Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 8: Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Bằng Phương Pháp Nhóm Hạng Tử

by Thầy Đông · January 8, 2026

Rate this post

Để thành thạo kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt là bằng phương pháp nhóm hạng tử, học sinh lớp 8 cần nắm vững các bước thực hiện và áp dụng linh hoạt vào từng dạng bài tập. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong sách giáo khoa, giúp các em hiểu rõ bản chất của phương pháp và tự tin chinh phục dạng toán này.

Đề Bài

Bài tập 1: Tính nhanh
15 . 64 + 25 . 100 + 36 . 15 + 60 . 100

Bài tập 2: Khi thảo luận nhóm, một bạn ra đề bài: Hãy phân tích đa thức $x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x$ thành nhân tử.
Bạn Thái làm như sau:
$x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x = x(x^3 - 9x^2 + x - 9)$ .

Bạn Hà làm như sau:
$x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x = (x^4 - 9x^3) + (x^2 - 9x)$
$= x^3 (x - 9) + x(x - 9) = (x - 9)(x^3 + x)$ .

Bạn An làm như sau:
$x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x = (x^4 + x^2) - (9x^3 + 9x)$
$= x^2 (x^2 + 1) - 9x(x^2 + 1)$
$= (x^2 - 9x) (x^2 + 1) = x(x - 9)(x^2 + 1)$ .

Hãy nêu ý kiến của em về lời giải của các bạn.

Bài 47 trang 22 SGK Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^2 - xy + x - y$
b) $xz + yz - 5(x + y)$
c) $3x^2 - 3xy - 5x + 5y$

Bài 48 trang 22 SGK Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^2 + 4x - y^2 + 4$
b) $3x^2 + 6xy + 3y^2 - 3z^2$
c) $x^2 - 2xy + y^2 - z^2 + 2zt - t^2$

Bài 49 trang 22 SGK Toán 8 Tập 1: Tính nhanh:
a) $37,5.6,5 - 7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5$
b) $45^2 + 40^2 - 15^2 + 80.45$

Bài 50 trang 23 SGK Toán 8 Tập 1: Tìm x, biết:
a) $x(x - 2) + x - 2 = 0$
b) $5x(x - 3) - x + 3 = 0$

Phân Tích Yêu Cầu

Bài viết này tập trung vào việc cung cấp lời giải chi tiết và phương pháp giải cho các bài tập Toán lớp 8, chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử. Mục tiêu là giúp học sinh hiểu rõ các bước, nhận diện nhân tử chung sau khi nhóm, và áp dụng linh hoạt cho các dạng toán khác nhau.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Phương pháp nhóm hạng tử là một trong những kỹ thuật quan trọng để phân tích đa thức thành nhân tử. Nguyên tắc cơ bản là:

Quan sát đa thức: Xem xét các hạng tử để tìm cách nhóm sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc sau khi nhóm và áp dụng các phép biến đổi khác (như hằng đẳng thức) sẽ xuất hiện nhân tử chung.
Áp dụng phép nhóm: Sử dụng dấu ngoặc đơn () để nhóm các hạng tử lại với nhau. Lưu ý khi nhóm hạng tử mang dấu âm, cần đổi dấu các hạng tử bên trong ngoặc.
Tìm nhân tử chung: Sau khi nhóm, kiểm tra xem các nhóm có nhân tử chung hay không. Nếu có, đặt nhân tử chung ra ngoài.
Sử dụng hằng đẳng thức (nếu cần): Đôi khi, sau khi nhóm, ta cần áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ (như hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng/hiệu) để tiếp tục phân tích thành nhân tử.
Kiểm tra lại: Nhân các nhân tử lại với nhau để xem kết quả có trùng với đa thức ban đầu hay không.

Các hằng đẳng thức thường dùng trong bài toán này bao gồm:

Hiệu hai bình phương: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Bình phương của một tổng: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Bình phương của một hiệu: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài tập 1: Tính nhanh
15 . 64 + 25 . 100 + 36 . 15 + 60 . 100

Để tính nhanh biểu thức này, ta áp dụng phương pháp nhóm hạng tử để tìm nhân tử chung:

Nhận thấy hai hạng tử đầu tiên có nhân tử chung là 15 và hai hạng tử cuối có nhân tử chung là 100.
Sắp xếp lại các hạng tử: $(15 . 64 + 36 . 15) + (25 . 100 + 60 . 100)$
Nhóm các hạng tử: $15 . (64 + 36) + 100 . (25 + 60)$
Thực hiện phép cộng trong ngoặc: $15 . 100 + 100 . 85$
Xuất hiện nhân tử chung là 100: $100 . (15 + 85)$
Thực hiện phép cộng: $100 . 100 = 10000$

Mẹo kiểm tra: Sau khi tính được tổng của hai nhóm (64+36=100 và 25+60=85), ta có thể nhanh chóng nhân 15 với 100 và 100 với 85, sau đó cộng lại.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn dấu khi nhóm hoặc khi đặt nhân tử chung.

