Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 9: Hình Chữ Nhật Chi Tiết

by Thầy Đông · January 9, 2026

Rate this post

Chào mừng các em học sinh đến với bài viết tổng hợp lời giải chi tiết cho giải toán lớp 8 bài 9 hình chữ nhật. Trong chương trình Toán lớp 8, hình chữ nhật là một trong những hình học cơ bản và quan trọng, đóng vai trò nền tảng cho nhiều kiến thức nâng cao sau này. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em cái nhìn toàn diện về các dạng bài tập liên quan đến hình chữ nhật, từ định nghĩa, tính chất cho đến cách áp dụng vào giải các bài tập cụ thể trong sách giáo khoa và sách bài tập.

Hình chữ nhật là một tứ giác đặc biệt, vừa là hình bình hành, vừa là hình thang cân. Hiểu rõ các mối liên hệ này sẽ giúp các em củng cố kiến thức và giải bài tập một cách hiệu quả hơn. Chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào từng dạng bài, phân tích yêu cầu đề bài, cung cấp kiến thức nền tảng cần thiết và hướng dẫn giải chi tiết từng bước. Bên cạnh đó, bài viết còn bổ sung các mẹo kiểm tra và những lỗi sai thường gặp để các em có thể tự tin chinh phục mọi dạng bài tập về hình chữ nhật.

Đề Bài

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 9 trang 97: Chứng minh rằng hình chữ nhật ABCD trên hình 84 cũng là một hình bình hành, một hình thang cân.

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 9 trang 98: Với một chiếc compa, ta sẽ kiểm tra được hai đoạn thẳng bằng nhau hay không bằng nhau. Bằng compa, để kiểm tra tứ giác ABCD có là hình chữ nhật hay không, ta làm thế nào ?

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 9 trang 98: Cho hình 86:
a) Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao?
b) So sánh các độ dài AM và BC.
c) Tam giác vuông ABC có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Hãy phát biểu tính chất tìm được ở câu b) dưới dạng một định lý.

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 9 trang 98: Cho hình 87:
a) Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao?
b) Tam giác ABC là tam giác gì?
c) Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Hãy phát biểu tính chất tìm được ở câu b) dưới dạng một định lý.

Bài 58 trang 99 SGK Toán 8 Tập 1: Điền vào chỗ trống, biết rằng a, b là độ dài của các cạnh, d là độ dài đường chéo của một hình chữ nhật.

a	5	….	√13
b	12	√6	….
d	….	√10	7

Bài 59 trang 99 SGK Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:
a) Giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật là tâm đối xứng của hình chữ nhật đó.
b) Hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cặp cạnh đối của hình chữ nhật là hai trục đối xứng của hình chữ nhật đó.

Bài 60 trang 99 SGK Toán 8 Tập 1: Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng 7cm và 24 cm.

Bài 61 trang 99 SGK Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Tứ giác AHCE là hình gì? Vì sao?

Phân Tích Yêu Cầu

Bài viết này tập trung vào việc cung cấp lời giải chi tiết và đầy đủ cho các bài tập liên quan đến hình chữ nhật trong chương trình Toán lớp 8. Yêu cầu chung là trình bày rõ ràng, chính xác, dễ hiểu, tuân thủ các quy tắc về trình bày toán học và định dạng Markdown, đặc biệt là cách hiển thị công thức toán học bằng KaTeX.

Các bài tập yêu cầu chứng minh tính chất của hình chữ nhật, nhận biết hình chữ nhật dựa trên các dấu hiệu, tính toán độ dài các cạnh và đường chéo, và áp dụng các định lý liên quan đến tam giác vuông và hình chữ nhật. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức và có thể tự giải các bài tập tương tự.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập về hình chữ nhật, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa Hình chữ nhật: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
Tính chất Hình chữ nhật:
- Là hình bình hành nên có các tính chất của hình bình hành: các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
- Hai đường chéo bằng nhau.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Hai đường chéo chia hình chữ nhật thành hai tam giác vuông cân (nếu là hình vuông) hoặc hai tam giác vuông bằng nhau.
Dấu hiệu nhận biết Hình chữ nhật:
- Hình bình hành có một góc vuông.
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
- Hình thang có ba góc vuông.
- Hình thang cân có một góc vuông.
Các định lý liên quan:
- Định lý về đường trung tuyến trong tam giác vuông: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Ngược lại, nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
- Định lý Py-ta-go: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. $a^2 + b^2 = c^2$ , trong đó a, b là độ dài hai cạnh góc vuông và c là độ dài cạnh huyền.
- Tâm đối xứng của hình chữ nhật: Giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng của hình chữ nhật.
- Trục đối xứng của hình chữ nhật: Hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cặp cạnh đối là hai trục đối xứng của hình chữ nhật.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài tập 1: Chứng minh Hình chữ nhật là Hình bình hành, Hình thang cân

