1)(-1)}{(1-x)^2})
(y’ = dfrac{3 – 3x + 3x + 1}{(1-x)^2})
(y’ = dfrac{4}{(1-x)^2})
Bước 3: Tìm điểm đặc biệt.
Ta thấy (y’ = dfrac{4}{(1-x)^2}). Tử số luôn dương (4 > 0). Mẫu số ((1-x)^2) luôn dương với mọi (x neq 1).
Do đó, (y’ > 0) với mọi (x in D).
Không có điểm nào mà đạo hàm bằng 0 hay không xác định trong tập xác định.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Các điểm đặc biệt trên trục số là (-infty), (1), (+infty).
Ta cần tính các giới hạn:
(lim{x to pm infty} dfrac{3x+1}{1-x} = lim{x to pm infty} dfrac{3 + frac{1}{x}}{frac{1}{x} – 1} = dfrac{3+0}{0-1} = -3)
(lim{x to 1^-} dfrac{3x+1}{1-x}): Khi (x to 1^-) (ví dụ (x=0.9)), (3x+1 to 4) và (1-x to 0^+) (vì (1-0.9 = 0.1 > 0)). Vậy giới hạn là (+infty).
(lim{x to 1^+} dfrac{3x+1}{1-x}): Khi (x to 1^+) (ví dụ (x=1.1)), (3x+1 to 4) và (1-x to 0^-) (vì (1-1.1 = -0.1 < 0)). Vậy giới hạn là (-infty).
x $-\infty$ $1$ $+\infty$
y’ + +
y $-3$ $^{+\infty}$
$^{ nearrow}$ $^{ searrow}$
$-3$
Bước 5: Kết luận.
Vì (y’ > 0) trên ((-infty; 1)) và ((1; +infty)), hàm số đồng biến trên các khoảng này.
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ((-infty; 1)) và ((1; +infty)).

x	$-\infty$	$1$	$+\infty$
y’	+		+
y	$-3$	$^{+\infty}$
		$^{ nearrow}$	$^{ searrow}$
			$-3$

Câu b: (y=dfrac{x^{2}-2x}{1-x})

Bước 1: Tìm tập xác định.
Mẫu số là (1-x). Điều kiện xác định là (1-x neq 0), suy ra (x neq 1).
Tập xác định: (D = mathbb{R} setminus {1}).
Bước 2: Tính đạo hàm.
Đặt (u = x^2 – 2x) và (v = 1-x). Ta có (u’ = 2x – 2) và (v’ = -1).
(y’ = dfrac{(2x-2)(1-x) – (x^2-2x)(-1)}{(1-x)^2})
(y’ = dfrac{2x – 2x^2 – 2 + 2x + x^2 – 2x}{(1-x)^2})
(y’ = dfrac{-x^2 + 2x – 2}{(1-x)^2})
Ta có thể viết lại tử số: (-x^2 + 2x – 2 = -(x^2 – 2x + 1) – 1 = -(x-1)^2 – 1).
Vậy (y’ = dfrac{-(x-1)^2 – 1}{(1-x)^2} = dfrac{-((x-1)^2 + 1)}{(x-1)^2} = -1 – dfrac{1}{(x-1)^2}).
Vì ((x-1)^2 > 0) với (x neq 1), nên (dfrac{1}{(x-1)^2} > 0).
Do đó, (y’ = -1 – (text{số dương}) < 0) với mọi (x in D).
Bước 3: Tìm điểm đặc biệt.
Ta thấy (y’ < 0) với mọi (x in D). Không có điểm nào mà đạo hàm bằng 0 hay không xác định trong tập xác định.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Các điểm đặc biệt trên trục số là (-infty), (1), (+infty).
Tính giới hạn:
(lim{x to pm infty} dfrac{x^2-2x}{1-x} = lim{x to pm infty} dfrac{x – 2}{frac{1}{x} – 1}). Vì bậc tử > bậc mẫu, giới hạn là (pm infty) tùy dấu của (x). Cụ thể, khi (x to +infty), (x-2 to +infty) và (frac{1}{x}-1 to -1), nên giới hạn là (-infty). Khi (x to -infty), (x-2 to -infty) và (frac{1}{x}-1 to -1), nên giới hạn là (+infty).
(lim{x to 1^-} dfrac{x^2-2x}{1-x}): Tử số (1^2-2(1) = -1). Mẫu số (1-x to 0^+) khi (x to 1^-). Giới hạn là (dfrac{-1}{0^+} = -infty).
(lim{x to 1^+} dfrac{x^2-2x}{1-x}): Tử số (-1). Mẫu số (1-x to 0^-) khi (x to 1^+). Giới hạn là (dfrac{-1}{0^-} = +infty).
x $-\infty$ $1$ $+\infty$
y’ – –
y $+\infty$ $^{+\infty}$
$^{ searrow}$ $^{ nearrow}$ $^{ searrow}$
$-\infty$
Bước 5: Kết luận.
Vì (y’ < 0) trên ((-infty; 1)) và ((1; +infty)), hàm số nghịch biến trên các khoảng này.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ((-infty; 1)) và ((1; +infty)).

