Giải Toán 7 Tập 1 Trang 10: Tập Hợp Q Các Số Hữu Tỉ (Sách Cánh Diều – Chi Tiết & Chuyên Sâu)

Bắt đầu hành trình khám phá thế giới số học lớp 7 với bài viết chuyên sâu về giải toán 7 tập 1 trang 10 và trang 11, thuộc Bài 1: Tập hợp Q các Số hữu tỉ trong sách Toán Cánh Diều. Bài học này là nền tảng quan trọng giúp học sinh nắm vững khái niệm số hữu tỉ, cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số, và kỹ năng so sánh số hữu tỉ cơ bản. Nắm chắc kiến thức nền tảng này sẽ mở đường cho việc tiếp cận các chủ đề Toán học phức tạp hơn. Việc hiểu rõ bản chất của tập hợp $mathbb{Q}$ mang lại lợi thế lớn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đại số và hình học sau này.

Tổng Quan Về Tập Hợp Số Hữu Tỉ Q: Nền Tảng Chuyên Môn

Tập hợp các số hữu tỉ $mathbb{Q}$ là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong chương trình Toán học lớp 7. Việc nắm vững định nghĩa và tính chất của tập hợp này là yêu cầu tiên quyết để học tốt các chương tiếp theo. Số hữu tỉ lấp đầy những “lỗ hổng” còn lại trên trục số mà tập hợp số nguyên $mathbb{Z}$ không thể bao phủ.

Định Nghĩa Và Cấu Trúc Của Số Hữu Tỉ

Số hữu tỉ được định nghĩa là những số có thể viết dưới dạng phân số $frac{a}{b}$. Điều kiện ràng buộc là $a, b$ phải là các số nguyên, và mẫu số $b$ phải khác 0. Định nghĩa này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa số hữu tỉ và phân số.

Mọi số nguyên, số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn đều có thể biểu diễn dưới dạng phân số. Do đó, chúng đều là các số hữu tỉ. Khái niệm này mở rộng phạm vi của các phép tính toán học mà học sinh đã biết từ trước.

Mối Quan Hệ Giữa Các Tập Hợp Số ($mathbb{N} subset mathbb{Z} subset mathbb{Q}$)

Việc xác định một số thuộc tập hợp nào là kỹ năng cốt lõi. Các tập hợp số học được xây dựng theo quan hệ bao hàm lẫn nhau, từ đơn giản đến phức tạp hơn.

Tập hợp số tự nhiên ($mathbb{N}$) là tập con của tập hợp số nguyên ($mathbb{Z}$). Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.

Tập hợp số nguyên ($mathbb{Z}$) lại là tập con của tập hợp số hữu tỉ ($mathbb{Q}$). Điều này là do mọi số nguyên $a$ đều có thể viết dưới dạng $frac{a}{1}$.

Chính vì vậy, nếu một số thuộc $mathbb{N}$ thì chắc chắn nó thuộc $mathbb{Z}$ và $mathbb{Q}$. Mối quan hệ này giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài toán xác định tập hợp.

Phương Pháp Nhận Biết Số Hữu Tỉ Nhanh Chóng

Để xác định một số có phải là số hữu tỉ hay không, phương pháp duy nhất là kiểm tra xem số đó có thể đưa về dạng phân số $frac{a}{b}$ với $a, b in mathbb{Z}$ và $b neq 0$ hay không. Các dạng số cần đặc biệt lưu ý bao gồm:

• Số nguyên: Luôn là số hữu tỉ (ví dụ: $13 = frac{13}{1}$, $-29 = frac{-29}{1}$).
• Số thập phân hữu hạn: Luôn là số hữu tỉ (ví dụ: $-2,1 = frac{-21}{10}$, $2,28 = frac{228}{100}$).
• Hỗn số: Luôn là số hữu tỉ (chuyển hỗn số thành phân số).
• Phân số: Luôn là số hữu tỉ theo định nghĩa.

Giải Bài 1 trang 10: Các số $13; -29; -2,1; 2,28; frac{-12}{-18}$ có là số hữu tỉ không? Vì sao?

Tất cả các số đã cho đều là số hữu tỉ. Ta tiến hành biểu diễn chúng dưới dạng phân số $frac{a}{b}$:

• $13 = frac{13}{1}$
• $-29 = frac{-29}{1}$
• $-2,1 = frac{-21}{10}$
• $2,28 = frac{228}{100}$ (hoặc rút gọn thành $frac{57}{25}$)
• $frac{-12}{-18} = frac{12}{18} = frac{2}{3}$

Do tất cả đều có thể viết dưới dạng $frac{a}{b}$ với $a, b in mathbb{Z}$ và $b neq 0$, chúng chính xác là các số hữu tỉ.