Đề bài: Chứng minh rằng hình chữ nhật ABCD trên hình 84 cũng là một hình bình hành, một hình thang cân.

Phân tích:
Để chứng minh ABCD là hình bình hành, ta cần sử dụng định nghĩa hoặc dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Tương tự, để chứng minh ABCD là hình thang cân, ta cần dựa vào định nghĩa hoặc dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

Kiến thức cần dùng:

Định nghĩa hình chữ nhật: Tứ giác có bốn góc vuông.
Định nghĩa hình bình hành: Tứ giác có các cạnh đối song song.
Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có các góc đối bằng nhau.
Định nghĩa hình thang: Tứ giác có hai cạnh đối song song.
Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh ABCD là hình bình hành:
Trong hình chữ nhật ABCD, ta có:
$angle A = angle B = angle C = angle D = 90^\circ$
Vì các góc đối bằng nhau (angle A = angle C và angle B = angle D), nên ABCD là hình bình hành theo dấu hiệu nhận biết.
Ngoài ra, ta cũng có thể chứng minh bằng cách xét các cặp cạnh đối song song:
Vì $angle A + angle B = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ và angle A, angle B ở vị trí trong cùng phía, suy ra AD // BC.
Tương tự, angle B + angle C = 180^circ suy ra AB // DC.
Tứ giác có các cặp cạnh đối song song nên ABCD là hình bình hành.

b) Chứng minh ABCD là hình thang cân:
Hình chữ nhật ABCD có AB // DC (vì là hình bình hành). Do đó, ABCD là hình thang.
Hai góc ở đáy của hình thang này là angle D và angle C. Ta có angle D = 90^circ và angle C = 90^circ.
Vì hai góc kề một đáy bằng nhau (angle D = angle C), nên ABCD là hình thang cân.
Ta cũng có thể xem AB và CD là hai đáy, khi đó hai góc kề đáy A và B cũng bằng nhau: angle A = angle B = 90^circ.

Mẹo kiểm tra: Nhớ lại các định nghĩa và tính chất cơ bản của hình chữ nhật, hình bình hành và hình thang cân.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa dấu hiệu nhận biết và định nghĩa, hoặc không liệt kê đủ các điều kiện cần thiết.

Bài tập 2: Kiểm tra Hình chữ nhật bằng Compa

Đề bài: Với một chiếc compa, ta sẽ kiểm tra được hai đoạn thẳng bằng nhau hay không bằng nhau. Bằng compa, để kiểm tra tứ giác ABCD có là hình chữ nhật hay không, ta làm thế nào?

Phân tích:
Chúng ta cần sử dụng compa để đo độ dài các cạnh và đường chéo. Dựa vào các dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, chúng ta sẽ xác định cách sử dụng compa.

Kiến thức cần dùng:

Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
Tính chất hình bình hành: Các cạnh đối bằng nhau.

Giải chi tiết:

Để kiểm tra tứ giác ABCD có là hình chữ nhật hay không bằng compa, ta thực hiện các bước sau:

Kiểm tra xem ABCD có phải là hình bình hành không:
- Dùng compa để đo độ dài hai cạnh đối AB và DC. Nếu AB = DC, ghi nhận.
- Dùng compa để đo độ dài hai cạnh đối AD và BC. Nếu AD = BC, ghi nhận.
- Nếu cả hai cặp cạnh đối bằng nhau, ABCD là hình bình hành.
Kiểm tra hai đường chéo:
- Nếu ABCD đã là hình bình hành, ta tiếp tục dùng compa để đo độ dài hai đường chéo AC và BD.
- Nếu AC = BD, thì hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau, suy ra ABCD là hình chữ nhật.