Bài tập 2: Phân tích đa thức $x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x$

Đa thức đã cho là: $x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x$ .
Mục tiêu là phân tích thành nhân tử. Ta sẽ xem xét lời giải của các bạn:

Bạn Thái: $x(x^3 - 9x^2 + x - 9)$ . Bạn Thái đã đặt nhân tử chung $x$ ra ngoài. Đây là một bước đúng và có thể tiếp tục phân tích $x^3 - 9x^2 + x - 9$ .
Bạn Hà: $(x^4 - 9x^3) + (x^2 - 9x) = x^3 (x - 9) + x(x - 9) = (x - 9)(x^3 + x)$ . Bạn Hà đã nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau, sau đó đặt nhân tử chung $x-9$ . Đây là một cách phân tích đúng.
Bạn An: $(x^4 + x^2) - (9x^3 + 9x) = x^2 (x^2 + 1) - 9x(x^2 + 1) = (x^2 - 9x) (x^2 + 1)$ . Bạn An đã nhóm hạng tử thứ nhất và thứ ba, hạng tử thứ hai và thứ tư. Sau đó đặt nhân tử chung $x^2+1$ . Đây cũng là một cách phân tích đúng. Tuy nhiên, nhân tử $x^2-9x$ có thể phân tích tiếp thành $x(x-9)$ , nên kết quả cuối cùng có thể viết gọn hơn.

Ý kiến về lời giải của các bạn:
Cả ba bạn đều đã thực hiện đúng các bước phân tích đa thức thành nhân tử.

Bạn Thái đã thực hiện bước đầu tiên bằng cách đặt nhân tử chung $x$.
Bạn Hà và bạn An đã sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức.
Lời giải của bạn An có thể tiếp tục phân tích nhân tử $x^2-9x$ thành $x(x-9)$ để đạt được kết quả cuối cùng là $x(x-9)(x^2+1)$ , tương tự như kết quả khi phân tích tiếp lời giải của bạn Hà: $(x-9)(x^3+x) = (x-9)(x(x^2+1)) = x(x-9)(x^2+1)$ .
Như vậy, lời giải của bạn An và Hà có thể được hoàn thiện hơn bằng cách phân tích tiếp nhân tử.

Bài 47 trang 22 SGK Toán 8 Tập 1:

a) $x^2 - xy + x - y$

Cách 1: Nhóm hạng tử (1,2) và (3,4)
$(x^2 - xy) + (x - y)$
$= x(x - y) + 1(x - y)$ (Nhân tử chung $x-y$ xuất hiện)
$= (x - y)(x + 1)$
Cách 2: Nhóm hạng tử (1,3) và (2,4)
$(x^2 + x) - (xy + y)$
$= x(x + 1) - y(x + 1)$ (Nhân tử chung $x+1$ xuất hiện)
$= (x + 1)(x - y)$

b) $xz + yz - 5(x + y)$

Nhóm hai hạng tử đầu tiên: $(xz + yz) - 5(x + y)$
$= z(x + y) - 5(x + y)$ (Nhân tử chung $x+y$ xuất hiện)
$= (x + y)(z - 5)$

c) $3x^2 - 3xy - 5x + 5y$

Cách 1: Nhóm (1,2) và (3,4)
$(3x^2 - 3xy) - (5x - 5y)$
$= 3x(x - y) - 5(x - y)$ (Nhân tử chung $x-y$ xuất hiện)
$= (x - y)(3x - 5)$
Cách 2: Nhóm (1,3) và (2,4)
$(3x^2 - 5x) - (3xy - 5y)$
$= x(3x - 5) - y(3x - 5)$ (Nhân tử chung $3x-5$ xuất hiện)
$= (3x - 5)(x - y)$

Mẹo kiểm tra: Sau khi có kết quả, nhân các nhân tử lại để đảm bảo đúng với đa thức ban đầu. Ví dụ, với câu c, nhân $(x-y)(3x-5) = x(3x-5) - y(3x-5) = 3x^2 - 5x - 3xy + 5y = 3x^2 - 3xy - 5x + 5y$ , khớp với đề bài.
Lỗi hay gặp: Quên đổi dấu khi nhóm các hạng tử đứng sau dấu trừ.

Bài 48 trang 22 SGK Toán 8 Tập 1:

a) $x^2 + 4x - y^2 + 4$

Nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và hằng số để tạo thành hằng đẳng thức:
$(x^2 + 4x + 4) - y^2$
$= (x + 2)^2 - y^2$ (Xuất hiện dạng hiệu hai bình phương $a^2 - b^2$ với $a = x+2, b = y$ )
$= ((x + 2) - y)((x + 2) + y)$
$= (x + 2 - y)(x + 2 + y)$

b) $3x^2 + 6xy + 3y^2 - 3z^2$

Đặt nhân tử chung 3 ra ngoài: $3(x^2 + 2xy + y^2 - z^2)$
Nhóm các hạng tử tạo thành hằng đẳng thức: $3[(x^2 + 2xy + y^2) - z^2]$
$= 3[(x + y)^2 - z^2]$ (Xuất hiện dạng hiệu hai bình phương $a^2 - b^2$ với $a = x+y, b = z$ )
$= 3[(x + y - z)(x + y + z)]$
$= 3(x + y - z)(x + y + z)$

c) $x^2 - 2xy + y^2 - z^2 + 2zt - t^2$

Nhóm các hạng tử tạo thành hai hằng đẳng thức:
$(x^2 - 2xy + y^2) - (z^2 - 2zt + t^2)$
$= (x - y)^2 - (z - t)^2$ (Xuất hiện dạng hiệu hai bình phương $a^2 - b^2$ với $a = x-y, b = z-t$ )
$= [(x - y) - (z - t)][(x - y) + (z - t)]$
$= (x - y - z + t)(x - y + z - t)$

