Giải Toán 9 trang 23 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Chào mừng bạn đến với chuyên mục Giải Toán 9 trang 23 Tập 2 Chân trời sáng tạo. Tại đây, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết và bài tập tự luyện cho các bài toán trong sách giáo khoa, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục môn Toán.

Đề Bài

Bài 12 trang 23 Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau và kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay.
a) 14x^2 – 13x – 27 = 0; b)5,4x^2 + 8x + 2,6 = 0;
c) 23x^2+2x−83=0; d)3x^2−3+5x+5=0.

Bài 13 trang 23 Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = –2; uv = –35; b)u + v = 8; uv = –105.

Bài 14 trang 23 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình 2x^2 – 7x + 6 = 0. Gọix_1, x_2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức `A=x_1+2x_2 \cdot x_2+2x_1−x_1^2x_2^2.

Bài 15 trang 23 Toán 9 Tập 2: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi đi từ B trở về A, nhờ xuôi gió nên tốc độ lúc về nhanh hơn tốc độ lúc đi là 4 km/h, vì thế thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính tốc độ của xe đạp khi đi từ A đến B.

Bài 16 trang 23 Toán 9 Tập 2: Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 tấn than trong một thời gian nhất định. Ba ngày đầu, mỗi ngày khai thác theo đúng định mức. Sau đó, mỗi ngày họ đều khai thác vượt mức 8 tấn. Do đó họ đã khai thác được 232 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?

Bài 17 trang 23 Toán 9 Tập 2: Một miếng kim loại thứ nhất nặng 585 g, miếng kim loại thứ hai nặng 420 g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm³, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 9 g/cm³. Biết công thức tính khối lượng riêng của một vật là D=mV, trong đó: D (g/cm³) là khối lượng riêng,m (g) là khối lượng của vật, `V (cm³) là thể tích của vật. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.

Bài 18 trang 23 Toán 9 Tập 2: Hai dung dịch muối có tổng khối lượng bằng 220 kg. Lượng muối trong dung dịch I là 5 kg, lượng muối trong dung dịch II là 4,8 kg. Biết nồng độ muối trong dung dịch I nhiều hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 1%. Tính khối lượng mỗi dung dịch nói trên.

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trong trang 23, Tập 2, sách Toán 9 Chân trời sáng tạo chủ yếu xoay quanh việc áp dụng định lý Viète và giải các phương trình bậc hai trong nhiều ngữ cảnh khác nhau. Yêu cầu chung là tính toán nghiệm, tìm các đại lượng chưa biết dựa trên mối quan hệ giữa nghiệm hoặc dựa trên các bài toán thực tế được mô hình hóa bằng phương trình bậc hai.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Phương trình bậc hai và Định lý Viète:

   • Phương trình bậc hai có dạng ax^2 + bx + c = 0 (a \ne 0).
   • Delta: \Delta = b^2 - 4ac hoặc \Delta' = (b')^2 - ac (với b = 2b').
   • Điều kiện có nghiệm: Nếu \Delta > 0 (hoặc\Delta' > 0), phương trình có hai nghiệm phân biệt. Nếu\Delta = 0 (hoặc \Delta' = 0), phương trình có nghiệm kép. Nếu \Delta < 0[/katex] (hoặc</code>[katex]\Delta' < 0[/katex]`), phương trình vô nghiệm.</li> <li>Nghiệm của phương trình: <code>[katex]x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} (hoặc x_{1,2} = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}).
   • Định lý Viète: Nếu x_1, x_2 là hai nghiệm của phương trìnhax^2 + bx + c = 0 (a \ne 0), thì:
     x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}
x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}
   • Trường hợp đặc biệt:
     • Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệmx_1 = -1vàx_2 = \dfrac{c}{a}`.
     • Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệmx_1 = 1vàx_2 = \dfrac{c}{a}`.

2. Bài toán tìm hai số khi biết tổng và tích:

   • Nếu hai số u, v có tổng S và tích P (u + v = S, uv = P), thìu, vlà nghiệm của phương trình bậc haix^2 - Sx + P = 0`.
   • Điều kiện để tồn tại hai số thực u, v là biệt thức \Delta = S^2 - 4P phải không âm (\Delta \ge 0`).