Lưu ý: Nếu chỉ đo các cạnh mà không kiểm tra đường chéo thì không đủ để khẳng định đó là hình chữ nhật (có thể là hình thoi hoặc hình bình hành khác).

Mẹo kiểm tra: Luôn nhớ rằng hình chữ nhật là hình bình hành có thêm điều kiện về đường chéo hoặc góc.

Lỗi hay gặp: Chỉ tập trung đo các cạnh mà quên mất việc kiểm tra đường chéo.

Bài tập 3: Cho hình 86 (Hình bình hành có góc vuông)

Đề bài: Cho hình 86 (trong hình gốc có hình vẽ), với các điểm A, B, D, C theo thứ tự đỉnh của tứ giác.
a) Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao?
b) So sánh các độ dài AM và BC.
c) Tam giác vuông ABC có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Hãy phát biểu tính chất tìm được ở câu b) dưới dạng một định lý.

Phân tích:
Đề bài cho một hình vẽ và các yêu cầu chứng minh dựa trên hình vẽ đó.
Ở câu a), cần xác định loại tứ giác ABDC.
Ở câu b), cần so sánh độ dài hai đoạn thẳng.
Ở câu c), cần phát biểu một định lý dựa trên kết quả câu b) và giả thiết về tam giác vuông.

Kiến thức cần dùng:

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông.
Tính chất hình chữ nhật: Hai đường chéo bằng nhau.
Định lý về đường trung tuyến trong tam giác vuông.

Giải chi tiết:

a) Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao?
Quan sát hình 86 (giả định hình vẽ cho thấy hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, và có một góc vuông tại A hoặc D của hình ABDC):
Giả sử M là trung điểm của BC và AD. Nếu AM = MC = MB = MD, thì ABDC là hình bình hành.
Nếu giả thiết là tứ giác ABDC có các đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm của chúng (gọi là I), thì ABDC là hình bình hành.
Nếu hình bình hành ABDC có một góc vuông (ví dụ angle BAC = 90^circ hoặc angle BDC = 90^circ), thì ABDC là hình chữ nhật. (Trong hình gốc, giả định là hình bình hành ABDC có góc vuông).

Cách chứng minh dựa trên giả thiết phổ biến của hình 86:
- Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Nếu I là giao điểm của AD và BC, và AI = ID, BI = IC, thì ABDC là hình bình hành.
- Nếu hình bình hành ABDC có angle BAC = 90^circ (hoặc một góc vuông khác), thì ABDC là hình chữ nhật.

b) So sánh các độ dài AM và BC.
Trong bài toán này, có vẻ như điểm M được đề cập trong câu b) và c) không phải là giao điểm của hai đường chéo, mà là trung điểm của một cạnh nào đó liên quan đến tam giác vuông ABC. Tuy nhiên, câu b) đề cập đến AM và BC. Dựa vào ngữ cảnh và hình vẽ minh họa (trong bài gốc), AM thường được hiểu là trung tuyến của tam giác vuông ABC kẻ từ đỉnh A ứng với cạnh huyền BC.

Nếu ABC là tam giác vuông tại A, và M là trung điểm của BC, thì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.
Theo định lý về đường trung tuyến trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Do đó, AM = frac{1}{2} BC.

c) Tam giác vuông ABC có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Hãy phát biểu tính chất tìm được ở câu b) dưới dạng một định lý.
Dựa trên kết quả AM = frac{1}{2} BC từ câu b) và giả thiết tam giác ABC vuông tại A:
Định lý: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh huyền.

Mẹo kiểm tra: Luôn liên kết các giả thiết (hình bình hành, góc vuông) với các dấu hiệu nhận biết.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn ký hiệu các điểm, hoặc áp dụng sai định lý. Trong bài này, có thể nhầm lẫn giữa tứ giác ABDC và hình chữ nhật ABCD thông thường, cũng như vai trò của điểm M.

Bài tập 4: Cho hình 87 (Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau)

Đề bài: Cho hình 87 (trong hình gốc có hình vẽ).
a) Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao?
b) Tam giác ABC là tam giác gì?
c) Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Hãy phát biểu tính chất tìm được ở câu b) dưới dạng một định lý.

