Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 4 Giải Bài Toán Mở Rộng Dạng Tổng – Tỉ

Chào mừng quý thầy cô và các bậc phụ huynh đến với tài liệu hướng dẫn chuyên sâu về phương pháp giải bài toán tìm hai số biết tổng và tỉ số cho học sinh lớp 4. Trong chương trình Toán bậc Tiểu học, dạng toán này đóng vai trò nền tảng, không chỉ rèn luyện kỹ năng tư duy logic mà còn giúp các em phát triển khả năng giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. Tuy nhiên, nhiều em học sinh gặp khó khăn khi đối diện với các biến thể phức tạp hơn của dạng toán cơ bản này. Bài viết này sẽ cung cấp những kiến thức, phương pháp và bài tập minh họa chi tiết, giúp các em học sinh lớp 4 tự tin chinh phục các dạng toán mở rộng, đặc biệt là toán tổng tỉ nâng cao.

Đề Bài

Bài toán cơ bản:
Tổng của hai số là 96. Tỉ số của hai số đó là \frac{3}{5}. Tìm hai số đó.

Bài toán 1:
Mai và Trang có 32 quyển vở. Tính số vở của mỗi bạn, biết rằng số vở của Mai bằng số vở của Trang.

Bài toán 2:
Sau Tết, tổng số tiền mừng tuổi của hai anh em là 3.300.000 đồng. Biết rằng số tiền mừng tuổi của em bằng \frac{3}{5} số tiền mừng tuổi của anh. Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền mừng tuổi?

Bài toán 3:
Cô giáo phát thưởng 135 quyển vở cho một số học sinh giỏi lớp Một và lớp Hai. Mỗi em lớp Một được 2 quyển, mỗi em lớp Hai được 1 quyển. Số học sinh giỏi lớp Một gấp đôi số học sinh giỏi lớp Hai. Hỏi có bao nhiêu em học sinh giỏi lớp Một được nhận vở?

Bài toán 4:
Trước đây, vào lúc anh bằng tuổi em hiện nay thì anh gấp đôi tuổi em. Hiện nay, tổng số tuổi của 2 anh em là 60 tuổi. Tính tuổi mỗi người hiện nay.

Bài toán 5:
Hiện nay, tổng số tuổi của ba cha con là 85 tuổi, trong đó: tuổi con gái bằng \frac{2}{3} tuổi cha, tuổi con trai bằng \frac{3}{4} tuổi con gái. Tính số tuổi từng người.

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài toán thuộc dạng “Tổng – Tỉ” yêu cầu chúng ta tìm hai hoặc nhiều số khi biết tổng của chúng và tỉ số giữa chúng. Đối với học sinh lớp 4, việc nắm vững cách giải bài toán cơ bản là bước đầu tiên và quan trọng nhất. Tuy nhiên, sự “mở rộng” thường đến từ việc các dữ kiện về tỉ số hoặc tổng không được nêu trực tiếp, mà ẩn chứa trong các câu văn mô tả mối quan hệ thực tế. Do đó, để giải quyết các bài toán này, học sinh cần:

1. Đọc kỹ đề bài: Hiểu rõ yêu cầu đề bài, xác định dữ kiện đã cho và dữ kiện cần tìm.
2. Phân tích đề: Tìm ra các mối quan hệ toán học ẩn chứa trong lời văn.
3. Quy về dạng toán cơ bản: Chuyển đổi các dữ kiện phức tạp về dạng tổng và tỉ số quen thuộc để áp dụng phương pháp giải đã học.
4. Trình bày lời giải khoa học: Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng và các bước tính toán rõ ràng.
5. Kiểm tra kết quả: Đảm bảo đáp số là chính xác và hợp lý với yêu cầu của đề bài.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó” dựa trên các kiến thức và quy tắc sau:

1. Tỉ số của hai số: Tỉ số của hai số $a$ và $b$ (với b \ne 0) là $a : b$ hoặc \frac{a}{b}.
2. Biểu diễn tỉ số bằng sơ đồ đoạn thẳng:
   • Nếu số bé là $x$ và số lớn là $y$, với tỉ số \frac{x}{y} = \frac{m}{n} (m, n là số tự nhiên, n \ne 0), ta có thể biểu diễn:
     • Nếu tỉ số là \frac{\text{bé}}{\text{lớn}} (ví dụ: \frac{3}{5}), ta vẽ $n$ phần cho số lớn và $m$ phần cho số bé.
     • Nếu tỉ số là \frac{\text{lớn}}{\text{bé}} (ví dụ: \frac{5}{3}), ta vẽ $m$ phần cho số lớn và $n$ phần cho số bé.
3. Phương pháp giải toán “Tổng – Tỉ”:
   • Bước 1: Vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị mối quan hệ giữa hai số theo tỉ số đã cho.
   • Bước 2: Tính tổng số phần bằng nhau: m + n.
   • Bước 3: Tìm giá trị của một phần: Tổng hai số / Tổng số phần.
   • Bước 4: Tìm số bé: Giá trị một phần $times m$.
   • Bước 5: Tìm số lớn: Giá trị một phần $times n$ hoặc Lấy Tổng hai số – Số bé.
4. Quy tắc chuyển đổi tỉ số: Khi tỉ số chưa cùng tử hoặc cùng mẫu, ta có thể quy đồng mẫu số hoặc tử số để đưa về dạng dễ so sánh. Ví dụ, nếu có tỉ lệ “tuổi em bằng \frac{3}{4} tuổi con gái” và “tuổi con gái bằng \frac{2}{3} tuổi cha”, ta cần tìm tỉ số giữa tuổi em, tuổi con gái và tuổi cha để quy về cùng một “phần” chung.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài toán cơ bản: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số

Đây là dạng toán gốc, học sinh cần thành thạo để làm nền tảng.

Đề bài: Tổng của hai số là 96. Tỉ số của hai số đó là \frac{3}{5}. Tìm hai số đó.

Phân tích:

• Tổng của hai số là 96.
• Tỉ số của hai số (số bé : số lớn) là \frac{3}{5}. Điều này có nghĩa là nếu số bé chia thành 3 phần thì số lớn chia thành 5 phần như thế.

Giải:
Ta có sơ đồ:

Số bé: |---|---|---|  (3 phần)
Số lớn: |---|---|---|---|---| (5 phần)
Tổng: 96

• Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 5 = 8 (phần)
• Giá trị của một phần là: 96 div 8 = 12
• Số bé là: 12 \times 3 = 36
• Số lớn là: 12 \times 5 = 60 (hoặc 96 - 36 = 60)

Đáp số: Số bé: 36; Số lớn: 60.

Mẹo kiểm tra:

• Kiểm tra tổng: 36 + 60 = 96 (Đúng).
• Kiểm tra tỉ số: 36 div 60 = \frac{36}{60} = \frac{3 \times 12}{5 \times 12} = \frac{3}{5} (Đúng).

Lỗi hay gặp:

• Nhầm lẫn tỉ số (ví dụ: lấy 5 phần cho số bé, 3 phần cho số lớn).
• Tính toán sai khi tìm giá trị một phần hoặc khi tìm các số.

Dạng thứ nhất: Những bài toán ẩn tỉ số

Các bài toán này đòi hỏi học sinh phải suy luận để tìm ra tỉ số ẩn.

Bài toán 1: Mai và Trang có 32 quyển vở. Tính số vở của mỗi bạn, biết rằng số vở của Mai bằng số vở của Trang.

Phân tích:

• Tổng số vở: 32 quyển.
• Quan hệ: “số vở của Mai bằng số vở của Trang”. Điều này ngụ ý rằng nếu chia số vở của Mai thành 3 phần thì số vở của Trang cũng chia thành 5 phần như thế, tức là tỉ số vở của Mai so với Trang là $3:5$. (Lưu ý: Đề gốc ghi “bằng”, nhưng ngữ cảnh và cách giải chi tiết trong tài liệu gốc cho thấy tỉ lệ ngầm là 3:5. Chúng ta sẽ tuân theo cách giải này).

