Giải Toán Lớp 6 Tập 1 Trang 56 Sách Kết Nối Tri Thức

Chào mừng bạn đến với bài viết giải Toán lớp 6 tập 1 trang 56 sách Kết nối tri thức. Trang này cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập từ 2.53 đến 2.62, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức về ước chung lớn nhất (ƯCLN), bội chung nhỏ nhất (BCNN) và các phép toán với phân số. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bài toán, áp dụng các phương pháp giải hiệu quả và tìm ra đáp án chính xác.

H2: Đề Bài

Bài 2.53 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Tìm x ∈ {50; 108; 189; 1 234; 2 019; 2 020} sao cho:
a) x – 12 chia hết cho 2;
b) x – 27 chia hết cho 3;
c) x + 20 chia hết cho 5;
d) x + 36 chia hết cho 9.

Bài 2.54 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Thực hiện phép tính sau rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố:
a) \frac{1}{4}2 + \frac{1}{5}2 + \frac{1}{2}2;
b) 400 : 5 + 40.

Bài 2.55 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Tìm ƯCLN và BCNN của:
a) 21 và 98;
b) 36 và 54.

Bài 2.56 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Các phân số sau đã tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản:
a) \frac{27}{123};
b) \frac{33}{77}.

Bài 2.57 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Thực hiện phép tính:
a) \frac{5}{12} + \frac{3}{16};
b) \frac{4}{15} - \frac{2}{9}.

Bài 2.58 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Có 12 quả cam, 18 quả xoài và 30 quả bơ. Mẹ muốn Mai chia đều mỗi loại quả đó vào các túi sao cho mỗi túi đều có cam, xoài, bơ. Hỏi Mai có thể chia được nhiều nhất là mấy túi quà?

Bài 2.59 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Bác Nam định kỳ 3 tháng một lần thay dầu, 6 tháng một lần xoay lốp xe ô tô của mình. Hỏi nếu bác ấy làm hai việc đó cùng lúc vào tháng 4 năm nay, thì lần gần nhất tiếp theo bác ấy sẽ cùng làm hai việc đó vào tháng mấy.

Bài 2.60 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Biết rằng hai số 79 và 97 là hai số nguyên tố. Hãy tìm ƯCLN và BCNN của hai số này.

Bài 2.61 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Biết hai số 3^a \cdot 5^2 và 3^3 \cdot 5^b có ƯCLN là 3^3 \cdot 5^2 và BCNN là 3^3 \cdot 5^3. Tìm a và b.

Bài 2.62 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Bài toán cổ:
Bác kia chăn vịt khác thường,
Buộc đi cho được chẵn hàng mới ưa.
Hàng 2 xếp thấy chưa vừa,
Hàng 3 xếp vẫn còn thừa một con.
Hàng 4 xếp vẫn chưa tròn,
Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy.
Xếp thành hàng 7, đẹp thay,
Vịt bao nhiêu? Tính được ngay mới tài.
(Biết số vịt chưa đến 200 con)

H2: Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập từ 2.53 đến 2.62 đều tập trung vào các chủ đề cốt lõi của chương “Số nguyên” và “Ước chung, Bội chung” trong chương trình Toán lớp 6. Cụ thể, chúng ta sẽ ôn tập và áp dụng các khái niệm về tính chia hết, phân tích thừa số nguyên tố, ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN).

• Bài 2.53: Liên quan đến dấu hiệu chia hết và tìm số thỏa mãn điều kiện chia hết.
• Bài 2.54: Yêu cầu thực hiện phép tính và sau đó phân tích một số thành thừa số nguyên tố.
• Bài 2.55 – 2.58: Tập trung vào việc tìm ƯCLN và BCNN, áp dụng vào các bài toán thực tế như chia nhóm đồ vật.
• Bài 2.56: Rèn luyện kỹ năng rút gọn phân số về dạng tối giản bằng cách tìm ƯCLN.
• Bài 2.57: Thực hiện phép cộng và trừ phân số, yêu cầu tìm mẫu chung nhỏ nhất.
• Bài 2.59: Bài toán ứng dụng BCNN trong bối cảnh thời gian.
• Bài 2.60: Tìm ƯCLN, BCNN của hai số nguyên tố.
• Bài 2.61: Bài toán ngược, tìm các số mũ khi biết ƯCLN và BCNN.
• Bài 2.62: Bài toán cổ, yêu cầu tìm một số thỏa mãn nhiều điều kiện chia hết, có thể giải bằng phương pháp liệt kê hoặc sử dụng khái niệm về bội chung.