3. Các bài toán thực tế quy về phương trình bậc hai:

   • Bài toán vận tốc - thời gian - quãng đường: Quãng đường = Vận tốc \times Thời gian. Khi có sự thay đổi về vận tốc, thời gian hoặc quãng đường, ta lập phương trình dựa trên mối quan hệ này. Lưu ý đổi đơn vị thời gian (phút sang giờ).
   • Bài toán năng suất - thời gian - khối lượng công việc: Khối lượng công việc = Năng suất \times Thời gian. Tương tự bài toán vận tốc.
   • Bài toán khối lượng riêng - khối lượng - thể tích: D = m/V.
   • Bài toán nồng độ dung dịch: Nồng độ phần trăm C% = \dfrac{m_{chất \tan}}{m_{dung dịch}} \times 100%.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 12: Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

Đây là bài tập rèn luyện kỹ năng nhận diện nhanh nghiệm của phương trình bậc hai khi các hệ số có mối quan hệ đặc biệt.

a) 14x^2 – 13x – 27 = 0</code></strong></p> <ul> <li><strong>Phân tích:</strong> Ta kiểm tra tổng các hệ số: <code>[]a - b + c = 14 - (-13) - 27 = 14 + 13 - 27 = 27 - 27 = 0.

b) 5,4x^2 + 8x + 2,6 = 0</code></strong></p> <ul> <li><strong>Phân tích:</strong> Kiểm tra tổng các hệ số: <code>[]a - b + c = 5,4 - 8 + 2,6 = 8 - 8 = 0.

c) 23x^2+2x−83=0</code></strong></p> <ul> <li><strong>Phân tích:</strong> Kiểm tra tổng các hệ số: <code>[]a + b + c = 23 + 2 + (-83) = 25 - 83 = -58 \ne 0.
Kiểm tra a - b + c = 23 - 2 - 83 = 21 - 83 = -62 \ne 0.
À, đề bài gốc có thể bị nhầm lẫn trong phần lời giải. Để a+b+c=0</code> hoặc <code>[]a-b+c=0</code> thì nghiệm phải là <code>1</code> hoặc <code>-1</code>. Tuy nhiên, theo lời giải gốc thì <code>[]a+b+c = 23+2-83=0</code> là sai. Nếu đề bài là <code>[]23x^2 + (83-23)x - 83 = 0 tức là 23x^2 + 60x - 83 = 0 thì a+b+c = 23+60-83 = 0, nghiệm sẽ là 1 và -83/23.
Nếu đề bài là 23x^2 + (23-2)x - 2 = 0 tức là 23x^2 + 21x - 2 = 0 thì a-b+c = 23-21-2 = 0, nghiệm sẽ là -1 và -2/23.
Trong trường hợp 23x^2+2x−83=0, ta cần tính Delta.
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(23)(-83) = 4 + 7628 = 7632.
\sqrt{\Delta} = \sqrt{7632} \approx 87.36.
Nghiệm sẽ là x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{7632}}{2 \times 23}.
Lời giải gốc: a+b+c=23+2−83=0 là sai. Lời giải cho rằng x1=1 và x2=c/a = -83:23 = -4 là sai với phương trình đã cho.
Do yêu cầu giữ nguyên đề bài gốc, chúng ta sẽ sửa lại lời giải theo cách tính Delta thông thường thay vì áp dụng mẹo a+b+c=0.
Phân tích lại: Phương trình 23x^2+2x−83=0.
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(23)(-83) = 4 + 7628 = 7632.
Nghiệm của phương trình là:
x_1 = \dfrac{-2 + \sqrt{7632}}{2 \times 23} = \dfrac{-2 + \sqrt{7632}}{46}
x_2 = \dfrac{-2 - \sqrt{7632}}{2 \times 23} = \dfrac{-2 - \sqrt{7632}}{46}
Để nhẩm nghiệm một cách dễ dàng, có lẽ đề bài gốc có ý muốn nói đến a+b+c=0 hoặc a-b+c=0. Nếu chúng ta giả định rằng đề bài thực sự muốn có nghiệm đẹp, và theo lời giải gốc là x1=1 và x2=-4, thì phương trình đó phải là a(x-1)(x+4) = 0 hay a(x^2+3x-4)=0. Nếu a=23, thì 23x^2 + 69x - 92 = 0. Điều này khác xa phương trình đã cho.
Tuy nhiên, vì quy tắc LOCK đề bài, ta phải giữ nguyên đề bài 23x^2+2x−83=0. Lời giải gốc về a+b+c=0 là không đúng với phương trình này. Ta sẽ sửa lại phần lời giải để tính Delta.
Lời giải (Sửa lại cho chính xác):
Phương trình 23x^2+2x−83=0 có a=23, b=2, c=-83.
Tính biệt thức Delta: \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(23)(-83) = 4 + 7628 = 7632.
Vì \Delta > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x_1 = \dfrac{-2 + \sqrt{7632}}{46}
x_2 = \dfrac{-2 - \sqrt{7632}}{46}
(Việc nhẩm nghiệm trong trường hợp này rất khó, có lẽ đề bài có sai sót hoặc yêu cầu kiểm tra bằng máy tính là chủ yếu).

d) 3x^2−3+5x+5=0</code></strong></p> <ul> <li><strong>Phân tích:</strong> Đầu tiên, ta cần sắp xếp lại phương trình về dạng chuẩn: <code>[]3x^2 + 5x + 2 = 0.
Kiểm tra tổng các hệ số: a + b + c = 3 + 5 + 2 = 10 \ne 0.
Kiểm tra a - b + c = 3 - 5 + 2 = 0.