Giải:
Ta coi số vở của Mai là 3 phần, số vở của Trang là 5 phần.
Ta có sơ đồ:

Mai:   |---|---|---|      (3 phần)
Trang: |---|---|---|---|---| (5 phần)
Tổng:  32 quyển

• Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 5 = 8 (phần)
• Giá trị mỗi phần là: 32 div 8 = 4 (quyển)
• Số vở của bạn Mai là: 4 \times 3 = 12 (quyển)
• Số vở của bạn Trang là: 32 - 12 = 20 (quyển)

Đáp số: Mai: 12 quyển vở. Trang: 20 quyển vở.

Mẹo kiểm tra:

• Tổng số vở: 12 + 20 = 32 (Đúng).
• Tỉ số: 12 : 20 = \frac{12}{20} = \frac{3 \times 4}{5 \times 4} = \frac{3}{5} (Đúng).

Bài toán 2: Sau Tết, tổng số tiền mừng tuổi của hai anh em là 3.300.000 đồng. Biết rằng số tiền mừng tuổi của em bằng \frac{3}{5} số tiền mừng tuổi của anh. Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền mừng tuổi?

Phân tích:

• Tổng số tiền: 3.300.000 đồng.
• Tỉ số: Số tiền em / Số tiền anh = \frac{3}{5}.

Giải:
Ta có sơ đồ:

Tiền em: |---|---|---|      (3 phần)
Tiền anh: |---|---|---|---|---| (5 phần)
Tổng: 3.300.000 đồng

• Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 5 = 8 (phần)
• Giá trị mỗi phần là: 3.300.000 div 8 = 412.500 (đồng)
• Số tiền mừng tuổi của em là: 412.500 \times 3 = 1.237.500 (đồng)
• Số tiền mừng tuổi của anh là: 3.300.000 - 1.237.500 = 2.062.500 (đồng)

Đáp số: Em: 1.237.500 đồng. Anh: 2.062.500 đồng.

Mẹo kiểm tra:

• Tổng số tiền: 1.237.500 + 2.062.500 = 3.300.000 (Đúng).
• Tỉ số: 1.237.500 div 2.062.500 = \frac{1.237.500}{2.062.500} = \frac{3 \times 412.500}{5 \times 412.500} = \frac{3}{5} (Đúng).

Dạng thứ hai: Quy đồng tỉ số

Khi các tỉ số được cho dưới dạng phức tạp hơn hoặc liên quan đến nhiều đối tượng, ta cần quy đồng để đưa về cùng một “mẫu số chung” hoặc “tử số chung”.

Bài toán 2 (tiếp theo với cách tiếp cận khác từ nguồn gốc):
Sau Tết, tổng số tiền mừng tuổi của hai anh em là 3.300.000 đồng. Biết rằng số tiền mừng tuổi của em bằng \frac{3}{5} số tiền mừng tuổi của anh. Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền mừng tuổi?

(Lưu ý: Đề bài gốc có một chút nhầm lẫn trong cách diễn đạt ví dụ. Đoạn gốc ban đầu nói “số tiền mừng tuổi của em bằng số tiền mừng tuổi của anh”, sau đó lại đưa ra ví dụ tỉ lệ là \frac{3}{5}. Phần giải thích thêm trong nguồn gốc cố gắng làm rõ cách quy đồng tỉ lệ đã cho. Chúng ta sẽ làm theo hướng quy đồng tỉ lệ từ đề bài đã cho là \frac{3}{5}.)

Phân tích:

• Tổng số tiền: 3.300.000 đồng.
• Tỉ lệ: Số tiền em = \frac{3}{5} Số tiền anh.
  • Điều này có nghĩa là tỉ số của số tiền em so với số tiền anh là \frac{\text{Tiền em}}{\text{Tiền anh}} = \frac{3}{5}.

Giải:
Ta coi số tiền mừng tuổi của em là 3 phần, số tiền mừng tuổi của anh là 5 phần.

Tiền em: |---|---|---|      (3 phần)
Tiền anh: |---|---|---|---|---| (5 phần)
Tổng: 3.300.000 đồng

• Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 5 = 8 (phần)
• Giá trị mỗi phần là: 3.300.000 div 8 = 412.500 (đồng)
• Số tiền mừng tuổi của em là: 412.500 \times 3 = 1.237.500 (đồng)
• Số tiền mừng tuổi của anh là: 3.300.000 - 1.237.500 = 2.062.500 (đồng)

Đáp số: Em: 1.237.500 đồng. Anh: 2.062.500 đồng.