x	$-\infty$	$1$	$+\infty$
y’	–		–
y	$+\infty$	$^{+\infty}$
	$^{ searrow}$	$^{ nearrow}$	$^{ searrow}$
			$-\infty$

Câu c: (y=sqrt{x^{2}-x-20})

Bước 1: Tìm tập xác định.
Hàm số dưới dấu căn phải không âm: (x^2 – x – 20 ge 0).
Ta tìm nghiệm của (x^2 – x – 20 = 0).
(Delta = (-1)^2 – 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81).
(x_1 = dfrac{1 – sqrt{81}}{2} = dfrac{1-9}{2} = -4).
(x_2 = dfrac{1 + sqrt{81}}{2} = dfrac{1+9}{2} = 5).
Vì đây là tam thức bậc hai có hệ số (a=1 > 0), nên (x^2 – x – 20 ge 0) khi (x le -4) hoặc (x ge 5).
Tập xác định: (D = (-infty; -4] cup [5; +infty)).
Bước 2: Tính đạo hàm.
Ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm căn bậc hai ((sqrt{u})’ = frac{u’}{2sqrt{u}}) với (u = x^2 – x – 20).
Ta có (u’ = 2x – 1).
(y’ = dfrac{2x-1}{2sqrt{x^2-x-20}})
Đạo hàm này xác định khi (x^2-x-20 > 0), tức là (x < -4) hoặc (x > 5).
Ta tìm các điểm mà (y’=0): (2x-1 = 0 Rightarrow x = dfrac{1}{2}). Tuy nhiên, (x = dfrac{1}{2}) không thuộc tập xác định của đạo hàm (cũng không thuộc tập xác định của hàm số ở vùng này).
Các điểm cần xét trên trục số cho bảng biến thiên là (-infty), (-4), (5), (+infty).
Bước 3: Tìm điểm đặc biệt.
Đạo hàm (y’) chỉ xét khi (x < -4) hoặc (x > 5). Tại (x=-4) và (x=5), đạo hàm không xác định (mẫu số bằng 0), nhưng đây là các điểm mút của tập xác định.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Ta cần xét dấu của (y’ = dfrac{2x-1}{2sqrt{x^2-x-20}}) trên các khoảng ((-infty; -4)) và ((5; +infty)).
- Trên khoảng ((-infty; -4)): Chọn (x = -5). (2x-1 = 2(-5)-1 = -11 < 0). Mẫu số luôn dương. Vậy (y’ < 0).
- Trên khoảng ((5; +infty)): Chọn (x = 6). (2x-1 = 2(6)-1 = 11 > 0). Mẫu số luôn dương. Vậy (y’ > 0).
Ta cần tính các giới hạn:
(lim{x to -infty} sqrt{x^2-x-20}). Khi (x to -infty), (x^2 to +infty). Ta có (sqrt{x^2-x-20} approx sqrt{x^2} = |x| = -x). Nên giới hạn là (+infty).
(lim{x to +infty} sqrt{x^2-x-20}). Khi (x to +infty), (x^2 to +infty). Ta có (sqrt{x^2-x-20} approx sqrt{x^2} = |x| = x). Nên giới hạn là (+infty).
Tại các điểm mút: (y(-4) = sqrt{(-4)^2 – (-4) – 20} = sqrt{16+4-20} = 0).
(y(5) = sqrt{5^2 – 5 – 20} = sqrt{25-5-20} = 0).
x $-\infty$ $-4$ $5$ $+\infty$
y’ – 0 0 +
y $+\infty$ 0 0 $+\infty$
$^{ searrow}$ $^{ nearrow}$
(Lưu ý: các mũi tên chỉ sự thay đổi của y, không phải dấu của y’)
Bước 5: Kết luận.
Hàm số nghịch biến trên khoảng ((-infty; -4)) vì (y’ < 0).
Hàm số đồng biến trên khoảng ((5; +infty)) vì (y’ > 0).
Vậy hàm số nghịch biến trên ((-infty; -4)) và đồng biến trên ((5; +infty)).

x	$-\infty$	$-4$	$5$	$+\infty$
y’	–	0	0	+
y	$+\infty$	0	0	$+\infty$
	$^{ searrow}$			$^{ nearrow}$

Câu d: (y=dfrac{2x}{x^{2}-9})

