Giải Toán Lớp 8 Tập 1 Trang 34, 35, 36 Sách KNTT: Lập Phương Của Một Tổng Và Một Hiệu

Hiểu rõ cách khai triển giải toán lớp 8 tập 1 trang 36 liên quan đến lập phương của một tổng hoặc một hiệu là chìa khóa để chinh phục các bài tập hằng đẳng thức nâng cao. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập từ sách giáo khoa Toán lớp 8, tập 1, bộ sách Kết nối Tri thức với cuộc sống, trang 34, 35, 36, tập trung vào việc áp dụng hiệu quả hằng đẳng thức lập phương của một tổng và lập phương của một hiệu.

Đề Bài

Hoạt động 1 trang 34 sgk Toán 8 KNTT tập 1

Cho biểu thức: (a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2)
= a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)
= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3
= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Từ đó, rút ra quy tắc phát biểu thành lời lập phương của một tổng.

Luyện tập 1 trang 35 sgk Toán 8 KNTT tập 1

Sử dụng quy tắc phát biểu thành lời ở Hoạt động 1, hãy tính:
a) (x+2)^3
b) (2x+y)^3

Luyện tập 2 trang 35 sgk Toán 8 KNTT tập 1

Tính:
a) (10+2)^3
b) (1.1+0.9)^3

Hoạt động 2 trang 35 sgk Toán 8 KNTT tập 1

Cho biểu thức: (a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2 = (a-b)(a^2 - 2ab + b^2)
= a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2)
= a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3
= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
Từ đó, rút ra quy tắc phát biểu thành lời lập phương của một hiệu.

Luyện tập 3 trang 35 sgk Toán 8 KNTT tập 1

Sử dụng quy tắc phát biểu thành lời ở Hoạt động 2, hãy tính:
a) (x-3)^3
b) (3x-y)^3

Luyện tập 4 trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1

Tính:
a) (10-2)^3
b) (2.1-1.1)^3

Vận dụng trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1

Tính giá trị biểu thức (2001)^3, (1999)^3 bằng cách dùng hằng đẳng thức.

Bài tập 2.7 trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1

Tìm $x$, biết:
a) 3(x-1)^2 - (2x+3)(2x-3) = (x-3)^2 + 8
b) x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = 0

Bài tập 2.8 trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1

Tính giá trị của biểu thức (x-y)^3 với x=7, y=-1.

Bài tập 2.9 trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1

Tính giá trị của biểu thức (2a+1)^3 với a=1.

Bài tập 2.10 trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1

Tính giá trị của biểu thức (a-b)^3 biết a=10, b=9.

Bài tập 2.11 trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1

Rút gọn biểu thức:
a) (x+y)^3 - (x-y)^3
b) (x+y)^3 + (x-y)^3

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài toán trong phần này chủ yếu xoay quanh việc áp dụng hai hằng đẳng thức quan trọng: lập phương của một tổng và lập phương của một hiệu. Yêu cầu chung là biến đổi, khai triển các biểu thức chứa lũy thừa bậc ba, tính toán giá trị biểu thức hoặc giải phương trình chứa các biểu thức này. Để làm được bài, học sinh cần nắm vững công thức và biết cách nhận diện tình huống áp dụng. Một số bài tập yêu cầu vận dụng linh hoạt để tính toán nhanh các giá trị lớn hoặc rút gọn biểu thức phức tạp.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập trong chủ đề “Lập phương của một tổng hay một hiệu”, chúng ta cần nắm vững hai hằng đẳng thức sau:

1. Lập phương của một tổng:
   Với hai biểu thức $A$ và $B$, ta có:
   (A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3
   Quy tắc phát biểu thành lời: Lập phương của một tổng bằng lập phương của số thứ nhất, cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất với bình phương số thứ hai, cộng với lập phương của số thứ hai.

2. Lập phương của một hiệu:
   Với hai biểu thức $A$ và $B$, ta có:
   (A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3
   Quy tắc phát biểu thành lời: Lập phương của một hiệu bằng lập phương của số thứ nhất, trừ đi ba lần tích của bình phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất với bình phương số thứ hai, trừ đi lập phương của số thứ hai.