(Phần giải thích trong nguồn gốc về quy đồng tử số ở bài này có vẻ không khớp hoàn toàn với đề bài, dẫn đến tỉ lệ khác. Ví dụ gốc muốn chuyển \frac{3}{5} và tỉ lệ khác về cùng mẫu hoặc cùng tử. Tuy nhiên, với đề bài “số tiền mừng tuổi của em bằng \frac{3}{5} số tiền mừng tuổi của anh”, tỉ lệ đã rõ ràng là 3:5 nên không cần quy đồng. Trường hợp quy đồng thực sự sẽ xuất hiện ở bài toán 5.)

Bài toán 5: Hiện nay, tổng số tuổi của ba cha con là 85 tuổi, trong đó: tuổi con gái bằng \frac{2}{3} tuổi cha, tuổi con trai bằng \frac{3}{4} tuổi con gái. Tính số tuổi từng người.

Phân tích:

• Tổng số tuổi của ba cha con: 85 tuổi.
• Quan hệ tỉ lệ:
  • Tuổi con gái = \frac{2}{3} Tuổi cha.
  • Tuổi con trai = \frac{3}{4} Tuổi con gái.

Đây là bài toán có 3 đối tượng và các tỉ lệ không cùng mẫu số hoặc tử số. Chúng ta cần tìm tỉ số chung giữa tuổi con trai, tuổi con gái và tuổi cha.

Cách 1: Quy đồng để đưa về cùng một “phần” chung.
Ta có:

• Tuổi con gái = \frac{2}{3} Tuổi cha implies \frac{\text{Tuổi con gái}}{\text{Tuổi cha}} = \frac{2}{3}
• Tuổi con trai = \frac{3}{4} Tuổi con gái implies \frac{\text{Tuổi con trai}}{\text{Tuổi con gái}} = \frac{3}{4}

Để dễ dàng so sánh, ta chọn đối tượng “tuổi con gái” làm mốc và quy đồng tỉ lệ:

• Quy đồng \frac{3}{4} và \frac{2}{3} để hai phân số này có cùng tử số hoặc mẫu số. Ta quy đồng về mẫu số chung là 12:
  • \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} (Tuổi con gái = \frac{8}{12} Tuổi cha)
  • \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} (Tuổi con trai = \frac{9}{12} Tuổi con gái)
  • Như vậy, ta có tỉ lệ: Tuổi con gái : Tuổi cha = 8 : 12, và Tuổi con trai : Tuổi con gái = 9 : 12.

Để tìm tỉ lệ chung, ta có thể biểu diễn mối quan hệ sau:
Nếu tuổi con gái là 8 phần thì tuổi cha là 12 phần.
Nếu tuổi con trai là 9 phần thì tuổi con gái là 12 phần.
=> Ta thấy ở đây mẫu số chung là 12, tuy nhiên đây là tỉ lệ theo chuẩn khác nhau. Cách tốt hơn là quy đồng tử số cho tuổi con gái.

Cách quy đồng chuẩn hơn:
Ta có:
Tuổi con gái = \frac{2}{3} Tuổi cha
Tuổi con trai = \frac{3}{4} Tuổi con gái

Quy đồng hai tỉ số để chúng có cùng tử số chung cho “tuổi con gái”:
Lấy tỉ số \frac{2}{3} và \frac{3}{4}. Bội chung nhỏ nhất của 2 và 3 là 6.

• Tuổi con gái = \frac{2}{3} Tuổi cha $implies$ Tuổi con gái = \frac{6}{9} Tuổi cha.
• Tuổi con trai = \frac{3}{4} Tuổi con gái $implies$ Tuổi con trai = \frac{3}{4} \times (\frac{6}{9} Tuổi cha) = \frac{18}{36} Tuổi cha = \frac{1}{2} Tuổi cha.

Như vậy, ta có tỉ lệ:

• Tuổi con gái : Tuổi cha = 2 : 3
• Tuổi con trai : Tuổi con gái = 3 : 4

Ta có thể coi:
Nếu tuổi cha là 3 phần, thì tuổi con gái là 2 phần.
Nếu tuổi con gái là 4 phần, thì tuổi con trai là 3 phần.
Để tuổi con gái có cùng số “phần” trong cả hai mối quan hệ, ta quy đồng bội chung nhỏ nhất của 2 và 4, là 4.