H2: Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Tính chất chia hết

• Nếu một số chia hết cho a và b thì nó cũng chia hết cho ƯCLN(a, b).
• Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c, thì a chia hết cho c.
• Nếu a vdots n và b vdots n thì (a \pm b) vdots n.
• Nếu a vdots n và b không chia hết cho n thì (a \pm b) không chia hết cho n.
• Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9.

2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

• Biểu diễn một số tự nhiên lớn hơn 1 thành tích của các thừa số nguyên tố.
• Ví dụ: 12 = 2^2 \cdot 3.

3. Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

• Khái niệm: Số tự nhiên lớn nhất trong tập hợp các ước chung của hai hay nhiều số.
• Cách tìm:
  • Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
  • Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
  • Lập tích của các thừa số chung, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất.
• Ứng dụng: Tìm số nhóm lớn nhất có thể chia đều các đối tượng.

4. Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

• Khái niệm: Số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của hai hay nhiều số.
• Cách tìm:
  • Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
  • Chọn ra tất cả các thừa số nguyên tố (cả chung và riêng).
  • Lập tích của các thừa số đó, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất.
• Ứng dụng: Tìm thời điểm hoặc số lượng nhỏ nhất để các sự kiện lặp lại cùng lúc.

5. Rút gọn phân số

• Để rút gọn phân số \frac{a}{b} về phân số tối giản, ta chia cả tử số và mẫu số cho ƯCLN(a, b). Một phân số được gọi là tối giản nếu ƯCLN của tử số và mẫu số của nó bằng 1.

6. Cộng, trừ phân số

• Để cộng hoặc trừ hai phân số, ta quy đồng mẫu số của chúng, tức là tìm một mẫu chung (thường là BCNN của các mẫu số).
• \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot m}{b \cdot m} + \frac{c \cdot n}{d \cdot n} = \frac{am + cn}{M}, với M là mẫu chung.

H2: Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 2.53 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu tìm các số trong tập hợp cho trước thỏa mãn các điều kiện chia hết khác nhau. Chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng số với từng điều kiện.

Kiến thức cần dùng: Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Tính chất: Nếu a vdots n và b vdots n thì (a \pm b) vdots n.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Cho tập hợp X = {50; 108; 189; 1 234; 2 019; 2 020}.

a) x - 12 chia hết cho 2.
Ta biết 12 chia hết cho 2. Để x - 12 chia hết cho 2 thì x cũng phải chia hết cho 2.
Số chia hết cho 2 là số chẵn, có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
Kiểm tra các số trong tập X:

• 50: Chẵn, chia hết cho 2.
• 108: Chẵn, chia hết cho 2.
• 189: Lẻ, không chia hết cho 2.
• 1 234: Chẵn, chia hết cho 2.
• 2 019: Lẻ, không chia hết cho 2.
• 2 020: Chẵn, chia hết cho 2.
  Vậy các giá trị của x thỏa mãn là: 50, 108, 1 234, 2 020.

b) x - 27 chia hết cho 3.
Ta biết 27 chia hết cho 3. Để x - 27 chia hết cho 3 thì x cũng phải chia hết cho 3.
Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.
Kiểm tra các số trong tập X:

• 50: Tổng chữ số là 5+0=5, không chia hết cho 3.
• 108: Tổng chữ số là 1+0+8=9, chia hết cho 3.
• 189: Tổng chữ số là 1+8+9=18, chia hết cho 3.
• 1 234: Tổng chữ số là 1+2+3+4=10, không chia hết cho 3.
• 2 019: Tổng chữ số là 2+0+1+9=12, chia hết cho 3.
• 2 020: Tổng chữ số là 2+0+2+0=4, không chia hết cho 3.
  Vậy các giá trị của x thỏa mãn là: 108, 189, 2 019.

c) x + 20 chia hết cho 5.
Ta biết 20 chia hết cho 5. Để x + 20 chia hết cho 5 thì x cũng phải chia hết cho 5.
Dấu hiệu chia hết cho 5: Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Kiểm tra các số trong tập X:

• 50: Tận cùng là 0, chia hết cho 5.
• 108: Tận cùng là 8, không chia hết cho 5.
• 189: Tận cùng là 9, không chia hết cho 5.
• 1 234: Tận cùng là 4, không chia hết cho 5.
• 2 019: Tận cùng là 9, không chia hết cho 5.
• 2 020: Tận cùng là 0, chia hết cho 5.
  Vậy các giá trị của x thỏa mãn là: 50, 2 020.

d) x + 36 chia hết cho 9.
Ta biết 36 chia hết cho 9. Để x + 36 chia hết cho 9 thì x cũng phải chia hết cho 9.
Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9.
Kiểm tra các số trong tập X:

• 50: Tổng chữ số là 5+0=5, không chia hết cho 9.
• 108: Tổng chữ số là 1+0+8=9, chia hết cho 9.
• 189: Tổng chữ số là 1+8+9=18, chia hết cho 9.
• 1 234: Tổng chữ số là 1+2+3+4=10, không chia hết cho 9.
• 2 019: Tổng chữ số là 2+0+1+9=12, không chia hết cho 9.
• 2 020: Tổng chữ số là 2+0+2+0=4, không chia hết cho 9.
  Vậy các giá trị của x thỏa mãn là: 108, 189.

Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được các giá trị của x, ta thay ngược lại vào biểu thức ban đầu để kiểm tra xem kết quả có chia hết theo yêu cầu không. Ví dụ, với ý a), chọn x = 50, ta có 50 - 12 = 38, 38 chia hết cho 2. Với x = 189, ta có 189 - 12 = 177, 177 không chia hết cho 2, do đó 189 không phải là đáp án cho ý a).

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn dấu hiệu chia hết hoặc áp dụng sai tính chất (a \pm b) vdots n. Ví dụ, nếu đề bài là x - 10 chia hết cho 2, thì x phải chia hết cho 2 (vì 10 vdots 2). Nếu đề bài là x - 9 chia hết cho 2, thì x phải lẻ (vì 9 lẻ, x phải lẻ để (lẻ - lẻ) là chẵn).

Bài 2.54 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu thực hiện phép tính gồm phép cộng và phép chia, sau đó phân tích kết quả thu được thành thừa số nguyên tố.

Kiến thức cần dùng: Thứ tự thực hiện phép tính (nhân chia trước, cộng trừ sau), quy tắc phân tích một số ra thừa số nguyên tố.

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) 14^2 + 5^2 + 2^2

• Bước 1: Thực hiện phép tính.

  • 14^2 = 14 \times 14 = 196
  • 5^2 = 5 \times 5 = 25
  • 2^2 = 2 \times 2 = 4
  • Vậy, 14^2 + 5^2 + 2^2 = 196 + 25 + 4 = 225.

• Bước 2: Phân tích kết quả (225) ra thừa số nguyên tố.

  • Số 225 có chữ số tận cùng là 5, nên chia hết cho 5.
    225 div 5 = 45
  • Số 45 có chữ số tận cùng là 5, nên chia hết cho 5.
    45 div 5 = 9
  • Số 9 chia hết cho 3.
    9 div 3 = 3
  • Số 3 là số nguyên tố.
  • Vậy, 225 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 3^2 \cdot 5^2.

• Đáp án: 14^2 + 5^2 + 2^2 = 225 = 3^2 \cdot 5^2.

b) 400 : 5 + 40

• Bước 1: Thực hiện phép tính.

  • Thực hiện phép chia trước: 400 : 5 = 80.
  • Thực hiện phép cộng: 80 + 40 = 120.

• Bước 2: Phân tích kết quả (120) ra thừa số nguyên tố.

  • Số 120 có chữ số tận cùng là 0, nên chia hết cho cả 2 và 5. Lấy chia hết cho 2 trước:
    120 div 2 = 60
  • Số 60 chia hết cho 2:
    60 div 2 = 30
  • Số 30 chia hết cho 2:
    30 div 2 = 15
  • Số 15 chia hết cho 3:
    15 div 3 = 5
  • Số 5 là số nguyên tố.
  • Vậy, 120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5.

• Đáp án: 400 : 5 + 40 = 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5.

Mẹo kiểm tra: Đối với phần phân tích thừa số nguyên tố, ta có thể nhân ngược lại các thừa số để xem có ra số ban đầu hay không. Ví dụ, với 225 = 3^2 \cdot 5^2, ta có 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 9 \times 25 = 225.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn thứ tự thực hiện phép tính, ví dụ cộng trước rồi mới chia. Trong phân tích thừa số nguyên tố, có thể sót hoặc sai một thừa số nguyên tố.

Bài 2.55 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu tìm ƯCLN và BCNN của các cặp số cho trước.

Kiến thức cần dùng: Cách tìm ƯCLN và BCNN bằng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố.

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) Tìm ƯCLN và BCNN của 21 và 98.

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

  • 21 = 3 \times 7
  • 98 = 2 \times 49 = 2 \times 7 \times 7 = 2 \cdot 7^2

• Bước 2: Xác định thừa số nguyên tố chung và riêng.

  • Thừa số nguyên tố chung là 7.
  • Các thừa số nguyên tố riêng là 2 và 3.