Lỗi hay gặp: Nhận diện sai các hạng tử có thể nhóm lại để tạo thành hằng đẳng thức, đặc biệt khi có dấu trừ đứng trước ngoặc.

Bài 49 trang 22 SGK Toán 8 Tập 1:

a) $37,5.6,5 - 7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5$

Nhận thấy hạng tử đầu và cuối có nhân tử chung là 37,5. Hạng tử thứ hai và thứ ba có nhân tử là 7,5.
Sắp xếp và nhóm lại: $(37,5.6,5 + 3,5.37,5) - (7,5.3,4 + 6,6.7,5)$
Đặt nhân tử chung: $37,5(6,5 + 3,5) - 7,5(3,4 + 6,6)$
Thực hiện phép cộng trong ngoặc: $37,5(10) - 7,5(10)$
Đặt nhân tử chung 10: $10(37,5 - 7,5)$
Thực hiện phép trừ: $10(30) = 300$

b) $45^2 + 40^2 - 15^2 + 80.45$

Sắp xếp lại các hạng tử và nhận diện hằng đẳng thức:
$45^2 + 80.45 + 40^2 - 15^2$
Ta thấy $80.45 = 2.45.40$ . Vậy $45^2 + 2.45.40 + 40^2$ chính là $(45 + 40)^2$ .
$= (45^2 + 2.45.40 + 40^2) - 15^2$
$= (45 + 40)^2 - 15^2$
$= 85^2 - 15^2$ (Xuất hiện dạng hiệu hai bình phương)
$= (85 - 15)(85 + 15)$
$= 70 . 100 = 7000$

Lỗi hay gặp: Không nhận ra cách nhóm hoặc không liên hệ được với các hằng đẳng thức đã học.

Bài 50 trang 23 SGK Toán 8 Tập 1:

a) $x(x - 2) + x - 2 = 0$

Nhận thấy $x-2$ là nhân tử chung. Ta có thể coi $x-2$ là $1.(x-2)$ .
$x(x - 2) + 1(x - 2) = 0$
Đặt nhân tử chung $(x - 2)$ : $(x - 2)(x + 1) = 0$
Áp dụng quy tắc: nếu tích của hai thừa số bằng 0 thì ít nhất một trong hai thừa số bằng 0.
$Rightarrow x - 2 = 0$ hoặc $x + 1 = 0$
$Rightarrow x = 2$ hoặc $x = -1$
Vậy $x = -1$ hoặc $x = 2$ .

b) $5x(x - 3) - x + 3 = 0$

Để xuất hiện nhân tử chung $(x - 3)$ , ta đổi dấu hạng tử thứ hai và thứ ba.
$5x(x - 3) - (x - 3) = 0$
Đặt nhân tử chung $(x - 3)$ : $(x - 3)(5x - 1) = 0$
Áp dụng quy tắc tích bằng 0:
$Rightarrow x - 3 = 0$ hoặc $5x - 1 = 0$
$Rightarrow x = 3$ hoặc $5x = 1$
$Rightarrow x = 3$ hoặc $x = 1/5$
Vậy $x = 3$ hoặc $x = 1/5$ .

Mẹo kiểm tra: Thay các giá trị $x$ tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra xem hai vế có bằng nhau không.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong việc đổi dấu khi nhóm hạng tử hoặc nhầm lẫn nghiệm của phương trình tích.

Đáp Án/Kết Quả

Bài 1: 10000
Bài 2: Lời giải của các bạn đều đúng, có thể hoàn thiện hơn bằng cách phân tích tiếp các nhân tử có thể phân tích được.
Bài 47:
a) $(x - y)(x + 1)$
b) $(x + y)(z - 5)$
c) $(x - y)(3x - 5)$
Bài 48:
a) $(x + 2 - y)(x + 2 + y)$
b) $3(x + y - z)(x + y + z)$
c) $(x - y - z + t)(x - y + z - t)$
Bài 49:
a) 300
b) 7000
Bài 50:
a) $x = -1$ hoặc $x = 2$ .
b) $x = 3$ hoặc $x = 1/5$ .

Kết luận

Việc nắm vững phương pháp nhóm hạng tử là chìa khóa để giải quyết hiệu quả các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử. Thông qua việc luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập đa dạng từ sách giáo khoa, học sinh có thể nâng cao kỹ năng tư duy toán học, khả năng nhận diện cấu trúc và áp dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Chúc các em học tốt!

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.