Giải Toán 12 Bài 1 Trang 68 SGK Hình Học: Tìm Tọa Độ Vectơ

by Thầy Đông · January 8, 2026

Rate this post

Chào mừng bạn đến với hướng dẫn chi tiết giải toán 12 bài 1 hình học trang 68 sách giáo khoa. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách tìm tọa độ của các vectơ dựa trên các vectơ đã cho, một kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình Hình học 12. Giải toán 12 bài 1 hình học sẽ giúp bạn nắm vững các phép toán trên vectơ.

Đề Bài

Cho ba vectơ (overrightarrow a left( {2; – 5;3} right), overrightarrow b left( {0;2; – 1} right), overrightarrow c left( {1;7;2} right)).

a) Tính tọa độ của vectơ (overrightarrow{d}=4.overrightarrow{a}-dfrac{1}{3}overrightarrow{b}+3overrightarrow{c}).

b) Tính tọa độ của vectơ (overrightarrow{e}=overrightarrow{a}-4overrightarrow{b}-2overrightarrow{c}).

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu chúng ta tính tọa độ của hai vectơ mới, (overrightarrow{d}) và (overrightarrow{e}), được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của ba vectơ đã cho (overrightarrow{a}, overrightarrow{b}, overrightarrow{c}). Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng các quy tắc cơ bản về phép nhân một số với một vectơ và phép cộng/trừ hai vectơ trong không gian ba chiều.

Các dữ kiện quan trọng là tọa độ của ba vectơ ban đầu:

(overrightarrow a = (2; -5; 3))
(overrightarrow b = (0; 2; -1))
(overrightarrow c = (1; 7; 2))

Yêu cầu của bài toán là tính toán chính xác các tổ hợp sau:

(overrightarrow{d}=4overrightarrow{a}-dfrac{1}{3}overrightarrow{b}+3overrightarrow{c})
(overrightarrow{e}=overrightarrow{a}-4overrightarrow{b}-2overrightarrow{c})

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các định nghĩa và quy tắc sau đây về vectơ trong không gian ba chiều:

Tọa độ của vectơ: Một vectơ trong không gian ba chiều được xác định bởi ba tọa độ, ký hiệu là (overrightarrow{u} = (u_1; u_2; u_3)).
Phép nhân một số với một vectơ: Cho vectơ (overrightarrow{u} = (u_1; u_2; u_3)) và một số thực (k). Khi đó, vectơ (koverrightarrow{u}) có tọa độ là:
$koverrightarrow{u} = (ku_1; ku_2; ku_3)$
Phép cộng hai vectơ: Cho hai vectơ (overrightarrow{u} = (u_1; u_2; u_3)) và (overrightarrow{v} = (v_1; v_2; v_3)). Khi đó, vectơ (overrightarrow{u} + overrightarrow{v}) có tọa độ là:
$overrightarrow{u} + overrightarrow{v} = (u_1 + v_1; u_2 + v_2; u_3 + v_3)$
Phép trừ hai vectơ: Cho hai vectơ (overrightarrow{u} = (u_1; u_2; u_3)) và (overrightarrow{v} = (v_1; v_2; v_3)). Khi đó, vectơ (overrightarrow{u} – overrightarrow{v}) có tọa độ là:
$overrightarrow{u} - overrightarrow{v} = (u_1 - v_1; u_2 - v_2; u_3 - v_3)$

Kết hợp các quy tắc này cho phép chúng ta tính toán tọa độ của các tổ hợp vectơ phức tạp hơn.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ thực hiện từng bước cho mỗi phần của câu hỏi.

Phần a) Tính tọa độ của vectơ (overrightarrow{d}=4.overrightarrow{a}-dfrac{1}{3}overrightarrow{b}+3overrightarrow{c})

Đầu tiên, ta tính tọa độ của từng số hạng trong biểu thức:

Tính (4overrightarrow{a}):
$4overrightarrow{a} = 4(2; -5; 3) = (4 \times 2; 4 \times (-5); 4 \times 3) = (8; -20; 12)$
Tính (dfrac{1}{3}overrightarrow{b}):
$\dfrac{1}{3}overrightarrow{b} = \dfrac{1}{3}(0; 2; -1) = (\dfrac{1}{3} \times 0; \dfrac{1}{3} \times 2; \dfrac{1}{3} \times (-1)) = (0; \dfrac{2}{3}; -\dfrac{1}{3})$
Tính (3overrightarrow{c}):
$3overrightarrow{c} = 3(1; 7; 2) = (3 \times 1; 3 \times 7; 3 \times 2) = (3; 21; 6)$