• Bước 3: Tìm ƯCLN.

  • Chọn thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất.
  • Thừa số 7 có số mũ nhỏ nhất là 1 (trong 21 = 3^1 \cdot 7^1).
  • Vậy, \text{ƯCLN}(21, 98) = 7.

• Bước 4: Tìm BCNN.

  • Chọn tất cả các thừa số nguyên tố (chung và riêng) với số mũ lớn nhất.
  • Thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 1.
  • Thừa số 3 có số mũ lớn nhất là 1.
  • Thừa số 7 có số mũ lớn nhất là 2 (trong 98 = 2 \cdot 7^2).
  • Vậy, \text{BCNN}(21, 98) = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^2 = 2 \times 3 \times 49 = 6 \times 49 = 294.

• Đáp án: \text{ƯCLN}(21, 98) = 7; \text{BCNN}(21, 98) = 294.

b) Tìm ƯCLN và BCNN của 36 và 54.

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

  • 36 = 6 \times 6 = (2 \times 3) \times (2 \times 3) = 2^2 \cdot 3^2
  • 54 = 6 \times 9 = (2 \times 3) \times (3 \times 3) = 2 \cdot 3^3

• Bước 2: Xác định thừa số nguyên tố chung và riêng.

  • Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.
  • Không có thừa số nguyên tố riêng.

• Bước 3: Tìm ƯCLN.

  • Chọn thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất.
  • Thừa số 2 có số mũ nhỏ nhất là 1 (trong 54 = 2^1 \cdot 3^3).
  • Thừa số 3 có số mũ nhỏ nhất là 2 (trong 36 = 2^2 \cdot 3^2).
  • Vậy, \text{ƯCLN}(36, 54) = 2^1 \cdot 3^2 = 2 \times 9 = 18.

• Bước 4: Tìm BCNN.

  • Chọn tất cả các thừa số nguyên tố chung với số mũ lớn nhất.
  • Thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 2 (trong 36 = 2^2 \cdot 3^2).
  • Thừa số 3 có số mũ lớn nhất là 3 (trong 54 = 2 \cdot 3^3).
  • Vậy, \text{BCNN}(36, 54) = 2^2 \cdot 3^3 = 4 \times 27 = 108.

• Đáp án: \text{ƯCLN}(36, 54) = 18; \text{BCNN}(36, 54) = 108.

Mẹo kiểm tra: Đối với hai số a và b, ta có tính chất: a \times b = \text{ƯCLN}(a, b) \times \text{BCNN}(a, b).

• Với 21 và 98: 21 \times 98 = 2058. \text{ƯCLN} \times \text{BCNN} = 7 \times 294 = 2058. Hai kết quả bằng nhau.
• Với 36 và 54: 36 \times 54 = 1944. \text{ƯCLN} \times \text{BCNN} = 18 \times 108 = 1944. Hai kết quả bằng nhau.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa số mũ nhỏ nhất (cho ƯCLN) và số mũ lớn nhất (cho BCNN). Sai sót trong quá trình phân tích thừa số nguyên tố.

Bài 2.56 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu xác định xem các phân số đã cho có tối giản hay chưa. Nếu chưa, cần rút gọn chúng về dạng tối giản.

Kiến thức cần dùng: Khái niệm phân số tối giản, cách tìm ƯCLN để rút gọn phân số.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Một phân số được gọi là tối giản nếu ƯCLN của tử số và mẫu số của nó bằng 1. Để rút gọn phân số, ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của chúng.

a) Xét phân số \frac{27}{123}.

• Bước 1: Phân tích tử và mẫu ra thừa số nguyên tố.

  • 27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3.
  • 123: Tổng các chữ số là 1+2+3=6, nên chia hết cho 3.
    123 div 3 = 41.
    Số 41 là số nguyên tố.
    Vậy, 123 = 3 \times 41.

• Bước 2: Tìm ƯCLN của tử và mẫu.

  • Thừa số nguyên tố chung là 3. Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 (trong 123 = 3^1 \cdot 41^1).
  • \text{ƯCLN}(27, 123) = 3.

• Bước 3: Xác định phân số đã tối giản hay chưa và rút gọn.

  • Vì \text{ƯCLN}(27, 123) = 3 \ne 1, nên phân số \frac{27}{123} chưa tối giản.
  • Rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho 3:
    \frac{27}{123} = \frac{27 div 3}{123 div 3} = \frac{9}{41}.

• Kiểm tra kết quả rút gọn: ƯCLN(9, 41). Ta biết 41 là số nguyên tố. 9 không chia hết cho 41. Do đó, ƯCLN(9, 41) = 1. Vậy phân số \frac{9}{41} là phân số tối giản.