Mẹo kiểm tra: Luôn kiểm tra điều kiện a - b + c = 0 hoặc a + b + c = 0 trước tiên khi bài toán yêu cầu tính nhẩm nghiệm. Nếu không đúng, hãy tính Delta để tìm nghiệm.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong việc cộng trừ hệ số khi kiểm tra điều kiện đặc biệt, hoặc nhầm lẫn thứ tự các hệ số a, b, c sau khi sắp xếp lại phương trình.

Bài 13: Tìm hai số khi biết tổng và tích

Bài toán này kiểm tra khả năng vận dụng định lý Viète hoặc kiến thức về phương trình bậc hai để tìm hai số thỏa mãn điều kiện cho trước.

a) u + v = –2; uv = –35</code></strong></p> <ul> <li><strong>Phân tích yêu cầu:</strong> Chúng ta cần tìm hai số <code>[]u, v sao cho tổng của chúng là -2 và tích của chúng là -35. Hai số này chính là nghiệm của một phương trình bậc hai có dạng x^2 - (tổng)x + (tích) = 0.

b) u + v = 8; uv = –105</code></strong></p> <ul> <li><strong>Phân tích yêu cầu:</strong> Tương tự, ta tìm hai số có tổng là 8 và tích là -105.</li> <li><strong>Thiết lập phương trình:</strong> Phương trình cần tìm nghiệm là: <code>[]x^2 - Sx + P = 0
x^2 - 8x + (-105) = 0
x^2 - 8x - 105 = 0

Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được nghiệm, hãy thay ngược lại vào điều kiện tổng và tích ban đầu để đảm bảo tính chính xác.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn dấu khi áp dụng công thức x^2 - Sx + P = 0, sai sót trong tính toán Delta hoặc khi khai căn Delta.

Bài 14: Tính giá trị biểu thức đối xứng qua nghiệm

Bài toán này yêu cầu sử dụng Định lý Viète để tính toán giá trị của một biểu thức phức tạp liên quan đến các nghiệm của phương trình bậc hai, mà không cần tìm trực tiếp nghiệm.

• Phân tích yêu cầu: Chúng ta có phương trình 2x^2 – 7x + 6 = 0 với hai nghiệm x_1, x_2. Cần tính giá trị biểu thức A=x_1+2x_2 \cdot x_2+2x_1−x_1^2x_2^2.

• Sử dụng Định lý Viète:
  Với phương trình 2x^2 – 7x + 6 = 0:
  a = 2, b = -7, c = 6.
  Tính Delta: \Delta = (-7)^2 - 4(2)(6) = 49 - 48 = 1.
  Vì \Delta > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
  Theo Định lý Viète:
  Tổng hai nghiệm: x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-7}{2} = \dfrac{7}{2}.
  Tích hai nghiệm: x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{2} = 3.

• Biến đổi biểu thức A:
  Biểu thức A có vẻ phức tạp, cần biến đổi để đưa về dạng chỉ chứa x_1 + x_2 và x_1 \cdot x_2.
  A = \dfrac{x_1+2x_2}{x_2+2x_1} - \dfrac{x_1^2x_2^2}{1} (Giả định đề bài gốc có thể có lỗi đánh máy ở phần −x_1^2x_2^2, thông thường sẽ là - (x_1 x_2)^2 hoặc một biểu thức khác).
  Nếu đề bài là A = \dfrac{x_1+2x_2}{x_2+2x_1} - (x_1 x_2)^2:
  Ta biết x_1 \cdot x_2 = 3, vậy (x_1 x_2)^2 = 3^2 = 9.
  Bây giờ cần tính \dfrac{x_1+2x_2}{x_2+2x_1}.
  Ta có thể biến đổi tử số và mẫu số.
  Tử số: x_1 + 2x_2 = x_1 + x_2 + x_2 = \dfrac{7}{2} + x_2.
  Mẫu số: x_2 + 2x_1 = x_1 + x_2 + x_1 = \dfrac{7}{2} + x_1.
  Vậy A = \dfrac{7/2 + x_2}{7/2 + x_1} - 9.
  Tuy nhiên, cách này vẫn còn chứa x_1 và x_2. Cần một cách biến đổi khác.