Ngoài ra, kiến thức về biến đổi đại số cơ bản, quy tắc dấu, quy tắc nhân đa thức với đa thức, và giải phương trình bậc nhất, bậc hai cũng sẽ được áp dụng.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Hoạt động 1 trang 34 sgk Toán 8 KNTT tập 1: Lập phương của một tổng

• Phân tích: Đề bài cung cấp sẵn quá trình biến đổi đại số để khai triển (a+b)^3 và yêu cầu rút ra quy tắc bằng lời.
• Lời giải:
  Dựa vào kết quả biến đổi:
  (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
  Ta phát biểu quy tắc: “Lập phương của một tổng bằng lập phương của số thứ nhất, cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất với bình phương số thứ hai, cộng với lập phương của số thứ hai.”

Luyện tập 1 trang 35 sgk Toán 8 KNTT tập 1: Áp dụng lập phương của một tổng

• Phân tích: Yêu cầu áp dụng công thức (A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 để tính toán.

• Lời giải:
  a) (x+2)^3
  Áp dụng công thức với A=x và B=2:
  (x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3
  = x^3 + 6x^2 + 3 \cdot x \cdot 4 + 8
  = x^3 + 6x^2 + 12x + 8

  b) (2x+y)^3
  Áp dụng công thức với A=2x và B=y:
  (2x+y)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot (2x) \cdot y^2 + y^3
  = 8x^3 + 3 \cdot (4x^2) \cdot y + 6x \cdot y^2 + y^3
  = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3

Luyện tập 2 trang 35 sgk Toán 8 KNTT tập 1: Tính giá trị

• Phân tích: Yêu cầu tính giá trị các biểu thức bằng cách áp dụng công thức lập phương của một tổng, chọn cách gộp số thuận tiện.

• Lời giải:
  a) (10+2)^3
  Ta có thể coi 10+2=12, và tính 12^3. Tuy nhiên, để tận dụng hằng đẳng thức, ta có thể viết:
  (10+2)^3 = 10^3 + 3 \cdot 10^2 \cdot 2 + 3 \cdot 10 \cdot 2^2 + 2^3
  = 1000 + 3 \cdot 100 \cdot 2 + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 8
  = 1000 + 600 + 120 + 8
  = 1728
  (Hoặc đơn giản là 12^3 = 1728).

  b) (1.1+0.9)^3
  Ta thấy 1.1+0.9=2. Vậy:
  (1.1+0.9)^3 = 2^3 = 8

Hoạt động 2 trang 35 sgk Toán 8 KNTT tập 1: Lập phương của một hiệu

• Phân tích: Tương tự Hoạt động 1, đề bài cung cấp quá trình biến đổi đại số để khai triển (a-b)^3 và yêu cầu rút ra quy tắc bằng lời.
• Lời giải:
  Dựa vào kết quả biến đổi:
  (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
  Ta phát biểu quy tắc: “Lập phương của một hiệu bằng lập phương của số thứ nhất, trừ đi ba lần tích của bình phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất với bình phương số thứ hai, trừ đi lập phương của số thứ hai.”

Luyện tập 3 trang 35 sgk Toán 8 KNTT tập 1: Áp dụng lập phương của một hiệu

• Phân tích: Yêu cầu áp dụng công thức (A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3 để tính toán.

• Lời giải:
  a) (x-3)^3
  Áp dụng công thức với A=x và B=3:
  (x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3
  = x^3 - 9x^2 + 3 \cdot x \cdot 9 - 27
  = x^3 - 9x^2 + 27x - 27

  b) (3x-y)^3
  Áp dụng công thức với A=3x và B=y:
  (3x-y)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot y + 3 \cdot (3x) \cdot y^2 - y^3
  = 27x^3 - 3 \cdot (9x^2) \cdot y + 9x \cdot y^2 - y^3
  = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3

Luyện tập 4 trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1: Tính giá trị

• Phân tích: Yêu cầu tính giá trị các biểu thức bằng cách áp dụng công thức lập phương của một hiệu, chọn cách gộp số thuận tiện.