Bước 1: Tìm tập xác định.
Mẫu số là (x^2 – 9). Điều kiện xác định là (x^2 – 9 neq 0), suy ra (x neq 3) và (x neq -3).
Tập xác định: (D = mathbb{R} setminus {-3; 3}).
Bước 2: Tính đạo hàm.
Đặt (u = 2x) và (v = x^2 – 9). Ta có (u’ = 2) và (v’ = 2x).
(y’ = dfrac{2(x^2-9) – (2x)(2x)}{(x^2-9)^2})
(y’ = dfrac{2x^2 – 18 – 4x^2}{(x^2-9)^2})
(y’ = dfrac{-2x^2 – 18}{(x^2-9)^2})
(y’ = dfrac{-2(x^2+9)}{(x^2-9)^2})
Bước 3: Tìm điểm đặc biệt.
Tử số (-2(x^2+9)) luôn âm vì (x^2 ge 0 Rightarrow x^2+9 > 0).
Mẫu số ((x^2-9)^2) luôn dương với mọi (x in D).
Do đó, (y’ < 0) với mọi (x in D).
Không có điểm nào mà đạo hàm bằng 0 hay không xác định trong tập xác định. Các điểm (x = -3) và (x = 3) là các điểm làm mẫu số bằng 0, là các điểm gián đoạn của hàm số.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Các điểm đặc biệt trên trục số là (-infty), (-3), (3), (+infty).
Tính giới hạn:
(lim{x to pm infty} dfrac{2x}{x^2-9} = lim{x to pm infty} dfrac{frac{2}{x}}{1-frac{9}{x^2}} = dfrac{0}{1-0} = 0).
(lim{x to -3^-} dfrac{2x}{x^2-9}): Tử số (2(-3) = -6). Mẫu số (x^2-9). Khi (x to -3^-) (ví dụ (x=-3.1)), (x^2 = (-3.1)^2 = 9.61), nên (x^2-9 to 0^+). Giới hạn là (dfrac{-6}{0^+} = -infty).
(lim{x to -3^+} dfrac{2x}{x^2-9}): Tử số (-6). Khi (x to -3^+) (ví dụ (x=-2.9)), (x^2 = (-2.9)^2 = 8.41), nên (x^2-9 to 0^-). Giới hạn là (dfrac{-6}{0^-} = +infty).
(lim{x to 3^-} dfrac{2x}{x^2-9}): Tử số (2(3) = 6). Khi (x to 3^-) (ví dụ (x=2.9)), (x^2 = (2.9)^2 = 8.41), nên (x^2-9 to 0^-). Giới hạn là (dfrac{6}{0^-} = -infty).
(lim{x to 3^+} dfrac{2x}{x^2-9}): Tử số (6). Khi (x to 3^+) (ví dụ (x=3.1)), (x^2 = (3.1)^2 = 9.61), nên (x^2-9 to 0^+). Giới hạn là (dfrac{6}{0^+} = +infty).
x $-\infty$ $-3$ $3$ $+\infty$
y’ – – – –
y $0$ $^{+\infty}$ $^{+\infty}$ $0$
$^{ searrow}$ $^{ searrow}$ $^{ searrow}$ $^{ searrow}$
$-\infty$ $-\infty$
Bước 5: Kết luận.
Vì (y’ < 0) trên các khoảng ((-infty; -3)), ((-3; 3)) và ((3; +infty)), hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ((-infty; -3)), ((-3; 3)) và ((3; +infty)).

x	$-\infty$	$-3$	$3$	$+\infty$
y’	–	–	–	–
y	$0$	$^{+\infty}$	$^{+\infty}$	$0$
	$^{ searrow}$	$^{ searrow}$	$^{ searrow}$	$^{ searrow}$
		$-\infty$	$-\infty$

Đáp Án/Kết Quả

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng ((-infty; 1)) và ((1; +infty)).
b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ((-infty; 1)) và ((1; +infty)).
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng ((-infty; -4)) và đồng biến trên khoảng ((5; +infty)).
d) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ((-infty; -3)), ((-3; 3)) và ((3; +infty)).

Chú Ý

Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được các khoảng đơn điệu, bạn có thể thử chọn hai điểm (x_1, x_2) bất kỳ trong cùng một khoảng đơn điệu. Nếu hàm số đồng biến, (x_1 < x_2 Rightarrow f(x_1) < f(x_2)). Nếu nghịch biến, (x_1 < x_2 Rightarrow f(x_1) > f(x_2)).
Lỗi hay gặp: Sai sót trong việc xác định tập xác định, tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm hoặc quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai là những lỗi phổ biến. Đặc biệt, với hàm căn thức, cần nhớ điều kiện (ge 0) cho biểu thức dưới dấu căn và (> 0) cho mẫu số khi tính đạo hàm. Với hàm phân thức, cần lưu ý các điểm làm mẫu số bằng 0.

Việc thành thạo kỹ năng tìm khoảng đơn điệu của hàm số, được ôn tập kỹ qua các ví dụ trong giải toán lớp 12 bài 2, sẽ là nền tảng vững chắc để các em tiếp tục học các chuyên đề nâng cao hơn về khảo sát hàm số và ứng dụng của đạo hàm.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.