  Hãy xem lại biểu thức gốc: A=x_1+2x_2x_2+2x_1−x_1^2x_2^2.
  Nếu đây là phép nhân, nó sẽ là A=(x_1+2x_2)(x_2+2x_1) - (x_1x_2)^2.
  Ta tính (x_1+2x_2)(x_2+2x_1) = x_1x_2 + 2x_1^2 + 2x_2^2 + 4x_1x_2 = 5x_1x_2 + 2(x_1^2 + x_2^2).
  Ta có: x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (\dfrac{7}{2})^2 - 2(3) = \dfrac{49}{4} - 6 = \dfrac{49 - 24}{4} = \dfrac{25}{4}.
  Vậy (x_1+2x_2)(x_2+2x_1) = 5(3) + 2(\dfrac{25}{4}) = 15 + \dfrac{25}{2} = \dfrac{30+25}{2} = \dfrac{55}{2}.
  Và (x_1x_2)^2 = 3^2 = 9.
  Do đó, A = \dfrac{55}{2} - 9 = \dfrac{55 - 18}{2} = \dfrac{37}{2}.

  Lời giải gốc: x1x2+2x12+2x22+4x1x2−x12x22 = 2x12+2x1x2+x22−x1x22+x1x2 = 2⋅722–32+3=372.
  Lời giải gốc có vẻ cố gắng biến đổi nhưng lại có lỗi logic và sai sót trong các bước trung gian (2x1^2+2x_1x_2+x_2^2 không bằng (x_1+2x_2)(x_2+2x_1)).
  Tuy nhiên, kết quả cuối cùng 37/2 có thể là đúng nếu phép tính sau đó là chính xác.
  2 cdot (7/2)^2 - 3^2 + 3 = 2 cdot (49/4) - 9 + 3 = 49/2 - 6 = (49-12)/2 = 37/2.
  Bước 2⋅722–32+3 này dường như tính 2(x_1+x_2)^2 - (x_1x_2)^2 + (x_1x_2), điều này không liên quan trực tiếp đến biểu thức ban đầu.
  Ta sẽ theo cách biến đổi đúng: (x_1+2x_2)(x_2+2x_1) - (x_1x_2)^2.

• Lời giải (Sửa lại cho chính xác):
  Phương trình 2x^2 – 7x + 6 = 0 có a=2, b=-7, c=6.
  Theo Định lý Viète, ta có:
  x_1 + x_2 = \dfrac{7}{2}
x_1 \cdot x_2 = 3
  Biểu thức A có thể được hiểu là A = \dfrac{x_1+2x_2}{x_2+2x_1} - (x_1x_2)^2 hoặc A = (x_1+2x_2)(x_2+2x_1) - (x_1x_2)^2. Dựa vào kết quả 37/2 trong lời giải gốc, có khả năng biểu thức là A = (x_1+2x_2)(x_2+2x_1) - (x_1x_2)^2. Ta sẽ tính theo hướng này.
  Ta có: (x_1+2x_2)(x_2+2x_1) = x_1x_2 + 2x_1^2 + 2x_2^2 + 4x_1x_2 = 5x_1x_2 + 2(x_1^2 + x_2^2).
  Ta tính x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (\dfrac{7}{2})^2 - 2(3) = \dfrac{49}{4} - 6 = \dfrac{49 - 24}{4} = \dfrac{25}{4}.
  Do đó, (x_1+2x_2)(x_2+2x_1) = 5(3) + 2(\dfrac{25}{4}) = 15 + \dfrac{25}{2} = \dfrac{30+25}{2} = \dfrac{55}{2}.
  Và (x_1x_2)^2 = 3^2 = 9.
  Vậy, A = \dfrac{55}{2} - 9 = \dfrac{55 - 18}{2} = \dfrac{37}{2}.

• Kết luận: Giá trị của biểu thức A là \dfrac{37}{2}.

• Kiểm tra: Tính nghiệm của phương trình 2x^2-7x+6=0. \Delta = 1, x_1 = \dfrac{7+1}{4} = 2, x_2 = \dfrac{7-1}{4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}.
  Thay vào biểu thức A = (x_1+2x_2)(x_2+2x_1) - (x_1x_2)^2:
  x_1=2, x_2=3/2.
  x_1+2x_2 = 2 + 2(3/2) = 2 + 3 = 5.
  x_2+2x_1 = 3/2 + 2(2) = 3/2 + 4 = 11/2.
  (x_1x_2)^2 = (2 \times 3/2)^2 = 3^2 = 9.
  A = (5)(11/2) - 9 = 55/2 - 9 = (55-18)/2 = 37/2.
  Kết quả này khớp với tính toán sử dụng Viète.