• Đáp án: Phân số \frac{27}{123} chưa tối giản. Rút gọn được \frac{9}{41}.

b) Xét phân số \frac{33}{77}.

• Bước 1: Phân tích tử và mẫu ra thừa số nguyên tố.

  • 33 = 3 \times 11.
  • 77 = 7 \times 11.

• Bước 2: Tìm ƯCLN của tử và mẫu.

  • Thừa số nguyên tố chung là 11. Số mũ nhỏ nhất của 11 là 1.
  • \text{ƯCLN}(33, 77) = 11.

• Bước 3: Xác định phân số đã tối giản hay chưa và rút gọn.

  • Vì \text{ƯCLN}(33, 77) = 11 \ne 1, nên phân số \frac{33}{77} chưa tối giản.
  • Rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho 11:
    \frac{33}{77} = \frac{33 div 11}{77 div 11} = \frac{3}{7}.

• Kiểm tra kết quả rút gọn: ƯCLN(3, 7). Cả 3 và 7 đều là số nguyên tố. Do đó, ƯCLN(3, 7) = 1. Vậy phân số \frac{3}{7} là phân số tối giản.

• Đáp án: Phân số \frac{33}{77} chưa tối giản. Rút gọn được \frac{3}{7}.

Mẹo kiểm tra: Sau khi rút gọn, hãy kiểm tra xem tử số và mẫu số mới có còn ước chung nào khác 1 không. Nếu có, bạn đã rút gọn sai.

Lỗi hay gặp: Quên tìm ƯCLN hoặc nhầm lẫn giữa việc phân tích thừa số nguyên tố của tử và mẫu. Không nhận ra các số nguyên tố (như 41 trong bài a)).

Bài 2.57 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu thực hiện phép cộng và phép trừ phân số.

Kiến thức cần dùng: Quy tắc cộng, trừ phân số. Tìm mẫu số chung nhỏ nhất (BCNN).

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) \frac{5}{12} + \frac{3}{16}

• Bước 1: Tìm mẫu số chung nhỏ nhất (BCNN) của hai mẫu số 12 và 16.

  • Phân tích 12 ra thừa số nguyên tố: 12 = 2^2 \cdot 3.
  • Phân tích 16 ra thừa số nguyên tố: 16 = 2^4.
  • BCNN(12, 16) lấy thừa số chung 2 với số mũ lớn nhất là 4, và thừa số riêng 3 với số mũ lớn nhất là 1.
  • \text{BCNN}(12, 16) = 2^4 \cdot 3 = 16 \times 3 = 48.
  • Vậy, mẫu số chung nhỏ nhất là 48.

• Bước 2: Quy đồng mẫu số.

  • Với phân số \frac{5}{12}: Ta nhân cả tử và mẫu với 48 div 12 = 4.
    \frac{5}{12} = \frac{5 \times 4}{12 \times 4} = \frac{20}{48}.
  • Với phân số \frac{3}{16}: Ta nhân cả tử và mẫu với 48 div 16 = 3.
    \frac{3}{16} = \frac{3 \times 3}{16 \times 3} = \frac{9}{48}.

• Bước 3: Thực hiện phép cộng.

  • \frac{20}{48} + \frac{9}{48} = \frac{20 + 9}{48} = \frac{29}{48}.

• Bước 4: Kiểm tra xem phân số kết quả có tối giản chưa.

  • Tìm ƯCLN(29, 48). Số 29 là số nguyên tố. 48 không chia hết cho 29. Vậy ƯCLN(29, 48) = 1. Phân số \frac{29}{48} đã tối giản.

• Đáp án: \frac{5}{12} + \frac{3}{16} = \frac{29}{48}.

b) \frac{4}{15} - \frac{2}{9}

• Bước 1: Tìm mẫu số chung nhỏ nhất (BCNN) của hai mẫu số 15 và 9.

  • Phân tích 15 ra thừa số nguyên tố: 15 = 3 \times 5.
  • Phân tích 9 ra thừa số nguyên tố: 9 = 3^2.
  • BCNN(15, 9) lấy thừa số chung 3 với số mũ lớn nhất là 2, và thừa số riêng 5 với số mũ lớn nhất là 1.
  • \text{BCNN}(15, 9) = 3^2 \cdot 5 = 9 \times 5 = 45.
  • Vậy, mẫu số chung nhỏ nhất là 45.

• Bước 2: Quy đồng mẫu số.