• Lời giải:
  a) (10-2)^3
  Ta thấy 10-2=8. Vậy:
  (10-2)^3 = 8^3 = 512
  Hoặc áp dụng công thức:
  (10-2)^3 = 10^3 - 3 \cdot 10^2 \cdot 2 + 3 \cdot 10 \cdot 2^2 - 2^3
  = 1000 - 3 \cdot 100 \cdot 2 + 3 \cdot 10 \cdot 4 - 8
  = 1000 - 600 + 120 - 8
  = 400 + 120 - 8 = 520 - 8 = 512

  b) (2.1-1.1)^3
  Ta thấy 2.1-1.1=1. Vậy:
  (2.1-1.1)^3 = 1^3 = 1

Vận dụng trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1: Tính giá trị biểu thức lớn

• Phân tích: Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để tính nhanh giá trị của các số lớn.

• Lời giải:
  a) Tính (2001)^3:
  Ta viết 2001 = 2000 + 1. Áp dụng công thức lập phương của một tổng:
  (2001)^3 = (2000+1)^3
  = (2000)^3 + 3 \cdot (2000)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2000 \cdot 1^2 + 1^3
  = 8 \cdot 10^9 + 3 \cdot (4 \cdot 10^6) \cdot 1 + 3 \cdot 2000 \cdot 1 + 1
  = 8000000000 + 12000000 + 6000 + 1
  = 8012006001

  b) Tính (1999)^3:
  Ta viết 1999 = 2000 - 1. Áp dụng công thức lập phương của một hiệu:
  (1999)^3 = (2000-1)^3
  = (2000)^3 - 3 \cdot (2000)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2000 \cdot 1^2 - 1^3
  = 8 \cdot 10^9 - 3 \cdot (4 \cdot 10^6) \cdot 1 + 3 \cdot 2000 \cdot 1 - 1
  = 8000000000 - 12000000 + 6000 - 1
  = 7988000000 + 6000 - 1
  = 7988006000 - 1
  = 7988005999

Bài tập 2.7 trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1: Tìm x

• Phân tích: Bài tập yêu cầu giải hai phương trình. Câu a) cần biến đổi, rút gọn và sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 và lập phương của một hiệu. Câu b) yêu cầu nhận diện và áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.

• Lời giải:
  a) 3(x-1)^2 - (2x+3)(2x-3) = (x-3)^2 + 8
  Khai triển các biểu thức:
  3(x^2 - 2x + 1) - ((2x)^2 - 3^2) = (x^2 - 6x + 9) + 8
  3x^2 - 6x + 3 - (4x^2 - 9) = x^2 - 6x + 17
  3x^2 - 6x + 3 - 4x^2 + 9 = x^2 - 6x + 17
  -x^2 - 6x + 12 = x^2 - 6x + 17
  Chuyển vế:
  -x^2 - x^2 - 6x + 6x + 12 - 17 = 0
  -2x^2 - 5 = 0
  2x^2 = -5
  x^2 = -\frac{5}{2}
  Phương trình vô nghiệm vì x^2 luôn không âm.

  b) x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = 0
  Nhận dạng đây là dạng khai triển của (a-b)^3. Cụ thể:
  x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = 0
  implies (x-3)^3 = 0
  implies x-3 = 0
  implies x = 3
  Mẹo kiểm tra: Thay x=3 vào phương trình ban đầu: 3^3 - 9(3^2) + 27(3) - 27 = 27 - 9(9) + 81 - 27 = 27 - 81 + 81 - 27 = 0. Kết quả đúng.