Mẹo kiểm tra: Luôn tìm nghiệm thực tế và thay vào biểu thức để kiểm tra.
Lỗi hay gặp: Biến đổi sai biểu thức đối xứng, sử dụng sai các hằng đẳng thức, hoặc nhầm lẫn giữa phép nhân và phép cộng trong đề bài.

Bài 15: Bài toán thực tế - Vận tốc, thời gian, quãng đường

Bài toán này yêu cầu thiết lập và giải một phương trình bậc hai từ dữ kiện về quãng đường, vận tốc và thời gian.

• Phân tích yêu cầu: Xe đạp đi từ A đến B (24 km). Lúc về (từ B về A) nhanh hơn 4 km/h so với lúc đi. Thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Cần tìm tốc độ lúc đi từ A đến B.
• Thiết lập biến:
  Gọi x (km/h) là tốc độ xe đạp đi từ A đến B (x > 0).
  Tốc độ xe đạp đi từ B về A là x + 4 (km/h).
• Thiết lập thời gian:
  Quãng đường AB là 24 km.
  Thời gian đi từ A đến B: t_{đi} = \dfrac{Quãng đường}{Vận tốc} = \dfrac{24}{x} (giờ).
  Thời gian đi từ B về A: t_{về} = \dfrac{Quãng đường}{Vận tốc} = \dfrac{24}{x+4} (giờ).
• Lập phương trình:
  Thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Đổi 30 phút = \dfrac{30}{60} = \dfrac{1}{2} giờ.
  Ta có phương trình: t_{đi} - t_{về} = \dfrac{1}{2}.
  \dfrac{24}{x} - \dfrac{24}{x+4} = \dfrac{1}{2}
• Giải phương trình:
  Quy đồng mẫu số:
  \dfrac{24(x+4) - 24x}{x(x+4)} = \dfrac{1}{2}
\dfrac{24x + 96 - 24x}{x^2 + 4x} = \dfrac{1}{2}
\dfrac{96}{x^2 + 4x} = \dfrac{1}{2}
  Nhân chéo:
  96 \times 2 = 1 \times (x^2 + 4x)
192 = x^2 + 4x
  Chuyển về phương trình bậc hai chuẩn:
  x^2 + 4x - 192 = 0
  Ta tính Delta: a=1, b=4, c=-192.
  \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-192) = 16 + 768 = 784.
  Ta cần tính căn bậc hai của 784. 20^2 = 400, 30^2 = 900</code>. Số tận cùng là 4 nên có thể là 22 hoặc 28. <code>[]28^2 = (30-2)^2 = 900 - 120 + 4 = 784. Vậy \sqrt{\Delta} = 28.
  Tìm nghiệm:
  x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4 + 28}{2(1)} = \dfrac{24}{2} = 12.
  x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4 - 28}{2(1)} = \dfrac{-32}{2} = -16.
• Chọn nghiệm: Vì x là tốc độ, x > 0. Do đó, ta loại nghiệm x_2 = -16.
• Kết luận: Tốc độ của xe đạp khi đi từ A đến B là x = 12 km/h.
• Kiểm tra:
  Tốc độ lúc đi: 12 km/h. Thời gian đi: 24/12 = 2 giờ.
  Tốc độ lúc về: 12 + 4 = 16 km/h. Thời gian về: 24/16 = 1,5 giờ.
  Chênh lệch thời gian: 2 - 1,5 = 0,5 giờ = 30 phút. (Đúng).

Mẹo kiểm tra: Luôn kiểm tra xem tốc độ có dương không và thời gian có hợp lý không.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong việc đổi đơn vị thời gian (phút sang giờ), quy đồng mẫu số, hoặc giải phương trình bậc hai.

Bài 16: Bài toán thực tế - Năng suất, thời gian, khối lượng công việc

Bài toán này tương tự bài toán vận tốc, sử dụng phương trình bậc hai để mô tả mối quan hệ giữa năng suất, thời gian và khối lượng công việc.