Bây giờ, ta thực hiện phép trừ và cộng các vectơ này:
$overrightarrow{d} = 4overrightarrow{a} - \dfrac{1}{3}overrightarrow{b} + 3overrightarrow{c}$
$overrightarrow{d} = (8; -20; 12) - (0; \dfrac{2}{3}; -\dfrac{1}{3}) + (3; 21; 6)$

Thực hiện phép trừ theo từng tọa độ:
$overrightarrow{d}{hoành} = 8 - 0 = 8$
$overrightarrow{d}{tung} = -20 - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{60}{3} - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{62}{3}$
$overrightarrow{d}_{hoành_độ} = 12 - (-\dfrac{1}{3}) = 12 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{36}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{37}{3}$

Tiếp tục thực hiện phép cộng với kết quả của (3overrightarrow{c}):
$overrightarrow{d}{hoành} = 8 + 3 = 11$
$overrightarrow{d}{tung} = -\dfrac{62}{3} + 21 = -\dfrac{62}{3} + \dfrac{63}{3} = \dfrac{1}{3}$
$overrightarrow{d}_{hoành_độ} = \dfrac{37}{3} + 6 = \dfrac{37}{3} + \dfrac{18}{3} = \dfrac{55}{3}$

Vậy, tọa độ của vectơ (overrightarrow{d}) là:
$overrightarrow{d} = (11; \dfrac{1}{3}; \dfrac{55}{3})$

Mẹo kiểm tra:
Bạn có thể kiểm tra bằng cách cộng hoặc trừ các số hạng theo thứ tự khác nhau, ví dụ: ((4overrightarrow{a} + 3overrightarrow{c}) – dfrac{1}{3}overrightarrow{b}).

Lỗi hay gặp:
Sai sót trong quá trình tính toán phân số hoặc dấu âm khi thực hiện phép trừ. Cần cẩn thận với các phép toán trên tử số và mẫu số.

Phần b) Tính tọa độ của vectơ (overrightarrow{e}=overrightarrow{a}-4overrightarrow{b}-2overrightarrow{c})

Tương tự như phần a, ta tính tọa độ của từng số hạng:

Tính (-4overrightarrow{b}):
$-4overrightarrow{b} = -4(0; 2; -1) = (-4 \times 0; -4 \times 2; -4 \times (-1)) = (0; -8; 4)$
Tính (-2overrightarrow{c}):
$-2overrightarrow{c} = -2(1; 7; 2) = (-2 \times 1; -2 \times 7; -2 \times 2) = (-2; -14; -4)$

Bây giờ, ta thực hiện phép cộng các vectơ (overrightarrow{a}, -4overrightarrow{b}, -2overrightarrow{c}):
$overrightarrow{e} = overrightarrow{a} - 4overrightarrow{b} - 2overrightarrow{c}$
$overrightarrow{e} = (2; -5; 3) + (0; -8; 4) + (-2; -14; -4)$

Thực hiện phép cộng theo từng tọa độ:
$overrightarrow{e}{hoành} = 2 + 0 + (-2) = 0$
$overrightarrow{e}{tung} = -5 + (-8) + (-14) = -5 - 8 - 14 = -27$
$overrightarrow{e}_{hoành_độ} = 3 + 4 + (-4) = 3 + 4 - 4 = 3$

Vậy, tọa độ của vectơ (overrightarrow{e}) là:
$overrightarrow{e} = (0; -27; 3)$

Mẹo kiểm tra:
Kiểm tra lại phép nhân hệ số với từng tọa độ của vectơ ban đầu, sau đó cộng hoặc trừ các tọa độ tương ứng.

Lỗi hay gặp:
Nhầm lẫn dấu khi nhân hệ số âm hoặc khi thực hiện phép trừ. Đảm bảo quy tắc dấu được áp dụng chính xác.

Đáp Án/Kết Quả

Tọa độ của vectơ (overrightarrow{d}) là ((11; dfrac{1}{3}; dfrac{55}{3})).
Tọa độ của vectơ (overrightarrow{e}) là ((0; -27; 3)).

Bài viết này đã cung cấp hướng dẫn chi tiết để giải bài toán 1 trang 68 SGK Hình học 12, tập trung vào việc áp dụng đúng các quy tắc về phép toán vectơ trong không gian ba chiều. Nắm vững cách giải toán 12 bài 1 hình học sẽ giúp bạn tự tin hơn với các dạng bài tương tự.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.