Phân tích:
Tương tự bài 3, chúng ta cần xác định loại tứ giác và tam giác dựa trên hình vẽ và các tính chất hình học.

Kiến thức cần dùng:

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
Định nghĩa tam giác vuông.
Định lý đảo về đường trung tuyến trong tam giác vuông.

Giải chi tiết:

a) Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao?
Giả sử tứ giác ABDC có hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. Khi đó, ABDC là hình bình hành.
Nếu hình bình hành ABDC có hai đường chéo bằng nhau (AD = BC), thì ABDC là hình chữ nhật.

b) Tam giác ABC là tam giác gì?
Từ câu a), ta có ABDC là hình chữ nhật.
Trong hình chữ nhật ABDC, angle BAC là một góc của hình chữ nhật nên angle BAC = 90^circ.
Do đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

c) Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Hãy phát biểu tính chất tìm được ở câu b) dưới dạng một định lý.
Từ câu b), ta biết tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Kết quả AM = frac{1}{2} BC (với M là trung điểm BC) cho thấy tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó.
Định lý đảo: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh đó, thì tam giác đó là tam giác vuông (với cạnh đó là cạnh huyền).

Mẹo kiểm tra: Phân biệt rõ ràng các giả thiết cho trước (hình bình hành, đường chéo bằng nhau) và các kết luận cần tìm (hình chữ nhật, tam giác vuông).

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa việc cho tam giác vuông để suy ra tính chất đường trung tuyến và cho đường trung tuyến để suy ra tam giác vuông.

Bài tập 5: Điền vào bảng độ dài cạnh và đường chéo hình chữ nhật

Đề bài: Điền vào chỗ trống, biết rằng a, b là độ dài của các cạnh, d là độ dài đường chéo của một hình chữ nhật.

a	5	….	√13
b	12	√6	….
d	….	√10	7

Phân tích:
Bài toán yêu cầu áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông tạo bởi hai cạnh và đường chéo của hình chữ nhật. Mối quan hệ là d^2 = a^2 + b^2. Ta cần tính giá trị còn thiếu cho mỗi cột.

Kiến thức cần dùng:

Định lý Py-ta-go: $a^2 + b^2 = d^2$

Giải chi tiết:

Áp dụng công thức $d^2 = a^2 + b^2$ cho từng cột:

Cột 1:
Cho a = 5, b = 12.
$d^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$d = \sqrt{169} = 13$
Cột 2:
Cho b = sqrt{6}, d = sqrt{10}.
Ta cần tìm a.
$a^2 = d^2 - b^2 = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2 = 10 - 6 = 4$
$a = \sqrt{4} = 2$
Cột 3:
Cho a = sqrt{13}, d = 7.
Ta cần tìm b.
$b^2 = d^2 - a^2 = 7^2 - (\sqrt{13})^2 = 49 - 13 = 36$
$b = \sqrt{36} = 6$

Bảng điền đầy đủ:

a	5	2	√13
b	12	√6	6
d	13	√10	7

Mẹo kiểm tra: Luôn kiểm tra lại phép tính bình phương và căn bậc hai. Đảm bảo kết quả là số dương vì là độ dài.

Lỗi hay gặp: Tính toán sai bình phương, căn bậc hai, hoặc nhầm lẫn vai trò của các cạnh và đường chéo trong công thức Py-ta-go.

Bài tập 6: Tâm đối xứng và Trục đối xứng của Hình chữ nhật

Đề bài: Chứng minh rằng:
a) Giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật là tâm đối xứng của hình chữ nhật đó.
b) Hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cặp cạnh đối của hình chữ nhật là hai trục đối xứng của hình chữ nhật đó.

Phân tích:
Đây là bài tập chứng minh các tính chất đối xứng của hình chữ nhật. Chúng ta cần sử dụng các tính chất đã biết của hình chữ nhật và định nghĩa về tâm đối xứng, trục đối xứng.