• Phân tích yêu cầu: Đội thợ mỏ dự định khai thác 216 tấn than trong thời gian nhất định. Ba ngày đầu theo định mức. Sau đó, mỗi ngày vượt 8 tấn. Họ khai thác được 232 tấn và xong trước 1 ngày. Cần tìm năng suất dự định (lượng than khai thác mỗi ngày theo kế hoạch).
• Thiết lập biến:
  Gọi x (tấn/ngày) là lượng than đội khai thác mỗi ngày theo kế hoạch (x > 0).
  Thời gian dự định để khai thác 216 tấn là T_{dự định} = \dfrac{216}{x} (ngày).
• Thiết lập các giai đoạn khai thác:
  • Ba ngày đầu: Khai thác được 3x tấn than.
  • Sau 3 ngày, đội đã khai thác được 3x tấn. Lượng than còn lại cần khai thác (theo tiến độ thực tế) là 232 - 3x tấn.
  • Năng suất vượt mức: x + 8 tấn/ngày.
  • Thời gian thực tế để khai thác phần còn lại là T_{thực tế phần còn lại} = \dfrac{232 - 3x}{x+8} (ngày).
  • Tổng thời gian thực tế: T_{thực tế} = 3 + T_{thực tế phần còn lại} = 3 + \dfrac{232 - 3x}{x+8} (ngày).
• Lập phương trình:
  Họ đã xong trước thời hạn 1 ngày, nghĩa là T_{dự định} - T_{thực tế} = 1.
  \dfrac{216}{x} - (3 + \dfrac{232 - 3x}{x+8}) = 1
\dfrac{216}{x} - 3 - \dfrac{232 - 3x}{x+8} = 1
\dfrac{216}{x} - \dfrac{232 - 3x}{x+8} = 4
• Giải phương trình:
  Quy đồng mẫu số x(x+8):
  \dfrac{216(x+8) - x(232 - 3x)}{x(x+8)} = 4
\dfrac{216x + 1728 - 232x + 3x^2}{x^2 + 8x} = 4
\dfrac{3x^2 - 16x + 1728}{x^2 + 8x} = 4
  Nhân chéo:
  3x^2 - 16x + 1728 = 4(x^2 + 8x)
3x^2 - 16x + 1728 = 4x^2 + 32x
  Chuyển về phương trình bậc hai chuẩn:
  0 = 4x^2 - 3x^2 + 32x + 16x - 1728
x^2 + 48x - 1728 = 0
  Ta tính Delta: a=1, b=48, c=-1728.
  \Delta = b^2 - 4ac = 48^2 - 4(1)(-1728) = 2304 + 6912 = 9216.
  Tính căn bậc hai của 9216. 90^2 = 8100, 100^2 = 10000. Số tận cùng là 6 nên có thể là 94 hoặc 96. 96^2 = (100-4)^2 = 10000 - 800 + 16 = 9216. Vậy \sqrt{\Delta} = 96.
  Tìm nghiệm:
  x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-48 + 96}{2(1)} = \dfrac{48}{2} = 24.
  x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-48 - 96}{2(1)} = \dfrac{-144}{2} = -72.
• Chọn nghiệm: Vì x là năng suất, x > 0. Do đó, ta loại nghiệm x_2 = -72.
• Kết luận: Theo kế hoạch, mỗi ngày đội thợ phải khai thác x = 24 tấn than.
• Kiểm tra:
  Năng suất dự định: 24 tấn/ngày. Thời gian dự định: 216 / 24 = 9 ngày.
  3 ngày đầu: khai thác 3 \times 24 = 72 tấn.
  Lượng than còn lại: 232 - 72 = 160 tấn.
  Năng suất vượt mức: 24 + 8 = 32 tấn/ngày.
  Thời gian khai thác 160 tấn: 160 / 32 = 5 ngày.
  Tổng thời gian thực tế: 3 (đầu) + 5 (sau) = 8 ngày.
  Thời gian thực tế (8 ngày) ít hơn thời gian dự định (9 ngày) là 1 ngày. (Đúng).

Mẹo kiểm tra: Cẩn thận với các con số lớn khi tính Delta và căn bậc hai. Đảm bảo các điều kiện về đơn vị và tính hợp lý của kết quả.
Lỗi hay gặp: Lập sai phương trình thời gian, sai sót trong phép nhân chia hoặc cộng trừ số lớn, quên điều kiện x > 0.

Bài 17: Bài toán thực tế - Khối lượng riêng, khối lượng, thể tích

Bài toán này liên quan đến công thức D = m/V và yêu cầu thiết lập một phương trình bậc hai từ mối quan hệ giữa các đại lượng.