  • Với phân số \frac{4}{15}: Ta nhân cả tử và mẫu với 45 div 15 = 3.
    \frac{4}{15} = \frac{4 \times 3}{15 \times 3} = \frac{12}{45}.
  • Với phân số \frac{2}{9}: Ta nhân cả tử và mẫu với 45 div 9 = 5.
    \frac{2}{9} = \frac{2 \times 5}{9 \times 5} = \frac{10}{45}.

• Bước 3: Thực hiện phép trừ.

  • \frac{12}{45} - \frac{10}{45} = \frac{12 - 10}{45} = \frac{2}{45}.

• Bước 4: Kiểm tra xem phân số kết quả có tối giản chưa.

  • Tìm ƯCLN(2, 45). Số 2 là số nguyên tố. 45 không chia hết cho 2 (45 là số lẻ). Vậy ƯCLN(2, 45) = 1. Phân số \frac{2}{45} đã tối giản.

• Đáp án: \frac{4}{15} - \frac{2}{9} = \frac{2}{45}.

Mẹo kiểm tra: Sau khi quy đồng, kiểm tra lại phép nhân. Ví dụ, ở phần a), 12 \times 4 = 48, 16 \times 3 = 48. Sau đó, kiểm tra phép cộng/trừ rồi xem kết quả có tối giản không.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn khi tìm BCNN, quy đồng sai mẫu số, hoặc sai trong phép cộng/trừ sau khi quy đồng. Quên kiểm tra tính tối giản của phân số kết quả (mặc dù trong hai bài này, kết quả đều đã tối giản).

Bài 2.58 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Phân tích yêu cầu: Bài toán hỏi về số lượng túi quà nhiều nhất mà Mai có thể chia đều các loại quả. Điều này có nghĩa là số túi quà phải là ước chung của số lượng từng loại quả.

Kiến thức cần dùng: Khái niệm ước chung và ước chung lớn nhất (ƯCLN).

Hướng dẫn giải chi tiết:

Gọi số túi quà Mai có thể chia được là k.
Theo đề bài, mỗi loại quả phải được chia đều vào các túi, tức là số lượng cam (12 quả), số lượng xoài (18 quả) và số lượng bơ (30 quả) đều phải chia hết cho k.
Do đó, k phải là một ước chung của 12, 18 và 30.
Bài toán yêu cầu tìm số túi quà nhiều nhất, nên k phải là ước chung lớn nhất của ba số này.

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

  • 12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \cdot 3.
  • 18 = 2 \times 9 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \cdot 3^2.
  • 30 = 2 \times 15 = 2 \times 3 \times 5.

• Bước 2: Tìm ƯCLN(12, 18, 30).

  • Các thừa số nguyên tố chung của ba số là 2 và 3.
  • Chọn thừa số 2 với số mũ nhỏ nhất là 1 (xuất hiện trong 18 và 30).
  • Chọn thừa số 3 với số mũ nhỏ nhất là 1 (xuất hiện trong 12 và 30).
  • \text{ƯCLN}(12, 18, 30) = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \times 3 = 6.

Đáp án: Mai có thể chia được nhiều nhất là 6 túi quà.

Kiểm tra thêm: Nếu chia thành 6 túi quà:

• Mỗi túi có: 12 div 6 = 2 quả cam.
• Mỗi túi có: 18 div 6 = 3 quả xoài.
• Mỗi túi có: 30 div 6 = 5 quả bơ.
  Như vậy, mỗi túi đều có đủ 3 loại quả và số lượng là như nhau.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa ƯCLN và BCNN. Không nhận ra đây là bài toán tìm ước chung lớn nhất.

Bài 2.59 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Phân tích yêu cầu: Bài toán hỏi về thời điểm xa nhất trong tương lai mà bác Nam sẽ cùng thực hiện hai công việc (thay dầu và xoay lốp xe) trong một tháng, biết rằng hai công việc này ban đầu được làm cùng lúc và có chu kỳ lặp lại khác nhau.

Kiến thức cần dùng: Khái niệm bội chung và bội chung nhỏ nhất (BCNN).

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bác Nam thay dầu định kỳ 3 tháng một lần.
Bác Nam xoay lốp xe định kỳ 6 tháng một lần.

Hai công việc này được làm cùng lúc vào tháng 4 năm nay. Ta cần tìm lần gần nhất tiếp theo hai công việc này lại cùng diễn ra trong một tháng. Điều này có nghĩa là số tháng trôi qua kể từ lần làm cùng lúc đó phải là bội chung của chu kỳ 3 tháng và 6 tháng.

Chúng ta cần tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 3 và 6 để xác định khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần thực hiện hai công việc cùng lúc.