• Tuổi con gái = \frac{2}{3} Tuổi cha $implies$ nhân cả tử và mẫu với 2: Tuổi con gái = \frac{4}{6} Tuổi cha.
  • Tỉ lệ: Tuổi con gái : Tuổi cha = 4 : 6.
• Tuổi con trai = \frac{3}{4} Tuổi con gái. (Tỉ lệ này đã có tuổi con gái là 4 phần)
  • Tỉ lệ: Tuổi con trai : Tuổi con gái = 3 : 4.

Vậy, ta có thể quy về tỉ lệ:
Tuổi con trai : Tuổi con gái : Tuổi cha = 3 : 4 : 6

Giải:
Theo cách phân tích trên, ta có tỉ lệ tuổi của ba cha con là 3 : 4 : 6.
Ta coi tuổi con trai là 3 phần, tuổi con gái là 4 phần, tuổi cha là 6 phần.
Ta có sơ đồ:

Tuổi con trai: |---|---|---|         (3 phần)
Tuổi con gái:  |---|---|---|---|     (4 phần)
Tuổi cha:      |---|---|---|---|---|---| (6 phần)
Tổng: 85 tuổi

• Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 4 + 6 = 13 (phần)

• Giá trị mỗi phần là: 85 div 13 = \frac{85}{13} (tuổi) – Đây là một trường hợp số không đẹp, có thể đề bài gốc có sai sót hoặc mục đích là luyện tập với số không nguyên.
  (Giả sử đề gốc có thể sai số và muốn ra số đẹp. Nếu đề bài là tuổi con gái bằng \frac{3}{5} tuổi cha, tuổi con trai bằng \frac{3}{4} tuổi con gái, ta sẽ có tỉ lệ 9:12:20. Tổng là 31. 85/31 không đẹp.
  Nếu đề bài là tuổi con gái = 2/3 cha, tuổi con trai = 3/4 con gái, ta có tỉ lệ 3:4:6, tổng 13. 85/13 không đẹp.
  Nếu đổi lại tỉ lệ: tuổi con gái = 3/4 cha, tuổi con trai = 2/3 con gái. Tỉ lệ 9:6:4. Tổng 19. 85/19 không đẹp.
  Nếu tuổi con gái = 2/3 cha, tuổi con trai = 4/5 con gái. Tỉ lệ 8:10:15. Tổng 33. 85/33 không đẹp.

  Quay lại với đề bài gốc: Tuổi con gái = 2/3 Cha, Tuổi con trai = 3/4 Con gái.
  Tỉ lệ: Con trai : Con gái = 3 : 4
  Con gái : Cha = 2 : 3
  Để tỉ lệ chung, ta quy đồng số phần của “Con gái”. BCNN(4, 2) = 4.
  Con trai : Con gái = 3 : 4
  Con gái : Cha = (22) : (32) = 4 : 6
  Vậy tỉ lệ Con trai : Con gái : Cha = 3 : 4 : 6.
  Tổng số phần là 3 + 4 + 6 = 13 phần.
  Tổng số tuổi là 85.
  Giá trị 1 phần = 85 / 13.
  Đây là con số không nguyên, có thể là ý đồ hoặc sai số từ bài gốc. Nếu phải làm tròn thì sẽ không chính xác.
  Chúng ta sẽ giải theo đúng con số của đề bài.)

• Giá trị mỗi phần là: 85 div 13 = \frac{85}{13} (tuổi)

• Số tuổi con trai là: \frac{85}{13} \times 3 = \frac{255}{13} (tuổi)

• Số tuổi con gái là: \frac{85}{13} \times 4 = \frac{340}{13} (tuổi)

• Số tuổi cha là: \frac{85}{13} \times 6 = \frac{510}{13} (tuổi)

Đáp số:

• Tuổi con trai: \frac{255}{13} tuổi
• Tuổi con gái: \frac{340}{13} tuổi
• Tuổi cha: \frac{510}{13} tuổi

Mẹo kiểm tra:

• Tổng số tuổi: \frac{255}{13} + \frac{340}{13} + \frac{510}{13} = \frac{255 + 340 + 510}{13} = \frac{1105}{13} = 85 (Đúng).
• Tỉ lệ:
  • Tuổi con gái / Tuổi cha = (\frac{340}{13}) / (\frac{510}{13}) = \frac{340}{510} = \frac{34}{51} = \frac{2 \times 17}{3 \times 17} = \frac{2}{3} (Đúng).
  • Tuổi con trai / Tuổi con gái = (\frac{255}{13}) / (\frac{340}{13}) = \frac{255}{340} = \frac{3 \times 85}{4 \times 85} = \frac{3}{4} (Đúng).

(Lưu ý: Với các bài toán có kết quả không nguyên, học sinh cần được hướng dẫn cách trình bày dưới dạng phân số hoặc làm tròn nếu đề bài yêu cầu và cho phép.)

Dạng thứ ba: Bài toán ẩn tổng hoặc ẩn cả tổng và tỉ

Bài toán 3: Cô giáo phát thưởng 135 quyển vở cho một số học sinh giỏi lớp Một và lớp Hai. Mỗi em lớp Một được 2 quyển, mỗi em lớp Hai được 1 quyển. Số học sinh giỏi lớp Một gấp đôi số học sinh giỏi lớp Hai. Hỏi có bao nhiêu em học sinh giỏi lớp Một được nhận vở?

Phân tích:

• Tổng số vở là 135 quyển.
• Mỗi em lớp Một được 2 quyển.
• Mỗi em lớp Hai được 1 quyển.
• Số học sinh lớp Một = 2 $times$ Số học sinh lớp Hai (tỉ lệ học sinh là 2:1).

Bài toán này không phải là dạng “tổng tỉ” trực tiếp giữa số học sinh, mà là tổng số vở, liên quan đến số học sinh và số vở mỗi em nhận. Chúng ta cần tìm tỉ lệ về “tổng số vở của mỗi lớp” dựa trên tỉ lệ số học sinh.

Giải:
Gọi số học sinh giỏi lớp Hai là 1 phần, thì số học sinh giỏi lớp Một là 2 phần.

• Số vở lớp Hai nhận được là: 1 phần $times$ 1 quyển/học sinh = 1 phần (vở).
• Số vở lớp Một nhận được là: 2 phần $times$ 2 quyển/học sinh = 4 phần (vở).

Vậy, tỉ lệ số vở mà lớp Một nhận được so với lớp Hai là 4:1.
Ta có bài toán quy về tổng – tỉ như sau:
Tổng số vở hai lớp nhận là 135 quyển. Tỉ số số vở lớp Một nhận được so với lớp Hai là 4:1. Tìm số vở mỗi lớp nhận.

Ta có sơ đồ:

Số vở lớp Hai: |---|        (1 phần)
Số vở lớp Một: |---|---|---|---| (4 phần)
Tổng:         135 quyển

• Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 4 = 5 (phần)
• Số vở lớp Một nhận được là: 135 div 5 \times 4 = 108 (quyển)
• Số vở lớp Hai nhận được là: 135 - 108 = 27 (quyển)

Đề bài hỏi “Hỏi có bao nhiêu em học sinh giỏi lớp Một được nhận vở?”.

• Số học sinh giỏi lớp Một là: 108 quyển $div$ 2 quyển/học sinh = 54 (em).

Đáp số: 54 em học sinh giỏi lớp Một.

Mẹo kiểm tra:

• Số học sinh lớp Hai: 27 quyển $div$ 1 quyển/học sinh = 27 (em).
• Kiểm tra tỉ lệ số học sinh: Số học sinh lớp Một (54) gấp đôi số học sinh lớp Hai (27) implies 54 = 2 \times 27 (Đúng).
• Kiểm tra tổng số vở: Số vở lớp Một (108) + Số vở lớp Hai (27) = 135 quyển (Đúng).

Bài toán 4: Trước đây, vào lúc anh bằng tuổi em hiện nay thì anh gấp đôi tuổi em. Hiện nay, tổng số tuổi của 2 anh em là 60 tuổi. Tính tuổi mỗi người hiện nay.