• Phân tích yêu cầu: Hai miếng kim loại có khối lượng m1 = 585 g, m2 = 420 g. Thể tích V1 nhỏ hơn V2 là 10 cm³. Khối lượng riêng D1 lớn hơn D2 là 9 g/cm³. Cần tìm D1 và D2.
• Thiết lập biến:
  Đặt V_1 (cm³) là thể tích miếng kim loại thứ nhất.
  Thể tích miếng kim loại thứ hai là V_2 = V_1 + 10 (cm³).
  Khối lượng riêng của miếng thứ nhất là D_1 = \dfrac{m_1}{V_1} = \dfrac{585}{V_1} (g/cm³).
  Khối lượng riêng của miếng thứ hai là D_2 = \dfrac{m_2}{V_2} = \dfrac{420}{V_1 + 10} (g/cm³).
• Lập phương trình:
  Theo đề bài, D_1 = D_2 + 9.
  \dfrac{585}{V_1} = \dfrac{420}{V_1 + 10} + 9
• Giải phương trình:
  Để phương trình có nghĩa, V_1 > 0 và V_1 + 10 > 0 (điều này luôn đúng nếu V_1 > 0).
  Chuyển 9 sang vế trái:
  \dfrac{585}{V_1} - \dfrac{420}{V_1 + 10} = 9
  Quy đồng mẫu số V_1(V_1 + 10):
  \dfrac{585(V_1 + 10) - 420V_1}{V_1(V_1 + 10)} = 9
\dfrac{585V_1 + 5850 - 420V_1}{V_1^2 + 10V_1} = 9
\dfrac{165V_1 + 5850}{V_1^2 + 10V_1} = 9
  Nhân chéo:
  165V_1 + 5850 = 9(V_1^2 + 10V_1)
165V_1 + 5850 = 9V_1^2 + 90V_1
  Chuyển về phương trình bậc hai chuẩn:
  0 = 9V_1^2 + 90V_1 - 165V_1 - 5850
9V_1^2 - 75V_1 - 5850 = 0
  Ta có thể chia cả hai vế cho 3 để đơn giản hóa:
  3V_1^2 - 25V_1 - 1950 = 0
  Ta tính Delta: a=3, b=-25, c=-1950.
  \Delta = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4(3)(-1950) = 625 + 23400 = 24025.
  Tính căn bậc hai của 24025. Số tận cùng là 5 nên có thể là 155. 155^2 = (150+5)^2 = 22500 + 1500 + 25 = 24025. Vậy \sqrt{\Delta} = 155.
  Tìm nghiệm:
  V_{1,1} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-25) + 155}{2(3)} = \dfrac{25 + 155}{6} = \dfrac{180}{6} = 30.
  V_{1,2} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-25) - 155}{2(3)} = \dfrac{25 - 155}{6} = \dfrac{-130}{6} = -\dfrac{65}{3}.
• Chọn nghiệm: Vì V_1 là thể tích, V_1 > 0. Do đó, ta loại nghiệm V_{1,2} = -65/3.
  Ta tìm được V_1 = 30 cm³.
• Tính khối lượng riêng:
  Khối lượng riêng miếng thứ nhất: D_1 = \dfrac{585}{V_1} = \dfrac{585}{30} = 19,5 g/cm³.
  Thể tích miếng thứ hai: V_2 = V_1 + 10 = 30 + 10 = 40 cm³.
  Khối lượng riêng miếng thứ hai: D_2 = \dfrac{420}{V_2} = \dfrac{420}{40} = 10,5 g/cm³.
• Kết luận: Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là 19,5 g/cm³ và của miếng thứ hai là 10,5 g/cm³.
• Kiểm tra:
  Hiệu khối lượng riêng: D_1 - D_2 = 19,5 - 10,5 = 9 g/cm³. (Đúng).
  Thể tích miếng 1 nhỏ hơn miếng 2 là 10 cm³ (30 < 40). (Đúng).

Mẹo kiểm tra: Sau khi tính được thể tích, hãy tính lại khối lượng riêng và kiểm tra lại các điều kiện ban đầu.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa thể tích và khối lượng riêng, sai sót trong quá trình biến đổi phân số và giải phương trình bậc hai, đặc biệt với các số lớn.

Bài 18: Bài toán thực tế - Nồng độ dung dịch

Bài toán này yêu cầu thiết lập phương trình bậc hai dựa trên công thức tính nồng độ dung dịch.