Bài tập 2.8 trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1: Tính giá trị biểu thức với số âm

• Phân tích: Yêu cầu tính giá trị của (x-y)^3 khi x=7 và y=-1. Cần cẩn thận với dấu của $y$.
• Lời giải:
  Thay x=7 và y=-1 vào biểu thức (x-y)^3:
  (x-y)^3 = (7 - (-1))^3
  = (7+1)^3
  = 8^3
  = 512

Bài tập 2.9 trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1: Tính giá trị biểu thức đơn giản

• Phân tích: Yêu cầu tính giá trị của (2a+1)^3 khi a=1.
• Lời giải:
  Thay a=1 vào biểu thức (2a+1)^3:
  (2a+1)^3 = (2 \cdot 1 + 1)^3
  = (2+1)^3
  = 3^3
  = 27

Bài tập 2.10 trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1: Tính giá trị với số tròn chục

• Phân tích: Yêu cầu tính giá trị của (a-b)^3 khi a=10, b=9. Đây là trường hợp tương tự Luyện tập 4a, có thể tính nhanh.
• Lời giải:
  Thay a=10 và b=9 vào biểu thức (a-b)^3:
  (a-b)^3 = (10-9)^3
  = 1^3
  = 1

Bài tập 2.11 trang 36 sgk Toán 8 KNTT tập 1: Rút gọn biểu thức

• Phân tích: Yêu cầu rút gọn hai biểu thức bằng cách áp dụng linh hoạt cả hai hằng đẳng thức lập phương của tổng và hiệu.

• Lời giải:
  a) (x+y)^3 - (x-y)^3
  Khai triển từng phần:
  (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
  (x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3
  Thực hiện phép trừ:
  (x+y)^3 - (x-y)^3 = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3)
  = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3
  Gom các hạng tử đồng dạng:
  = (x^3 - x^3) + (3x^2y + 3x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2) + (y^3 + y^3)
  = 0 + 6x^2y + 0 + 2y^3
  = 6x^2y + 2y^3

  b) (x+y)^3 + (x-y)^3
  Khai triển tương tự:
  (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
  (x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3
  Thực hiện phép cộng:
  (x+y)^3 + (x-y)^3 = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) + (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3)
  = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3
  Gom các hạng tử đồng dạng:
  = (x^3 + x^3) + (3x^2y - 3x^2y) + (3xy^2 + 3xy^2) + (y^3 - y^3)
  = 2x^3 + 0 + 6xy^2 + 0
  = 2x^3 + 6xy^2

Mẹo kiểm tra:
Đối với các bài rút gọn, ta có thể thử với các giá trị cụ thể của $x$ và $y$ để kiểm tra. Ví dụ với câu a), chọn x=2, y=1.
VT: (2+1)^3 - (2-1)^3 = 3^3 - 1^3 = 27 - 1 = 26.
VP: 6x^2y + 2y^3 = 6(2^2)(1) + 2(1^3) = 6(4) + 2 = 24 + 2 = 26. Hai vế bằng nhau, kết quả có khả năng đúng.

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi thực hiện các phép biến đổi và tính toán, chúng ta có các kết quả sau:

• Luyện tập 1:
  a) (x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8
  b) (2x+y)^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3
• Luyện tập 2:
  a) (10+2)^3 = 1728
  b) (1.1+0.9)^3 = 8
• Luyện tập 3:
  a) (x-3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27
  b) (3x-y)^3 = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3
• Luyện tập 4:
  a) (10-2)^3 = 512
  b) (2.1-1.1)^3 = 1
• Vận dụng:
  a) (2001)^3 = 8012006001
  b) (1999)^3 = 7988005999
• Bài tập 2.7:
  a) Phương trình vô nghiệm.
  b) x=3
• Bài tập 2.8: (7 - (-1))^3 = 512
• Bài tập 2.9: (2 \cdot 1 + 1)^3 = 27
• Bài tập 2.10: (10-9)^3 = 1
• Bài tập 2.11:
  a) (x+y)^3 - (x-y)^3 = 6x^2y + 2y^3
  b) (x+y)^3 + (x-y)^3 = 2x^3 + 6xy^2

Việc nắm vững hai hằng đẳng thức lập phương của một tổng và một hiệu, cùng với kỹ năng biến đổi đại số, sẽ giúp các em dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến chủ đề này trong chương trình giải toán lớp 8 tập 1 trang 36. Hãy luyện tập thường xuyên để ghi nhớ công thức và áp dụng chúng một cách thành thạo vào các dạng bài tập đa dạng.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.