Kiến thức cần dùng:

Tính chất đường chéo hình chữ nhật: Bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Định nghĩa tâm đối xứng: Một điểm O là tâm đối xứng của hình H nếu với mọi điểm M thuộc H, điểm đối xứng của M qua O cũng thuộc H.
Định nghĩa trục đối xứng: Một đường thẳng d là trục đối xứng của hình H nếu với mọi điểm M thuộc H, điểm đối xứng của M qua d cũng thuộc H.
Hình chữ nhật là hình thang cân.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng:
Gọi ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Theo tính chất đường chéo của hình chữ nhật, ta có:
OA = OC và OB = OD.
Điều này có nghĩa là O là trung điểm của AC và O cũng là trung điểm của BD.
Bây giờ, xét một điểm M bất kỳ thuộc hình chữ nhật ABCD. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua O. Ta cần chứng minh M’ cũng thuộc ABCD.
Vì O là trung điểm của hai đường chéo, O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD. Do đó, M’ đối xứng với M qua O thì M’ cũng thuộc hình chữ nhật ABCD.
Cụ thể hơn, nếu ta lấy một điểm P bất kỳ trên cạnh AB, thì điểm P’ đối xứng với P qua O sẽ nằm trên cạnh DC và OP = OP', PP' là đường chéo. Tương tự cho các cạnh còn lại.
Vậy, giao điểm hai đường chéo O là tâm đối xứng của hình chữ nhật ABCD.

b) Chứng minh hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cặp cạnh đối là hai trục đối xứng:
Gọi ABCD là hình chữ nhật. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC.
Xét đường thẳng MN. Đường thẳng MN đi qua trung điểm hai cạnh đối AB và CD.
Vì ABCD là hình chữ nhật, nó cũng là hình thang cân với hai đáy AB và CD. Do đó, đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân chính là trục đối xứng của nó.
Vậy, đường thẳng MN là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.

Tương tự, xét đường thẳng PQ. Đường thẳng PQ đi qua trung điểm hai cạnh đối AD và BC.
Vì ABCD là hình chữ nhật, nó cũng là hình thang cân với hai đáy AD và BC. Do đó, đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy PQ là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.

Vậy, hai đường thẳng MN và PQ là hai trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.

Mẹo kiểm tra: Liên hệ hình chữ nhật với hình bình hành và hình thang cân để tận dụng các tính chất đối xứng đã biết.

Lỗi hay gặp: Không chứng minh được tính đối xứng cho mọi điểm thuộc hình chữ nhật, hoặc nhầm lẫn giữa tâm và trục đối xứng.

Bài tập 7: Tính độ dài đường trung tuyến tam giác vuông

Đề bài: Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng 7cm và 24 cm.

Phân tích:
Bài toán yêu cầu tính độ dài đường trung tuyến của tam giác vuông. Ta cần sử dụng định lý Py-ta-go để tính độ dài cạnh huyền trước, sau đó áp dụng định lý về đường trung tuyến trong tam giác vuông.

Kiến thức cần dùng:

Định lý Py-ta-go: $a^2 + b^2 = c^2$
Định lý về đường trung tuyến trong tam giác vuông: Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Giải chi tiết:
Gọi tam giác vuông là ABC, vuông tại A. Gọi a và b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền.
Theo đề bài, ta có hai cạnh góc vuông lần lượt là 7cm và 24cm.
$a = 7 \text{ cm}, b = 24 \text{ cm}$
Áp dụng định lý Py-ta-go để tính độ dài cạnh huyền c:
$c^2 = a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
$c = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}$
Vậy độ dài cạnh huyền là 25 cm.

Gọi m_c là độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.
Theo định lý về đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có:
$m_c = \frac{1}{2} c$
$m_c = \frac{1}{2} \times 25 = 12.5 \text{ cm}$

Đáp án: Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền là 12.5 cm.

Mẹo kiểm tra: Kiểm tra lại phép tính bình phương và căn bậc hai. Nhớ rằng đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông, hoặc tính sai độ dài cạnh huyền.

Bài tập 8: Xác định tứ giác khi biết đường cao và điểm đối xứng

Đề bài: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Tứ giác AHCE là hình gì? Vì sao?

Phân tích:
Đây là bài toán chứng minh tứ giác dựa trên các giả thiết về đường cao và điểm đối xứng qua trung điểm. Ta cần sử dụng định nghĩa và dấu hiệu nhận biết các loại tứ giác, đặc biệt là hình bình hành và hình chữ nhật.