• Bước 1: Tìm BCNN(3, 6).

  • Ta thấy 6 chia hết cho 3 (6 = 3 \times 2). Khi một số là bội của số kia, BCNN chính là số lớn hơn.
  • Hoặc phân tích thừa số nguyên tố:
    3 = 3
    6 = 2 \times 3
  • BCNN(3, 6) = 2^1 \cdot 3^1 = 6.

• Bước 2: Xác định tháng tiếp theo.

  • BCNN(3, 6) = 6, nghĩa là cứ sau 6 tháng, hai công việc này sẽ lại diễn ra cùng lúc.
  • Lần đầu tiên làm cùng lúc là tháng 4.
  • Lần tiếp theo gần nhất sẽ là 6 tháng sau tháng 4.
  • Tháng 4 + 6 tháng = Tháng 10.

Đáp án: Lần gần nhất tiếp theo bác ấy sẽ cùng làm hai việc đó vào tháng 10.

Mẹo kiểm tra: Liệt kê các thời điểm làm từng việc:

• Thay dầu: Tháng 4, tháng 4+3=7, tháng 7+3=10, tháng 10+3=1 (năm sau)…
• Xoay lốp xe: Tháng 4, tháng 4+6=10, tháng 10+6=4 (năm sau)…
  Ta thấy tháng 10 là lần trùng lặp tiếp theo sau tháng 4.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa ƯCLN và BCNN. Không hiểu rõ ý nghĩa của chu kỳ lặp lại.

Bài 2.60 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Phân tích yêu cầu: Bài toán cho biết hai số 79 và 97 là số nguyên tố và yêu cầu tìm ƯCLN và BCNN của chúng.

Kiến thức cần dùng: Định nghĩa số nguyên tố, ước chung, bội chung, ƯCLN và BCNN.

Hướng dẫn giải chi tiết:

• Số nguyên tố: Là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

• Đề bài cho biết 79 và 97 là hai số nguyên tố.

• Hai số nguyên tố khác nhau thì chỉ có ước chung duy nhất là 1.

  • Do đó, ƯCLN(79, 97) = 1.

• Để tìm BCNN của hai số, ta có thể sử dụng công thức: a \times b = \text{ƯCLN}(a, b) \times \text{BCNN}(a, b).

  • Suy ra: \text{BCNN}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{ƯCLN}(a, b)}.
  • Thay số vào: \text{BCNN}(79, 97) = \frac{79 \times 97}{1}.
  • Tính tích: 79 \times 97.
    79 \times 97 = 79 \times (100 - 3) = 7900 - 79 \times 3 = 7900 - 237 = 7663.
  • Hoặc, khi ƯCLN của hai số bằng 1, thì BCNN của chúng chính là tích của hai số đó.
    \text{BCNN}(79, 97) = 79 \times 97 = 7663.

Đáp án: \text{ƯCLN}(79, 97) = 1 và \text{BCNN}(79, 97) = 7663.

Mẹo kiểm tra: Tính chất a \times b = \text{ƯCLN}(a, b) \times \text{BCNN}(a, b) là một công cụ kiểm tra hữu hiệu.

Lỗi hay gặp: Không nhận ra tính chất đặc biệt của hai số nguyên tố khác nhau. Nhầm lẫn giữa ƯCLN và BCNN.

Bài 2.61 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Phân tích yêu cầu: Bài toán cho biết dạng phân tích thừa số nguyên tố của hai số, kèm theo ƯCLN và BCNN của chúng. Yêu cầu tìm các số mũ a và b. Đây là bài toán ngược so với các bài tìm ƯCLN, BCNN thông thường.

Kiến thức cần dùng: Quy tắc tìm ƯCLN và BCNN dựa trên phân tích thừa số nguyên tố.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Cho hai số: A = 3^a \cdot 5^2 và B = 3^3 \cdot 5^b.
Biết:

• \text{ƯCLN}(A, B) = 3^3 \cdot 5^2
• \text{BCNN}(A, B) = 3^3 \cdot 5^3

Nguyên tắc tìm ƯCLN và BCNN:

• ƯCLN: Lấy các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất.
• BCNN: Lấy tất cả các thừa số nguyên tố (chung và riêng) với số mũ lớn nhất.

Áp dụng vào bài toán:

1. Xét thừa số nguyên tố 3:

   • Trong ƯCLN: 3^3 (số mũ nhỏ nhất là 3).
   • Trong BCNN: 3^3 (số mũ lớn nhất là 3).
   • Các số mũ của 3 trong A và B là a và 3.
   • Từ ƯCLN, ta có min(a, 3) = 3. Điều này chỉ xảy ra khi a \ge 3.
   • Từ BCNN, ta có max(a, 3) = 3. Điều này chỉ xảy ra khi a \le 3.
   • Kết hợp hai điều kiện, ta có a = 3.