Phân tích:
Đây là dạng toán “Tổng – Hiệu – Tỉ” kết hợp, liên quan đến tuổi tác. Điểm mấu chốt là “hiệu số tuổi của hai anh em không thay đổi theo thời gian”.

Giải:
Gọi tuổi em hiện nay là $E$, tuổi anh hiện nay là $A$.
Ta có A + E = 60.
Gọi tuổi em lúc trước là $E’$, tuổi anh lúc trước là $A’$.
Theo đề bài: “lúc anh bằng tuổi em hiện nay” implies A' = E.
Và “thì anh gấp đôi tuổi em” implies A' = 2 \times E'.

Ta biết hiệu số tuổi không đổi: A - E = A' - E'.
Thay A' = E vào phương trình hiệu số: A - E = E - E'.
Suy ra A = 2E - E'. Điều này chưa giúp ích nhiều.

Chúng ta quay lại mối quan hệ khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay.
Lúc đó, tuổi anh là $E$.
Tuổi em lúc đó là E' = E - (A-E) = 2E - A. (Vì hiệu số tuổi là A-E, nên tuổi em lúc đó sẽ là tuổi anh hiện tại trừ đi hiệu số tuổi).
Theo đề bài, lúc đó anh gấp đôi tuổi em: A' = 2 \times E'.
Thay A' = E và E' = 2E - A:
E = 2 \times (2E - A)
E = 4E - 2A
2A = 3E
\frac{A}{E} = \frac{3}{2}.

Vậy, tỉ số tuổi hiện nay của anh và em là \frac{3}{2}.
Ta có bài toán tổng – tỉ:
Tổng số tuổi hiện nay là 60. Tỉ số tuổi anh và em là 3:2.

Ta có sơ đồ:

Tuổi em: |---|---|      (2 phần)
Tuổi anh: |---|---|---| (3 phần)
Tổng:    60 tuổi

• Tổng số phần bằng nhau là: 2 + 3 = 5 (phần)
• Giá trị mỗi phần là: 60 div 5 = 12 (tuổi)
• Tuổi em hiện nay là: 12 \times 2 = 24 (tuổi)
• Tuổi anh hiện nay là: 12 \times 3 = 36 (tuổi)

Đáp số: Anh: 36 tuổi; Em: 24 tuổi.

Mẹo kiểm tra:

• Tổng số tuổi: 36 + 24 = 60 (Đúng).
• Kiểm tra điều kiện ban đầu:
  • Hiện nay anh 36, em 24. Hiệu số tuổi là 36 - 24 = 12.
  • Lúc tuổi anh bằng tuổi em hiện nay (24 tuổi), thì em lúc đó bao nhiêu tuổi? Em lúc đó là 24 - 12 = 12 tuổi.
  • Lúc đó anh 24 tuổi, em 12 tuổi. Anh gấp đôi tuổi em (24 = 2 \times 12). (Đúng).

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi nắm vững phương pháp phân tích, quy đổi và giải toán, học sinh có thể tự tin giải quyết các dạng toán mở rộng từ bài toán cơ bản “Tìm hai số biết tổng và tỉ số”. Các bài toán này giúp các em phát triển tư duy logic, khả năng suy luận và áp dụng kiến thức vào các tình huống thực tế đa dạng hơn, từ đó nâng cao hiệu quả học tập môn Toán. Các kết quả cuối cùng cho từng bài toán đã được trình bày chi tiết trong phần hướng dẫn giải.

Kết Luận

Việc giúp học sinh lớp 4 làm quen và chinh phục các bài toán mở rộng từ dạng “tổng tỉ” là một quá trình đòi hỏi sự kiên trì, phương pháp dạy học linh hoạt từ giáo viên và sự nỗ lực từ học sinh. Bằng cách bám sát các bước phân tích, nhận dạng và quy đổi, kết hợp với việc củng cố vững chắc kiến thức nền tảng, các em sẽ dần hình thành kỹ năng giải toán tự tin và hiệu quả. Tài liệu này hy vọng sẽ là công cụ hữu ích, hỗ trợ quý thầy cô và các em học sinh trong hành trình khám phá vẻ đẹp và sự thú vị của thế giới Toán học, đặc biệt với các bài toán tổng tỉ trong chương trình lớp 4.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.