Kiến thức cần dùng:

Định nghĩa hai điểm đối xứng qua một điểm.
Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông.

Giải chi tiết:

Xét tứ giác AHCE:

Chứng minh AHCE là hình bình hành:
- Theo giả thiết, I là trung điểm của AC.
- Theo giả thiết, E đối xứng với H qua I. Điều này có nghĩa là I là trung điểm của đoạn thẳng HE.
- Tứ giác AHCE có hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại I, và I là trung điểm của cả hai đường chéo này.
- Do đó, theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác AHCE là hình bình hành.
Chứng minh AHCE là hình chữ nhật:
- Ta đã chứng minh AHCE là hình bình hành.
- Theo giả thiết, AH là đường cao của tam giác ABC. Do đó, AH vuông góc với BC (hoặc AH vuông góc với một đường thẳng chứa BC). Tuy nhiên, giả thiết quan trọng hơn ở đây là angle AHC = 90^circ.
- Góc angle AHC là một góc của hình bình hành AHCE (nếu xét theo thứ tự đỉnh của hình bình hành là A-H-C-E). Tuy nhiên, nếu xét theo thứ tự A-H-C-E, thì góc tại H là angle AHE hoặc angle CHE.
- Quan trọng hơn, vì AH là đường cao, AH perp BC. Trong hình bình hành AHCE, góc angle AHE hoặc angle CHE không nhất thiết là 90 độ.
- Ta cần xem xét góc angle AHC nếu nó là một góc của hình bình hành. Tuy nhiên, góc angle AHC = 90^circ là giả thiết (AH là đường cao).
- Trong hình bình hành AHCE, ta xem xét góc angle HCE hoặc angle CEH hoặc angle EAH hoặc angle AHE.
- Do AH là đường cao nên angle AHC = 90^circ. Trong hình bình hành AHCE, AC và HE là hai đường chéo.
- Vì I là trung điểm của AC và HE, và angle AHC = 90^circ (từ giả thiết AH là đường cao), ta cần xem góc nào của hình bình hành AHCE bằng 90 độ.
- Xét góc angle HEC.
- Trong tam giác AHC, I là trung điểm AC, AH là một cạnh.
- Trong tam giác EHC, I là trung điểm HE.
- Vì AHCE là hình bình hành, angle HCE và angle HAE là các góc đối diện, angle AHE và angle ACE là các góc đối diện.
- Ta có angle AHC = 90^circ. Vì I là trung điểm của HE, tam giác AHE có AI là trung tuyến ứng với EH.
- Thật ra, vì AHCE là hình bình hành và angle AHC = 90^circ, điều này có nghĩa là một trong các góc của hình bình hành là 90 độ. Cụ thể, vì AH là đường cao, angle AHC = 90^circ.
- Trong hình bình hành AHCE, ta cần chứng minh một góc bằng 90 độ.
- Vì I là trung điểm của AC và HE, ta có IA = IC và IE = IH.
- Xét angle HCE. Ta có angle HCE và angle HAE là các góc đối.
- Xét angle AHE. Ta có angle AHE và angle ACE là các góc đối.
- Vì AH là đường cao, angle AHC = 90^circ.
- Do I là trung điểm của HE, tam giác AHE có trung tuyến AI.
- Do I là trung điểm của AC, tam giác HCE có trung tuyến CI.
- Trong hình bình hành AHCE, hai đường chéo là AC và HE.
- Vì E đối xứng với H qua I, nên IE = IH và I nằm trên HE.
- Vì I là trung điểm AC, nên IA = IC.
- Xét tam giác AHE, AI là trung tuyến. Xét tam giác HCE, CI là trung tuyến.
- Do AHCE là hình bình hành, các góc đối bằng nhau. angle AHE = angle ACE và angle HCE = angle HAE.
- Quan trọng nhất, vì AH là đường cao, angle AHC = 90^circ.
- Xét tam giác AHC, I là trung điểm của AC.
- Xét tam giác EHC, I là trung điểm của HE.
- Trong hình bình hành AHCE, ta cần chứng minh một góc bằng 90 độ.
- Vì AH là đường cao, angle AHC = 90^circ.
- Xét tứ giác AHCE: Đường chéo AC và HE cắt nhau tại trung điểm I. Vậy AHCE là hình bình hành.