• Phân tích yêu cầu: Hai dung dịch muối có tổng khối lượng 220 kg. Dung dịch I có m_{muối,1} = 5 kg. Dung dịch II có m_{muối,2} = 4,8 kg. Nồng độ dung dịch I cao hơn dung dịch II là 1%. Cần tính khối lượng mỗi dung dịch.
• Thiết lập biến:
  Gọi x (kg) là khối lượng dung dịch I (0 < x < 220[/katex]</code>).Khối lượng dung dịch II là <code>[katex]220 - x (kg).
• Thiết lập nồng độ:
  Nồng độ dung dịch I: C_1% = \dfrac{m_{muối,1}}{m_{dung dịch,1}} \times 100% = \dfrac{5}{x} \times 100%.
  Nồng độ dung dịch II: C_2% = \dfrac{m_{muối,2}}{m_{dung dịch,2}} \times 100% = \dfrac{4,8}{220 - x} \times 100%.
• Lập phương trình:
  Nồng độ dung dịch I nhiều hơn nồng độ dung dịch II là 1%. Lưu ý là 1% tương ứng với 0.01 khi tính toán hoặc 1/100.
  C_1% - C_2% = 1%
\dfrac{5}{x} \times 100 - \dfrac{4,8}{220 - x} \times 100 = 1
\dfrac{500}{x} - \dfrac{480}{220 - x} = 1
• Giải phương trình:
  Quy đồng mẫu số x(220 - x):
  \dfrac{500(220 - x) - 480x}{x(220 - x)} = 1
\dfrac{110000 - 500x - 480x}{220x - x^2} = 1
\dfrac{110000 - 980x}{220x - x^2} = 1
  Nhân chéo:
  110000 - 980x = 220x - x^2
  Chuyển về phương trình bậc hai chuẩn:
  x^2 - 220x - 980x + 110000 = 0
x^2 - 1200x + 110000 = 0
  Ta tính Delta: a=1, b=-1200, c=110000.
  \Delta = b^2 - 4ac = (-1200)^2 - 4(1)(110000) = 1440000 - 440000 = 1000000.
  \sqrt{\Delta} = \sqrt{1000000} = 1000.
  Tìm nghiệm:
  x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-1200) + 1000}{2(1)} = \dfrac{1200 + 1000}{2} = \dfrac{2200}{2} = 1100.
  x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-1200) - 1000}{2(1)} = \dfrac{1200 - 1000}{2} = \dfrac{200}{2} = 100.
• Chọn nghiệm: Điều kiện của bài toán là 0 < x < 220[/katex]</code> (vì <code>x</code> là khối lượng dung dịch I, và tổng khối lượng là 220).Nghiệm <code>[katex]x_1 = 1100 bị loại vì lớn hơn 220.
  Nghiệm x_2 = 100 thỏa mãn điều kiện.
• Kết luận:
  Khối lượng dung dịch I là x = 100 kg.
  Khối lượng dung dịch II là 220 - x = 220 - 100 = 120 kg.
• Kiểm tra:
  Dung dịch I: Khối lượng 100 kg, muối 5 kg. Nồng độ: (5/100) 100% = 5%.
  Dung dịch II: Khối lượng 120 kg, muối 4,8 kg. Nồng độ: (4,8/120) 100% = (48/1200) 100% = (4/100) 100% = 4%.
  Chênh lệch nồng độ: 5% - 4% = 1%. (Đúng).

Mẹo kiểm tra: Đảm bảo các điều kiện ban đầu về giá trị của biến số được kiểm tra kỹ lưỡng.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong việc lập phương trình nồng độ, nhầm lẫn giữa khối lượng dung dịch và khối lượng chất tan, sai sót khi giải phương trình bậc hai với các số hạng lớn.

Đáp Án/Kết Quả

• Bài 12:
  a) x_1 = -1; x_2 = -27/14
  b) x_1 = -1; x_2 = -13/27
  c) x_1 = \dfrac{-2 + \sqrt{7632}}{46}; x_2 = \dfrac{-2 - \sqrt{7632}}{46} (lưu ý sai sót trong đề/lời giải gốc)
  d) x_1 = -1; x_2 = 2/3
• Bài 13:
  a) Hai số là 5 và -7.
  b) Hai số là 15 và -7.
• Bài 14: Giá trị biểu thức A là \dfrac{37}{2}.
• Bài 15: Tốc độ xe đạp đi từ A đến B là 12 km/h.
• Bài 16: Năng suất dự định là 24 tấn/ngày.
• Bài 17: Khối lượng riêng miếng thứ nhất là 19,5 g/cm³, miếng thứ hai là 10,5 g/cm³.
• Bài 18: Khối lượng dung dịch I là 100 kg, dung dịch II là 120 kg.

Chúng tôi hy vọng với bộ lời giải chi tiết và phân tích sâu sắc cho các bài tập trong trang 23, Tập 2, sách Toán 9 Chân trời sáng tạo, các em học sinh sẽ có thêm công cụ hữu ích để ôn tập. Việc hiểu rõ phương pháp và các kiến thức nền tảng là chìa khóa để giải quyết các dạng bài toán tương tự, không chỉ trong sách giáo khoa mà còn trong các bài kiểm tra và thi cử. Chúc các em học tốt!

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.