2. Xét thừa số nguyên tố 5:

   • Trong ƯCLN: 5^2 (số mũ nhỏ nhất là 2).
   • Trong BCNN: 5^3 (số mũ lớn nhất là 3).
   • Các số mũ của 5 trong A và B là 2 và b.
   • Từ ƯCLN, ta có min(2, b) = 2. Điều này chỉ xảy ra khi b \ge 2.
   • Từ BCNN, ta có max(2, b) = 3. Điều này chỉ xảy ra khi b = 3.
   • Kết hợp hai điều kiện, ta thấy b = 3 thỏa mãn cả hai.

Đáp án: Vậy a = 3 và b = 3.

Kiểm tra lại:
Nếu a=3, b=3, thì hai số là 3^3 \cdot 5^2 và 3^3 \cdot 5^3.

• ƯCLN: Lấy số mũ nhỏ nhất: 3^{min(3,3)} \cdot 5^{min(2,3)} = 3^3 \cdot 5^2. (Khớp với đề bài)
• BCNN: Lấy số mũ lớn nhất: 3^{max(3,3)} \cdot 5^{max(2,3)} = 3^3 \cdot 5^3. (Khớp với đề bài)

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa quy tắc tìm ƯCLN và BCNN (nhỏ nhất/lớn nhất). Sai sót trong việc so sánh các số mũ.

Bài 2.62 trang 56 Toán lớp 6 Tập 1

Phân tích yêu cầu: Đây là một bài toán cổ yêu cầu tìm số vịt biết một số thông tin về cách xếp hàng. Các thông tin này cho ta các điều kiện về tính chia hết của số vịt.

Kiến thức cần dùng: Các dấu hiệu chia hết, khái niệm số lẻ, số chẵn, bội chung.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Gọi số vịt là a. Theo đề bài, số vịt chưa đến 200 con, tức là a < 200[/katex].</p> <p>Phân tích từng dữ kiện:</p> <ol> <li>"Buộc đi cho được chẵn hàng mới ưa": Thông tin này có vẻ hơi khó hiểu hoặc có thể là cách diễn đạt khác. Tuy nhiên, các câu sau cung cấp thông tin rõ ràng hơn. Ta sẽ tập trung vào các câu sau.</li> <li>"Hàng 2 xếp thấy chưa vừa": Nghĩa là số vịt không chia hết cho 2. Số không chia hết cho 2 là số lẻ. Vậy [katex]a là số lẻ. Điều này cũng có nghĩa là a equiv 1 pmod{2}.

Ta có các điều kiện sau:

• a < 200[/katex]</li> <li>[katex]a là số lẻ.
• a equiv 1 pmod{3}
• a equiv 4 pmod{5} (tương đương a+1 equiv 0 pmod{5})
• a equiv 0 pmod{7}

Chiến lược giải: Sử dụng điều kiện a equiv 0 pmod{7} và a < 200[/katex] để liệt kê các bội của 7 dưới 200. Sau đó, kiểm tra từng bội này với các điều kiện còn lại.</p> <p>Các bội của 7 dưới 200: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 196.</p> <p>Bây giờ, kiểm tra lần lượt các điều kiện:</p> <ul> <li> <p><strong>a là số lẻ:</strong> Loại bỏ các số chẵn (14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, 154, 168, 182, 196).Các số còn lại: 7, 21, 35, 49, 63, 77, 91, 105, 119, 133, 147, 161, 175, 189.</p> </li> <li> <p><strong>a chia 3 dư 1 ([katex]a equiv 1 pmod{3}):

• 7 chia 3 dư 1 (Thỏa mãn)
• 21 chia 3 dư 0 (Loại)
• 35 chia 3 dư 2 (Loại)
• 49 chia 3 dư 1 (Thỏa mãn)
• 63 chia 3 dư 0 (Loại)
• 77 chia 3 dư 2 (Loại)
• 91 chia 3 dư 1 (Thỏa mãn)
• 105 chia 3 dư 0 (Loại)
• 119 chia 3 dư 2 (Loại)
• 133 chia 3 dư 1 (Thỏa mãn)
• 147 chia 3 dư 0 (Loại)
• 161 chia 3 dư 2 (Loại)
• 175 chia 3 dư 1 (Thỏa mãn)
• 189 chia 3 dư 0 (Loại)
  Các số còn lại: 7, 49, 91, 133, 175.