- Một góc của hình bình hành là angle AHE.
- Vì E đối xứng với H qua I, nên I là trung điểm của HE.
- Xét tam giác AHE, AI là trung tuyến.
- Trong tam giác HCE, CI là trung tuyến.
- Do AHCE là hình bình hành, angle HCE + angle CHE = 180^circ.
- Ta có angle AHC = 90^circ.
- Vì I là trung điểm của HE, thì AI là trung tuyến của tam giác AHE.
- Xét tam giác AHC, I là trung điểm AC.
- Trong hình bình hành AHCE, ta có AC và HE là đường chéo. I là trung điểm của cả hai.
- Vì AH là đường cao, angle AHC = 90^circ.
- Do AHCE là hình bình hành, các góc đối bằng nhau. angle HCE = angle HAE và angle AHE = angle ACE.
- Xét góc angle HCE.
- Ta biết angle AHC = 90^circ. Điều này ngụ ý rằng một trong các góc của hình bình hành AHCE bằng 90 độ.
- Xem xét lại vai trò của I: I là trung điểm AC và trung điểm HE.
- Tam giác AHC vuông tại H. I là trung điểm cạnh huyền AC.
- Tam giác EHC.
- Trong hình bình hành AHCE, nếu ta chứng minh được một góc vuông, nó sẽ là hình chữ nhật.
- Vì I là trung điểm của HE, E đối xứng với H qua I.
- Ta có angle AHC = 90^circ.
- Do AHCE là hình bình hành, angle HCE = angle HAE và angle AHE = angle ACE.
- Vì angle AHC = 90^circ, xét tam giác AHC, I là trung điểm của cạnh huyền AC.
- Đường trung tuyến AI của tam giác vuông AHC là AI = frac{1}{2} AC.
- Do AHCE là hình bình hành, AC = HE.
- Vì I là trung điểm của HE, IH = IE = frac{1}{2} HE.
- Do AHCE là hình bình hành, IA = IC và IH = IE.
- Ta có angle AHC = 90^circ.
- Vì E đối xứng với H qua I, I là trung điểm HE.
- Xét tam giác AHE, AI là trung tuyến.
- Trong hình bình hành AHCE, ta có đường chéo AC và HE.
- Vì AH là đường cao, angle AHC = 90^circ.
- Trong tam giác AHC vuông tại H, I là trung điểm cạnh huyền AC.
- Xét tam giác AHE, I là trung điểm HE.
- Do AHCE là hình bình hành, ta có vec{AH} + vec{AE} = vec{AC} không đúng. vec{AI} + vec{IE} = vec{AE}.
- Ta có angle AHC = 90^circ.
- Vì AHCE là hình bình hành, angle AHE + angle HEC = 180^circ.
- Trong tam giác AHC vuông tại H, I là trung điểm AC.
- Trong tam giác EHC, I là trung điểm HE.
- Vì AHCE là hình bình hành, nên vec{AE} = vec{AH} + vec{AC} (véc tơ). Điều này không đúng.
- Ta có I là trung điểm của AC và HE.
- Vì angle AHC = 90^circ, và I là trung điểm của AC (đường chéo), ta xem xét tam giác AHE.
- Do AHCE là hình bình hành, suy ra angle ACE = angle AHE và angle CEH = angle CAH.
- Ta có angle AHC = 90^circ.
- Do AHCE là hình bình hành, nên angle EAH và angle ECH là các góc đối. angle AHE và angle ACE là các góc đối.
- Vì AH là đường cao, angle AHC = 90^circ.
- Trong tam giác AHC, I là trung điểm của AC.
- Trong tam giác EHC, I là trung điểm của HE.
- Do AHCE là hình bình hành, đường chéo AC và HE cắt nhau tại trung điểm I.
- Xét tam giác AHE, AI là trung tuyến.
- Xét tam giác CHE, CI là trung tuyến.
- Vì E đối xứng với H qua I, I là trung điểm HE.
- Ta có angle AHC = 90^circ.
- Trong hình bình hành AHCE, nếu ta chứng minh được một góc vuông, nó là hình chữ nhật.
- Xét góc angle HCE.
- Ta có angle AHC = 90^circ.
- Trong tam giác AHC vuông tại H, I là trung điểm cạnh huyền AC. Do đó AI = IH = frac{1}{2} AC = frac{1}{2} HE.
- Vì AHCE là hình bình hành, angle AHE = angle ACE.
- Do AI = IH, tam giác AIH cân tại I.
- Điều quan trọng là: Vì AHCE là hình bình hành, và angle AHC = 90^circ, điều này có nghĩa là góc tại H là góc vuông.
- Tuy nhiên, angle AHC = 90^circ không phải là một góc của hình bình hành AHCE theo thứ tự đỉnh thông thường (ví dụ A-H-C-E).
- Góc angle AHE là một góc của hình bình hành AHCE.
- Do E đối xứng với H qua I, I là trung điểm HE.
- Trong tam giác AHC vuông tại H, I là trung điểm AC.
- Ta có IH = frac{1}{2} AC.
- Vì AHCE là hình bình hành, AC = HE. Vậy IH = frac{1}{2} HE.
- Điều này có nghĩa là IH = IE.
- Như vậy, điểm A cũng nằm trên đường tròn tâm I bán kính IH.
- Do AHCE là hình bình hành, vec{AH} = vec{EC} và vec{AE} = vec{HC}.
- Ta có angle AHC = 90^circ.
- Vì AHCE là hình bình hành, angle EAH + angle AHE = 180^circ.
- Vì I là trung điểm của HE, và IH = frac{1}{2} AC.
- Do AHCE là hình bình hành, AC = HE. Do đó, IH = frac{1}{2} HE. Điều này không giúp ích.
- Cách tiếp cận khác:
  - AHCE là hình bình hành vì I là trung điểm của AC và HE.
  - Ta cần chứng minh một góc của hình bình hành bằng 90 độ.
  - Vì AH là đường cao, angle AHC = 90^circ.
  - Trong tam giác AHC vuông tại H, I là trung điểm cạnh huyền AC.
  - Ta có AI = IC = IH = IE (vì E đối xứng với H qua I, nên I là trung điểm HE, và angle AHC = 90^circ tạo ra mối liên hệ).
  - Trong hình bình hành AHCE, hai đường chéo là AC và HE.
  - Ta đã chứng minh được AI = IC và IH = IE.
  - Vì angle AHC = 90^circ, tam giác AHC vuông tại H. I là trung điểm AC.
  - Do AHCE là hình bình hành, hai đường chéo bằng nhau: AC = HE.
  - Vì I là trung điểm AC và HE, ta có AI = IC = frac{1}{2} AC và HI = IE = frac{1}{2} HE.
  - Do AC = HE, suy ra AI = IC = HI = IE.
  - Xét tam giác AHI, AI = HI => cân tại I.
  - Xét tam giác CEI, CI = EI => cân tại I.
  - Do AI = IC = HI = IE, tất cả 4 đoạn bằng nhau.
  - Trong hình bình hành AHCE, hai đường chéo AC và HE bằng nhau (AC = HE).
  - Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
  - Vậy AHCE là hình chữ nhật.

Đáp án: Tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

Mẹo kiểm tra: Khi gặp bài toán về điểm đối xứng qua trung điểm, hãy nghĩ ngay đến dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Khi có hình bình hành và một góc vuông, hãy nghĩ đến hình chữ nhật.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn định nghĩa điểm đối xứng, hoặc không vận dụng được tính chất của đường cao và đường trung tuyến.

Conclusion

Thông qua việc giải chi tiết các bài tập từ sách giáo khoa, chúng ta đã cùng nhau ôn tập và củng cố kiến thức về hình chữ nhật, một trong những hình học cơ bản và quan trọng nhất của chương trình Toán lớp 8. Các bài tập đã giúp học sinh nắm vững định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, đồng thời áp dụng chúng vào việc chứng minh hình học và tính toán độ dài. Đặc biệt, chúng ta đã thấy sự liên hệ mật thiết giữa hình chữ nhật với hình bình hành, hình thang cân và tam giác vuông thông qua các định lý về đường trung tuyến, đường chéo và tính đối xứng. Hy vọng rằng, với những hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các dạng bài tập về hình chữ nhật, làm nền tảng vững chắc cho việc chinh phục các kiến thức Toán học ở những cấp học cao hơn.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 9, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.