Khái Niệm Và Ứng Dụng Của Kí Hiệu Tập Hợp Trong Toán 7

Sử dụng chính xác các kí hiệu tập hợp “$in$” (thuộc) và “$notin$” (không thuộc) là một phần quan trọng trong Bài 1. Nó không chỉ là quy ước toán học mà còn là cách kiểm tra sự hiểu biết của học sinh về phạm vi của từng tập hợp số.

Phân Biệt Kí Hiệu “$in$” Và “$notin$”

Kí hiệu “$in$” được dùng khi một phần tử là thành viên của một tập hợp cụ thể. Ngược lại, “$notin$” biểu thị phần tử đó không thuộc tập hợp đang xét. Việc xác định tính “thuộc” đòi hỏi phải biết rõ định nghĩa và điều kiện của tập hợp đó ($mathbb{N}, mathbb{Z}, mathbb{Q}$).

Giải Bài 2 trang 10: Chọn kí hiệu “$in$”, “$notin$” thích hợp.

• a) $21$ ? $mathbb{Q}$: $21 = frac{21}{1}$. Vậy $21 in mathbb{Q}$.
• b) $-7$ ? $mathbb{N}$: $mathbb{N}$ chỉ bao gồm số tự nhiên (không âm). Vậy $-7 notin mathbb{N}$.
• c) $frac{5}{-7}$ ? $mathbb{Z}$: $frac{5}{-7}$ không phải là số nguyên (không có mẫu số bằng 1). Vậy $frac{5}{-7} notin mathbb{Z}$.
• d) $0$ ? $mathbb{Q}$: $0 = frac{0}{1}$. Vậy $0 in mathbb{Q}$.
• e) $-7,3$ ? $mathbb{Q}$: $-7,3 = frac{-73}{10}$. Vậy $-7,3 in mathbb{Q}$.
• g) $3frac{2}{9}$ ? $mathbb{Q}$: $3frac{2}{9} = frac{3 cdot 9 + 2}{9} = frac{29}{9}$. Vậy $3frac{2}{9} in mathbb{Q}$.

Kiểm Chứng Mối Quan Hệ Logic Giữa Các Tập Hợp

Các phát biểu logic liên quan đến quan hệ bao hàm ($subset$) giữa các tập hợp $mathbb{N}, mathbb{Z}, mathbb{Q}$ thường gây nhầm lẫn. Việc kiểm tra tính đúng/sai yêu cầu học sinh phải dựa trên định nghĩa đã học.

Giải Bài 3 trang 10: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

• a) Nếu $a in mathbb{N}$ thì $a in mathbb{Q}$: Đúng. Do $mathbb{N} subset mathbb{Q}$ ($frac{a}{1}$).
• b) Nếu $a in mathbb{Z}$ thì $a in mathbb{Q}$: Đúng. Do $mathbb{Z} subset mathbb{Q}$ ($frac{a}{1}$).
• c) Nếu $a in mathbb{Q}$ thì $a in mathbb{N}$: Sai. Ví dụ: $frac{1}{2} in mathbb{Q}$ nhưng $frac{1}{2} notin mathbb{N}$.
• d) Nếu $a in mathbb{Q}$ thì $a in mathbb{Z}$: Sai. Ví dụ: $frac{2}{5} in mathbb{Q}$ nhưng $frac{2}{5} notin mathbb{Z}$.
• e) Nếu $a in mathbb{N}$ thì $a notin mathbb{Q}$: Sai. Ngược lại, nếu $a in mathbb{N}$ thì $a in mathbb{Q}$.
• g) Nếu $a in mathbb{Z}$ thì $a notin mathbb{Q}$: Sai. Ngược lại, nếu $a in mathbb{Z}$ thì $a in mathbb{Q}$.

Phát biểu đúng là (a) và (b). Các phát biểu còn lại đều sai do không đảm bảo tính bao hàm ngược lại.

Các Dạng Bài Tập Trọng Tâm Về Trục Số và Số Đối

Trang 11 của sách Toán 7 Tập 1 Cánh Diều tập trung khai thác các kỹ năng liên quan đến trục số, bao gồm biểu diễn số hữu tỉ và tìm số đối. Đây là kiến thức cơ sở cho việc học về giá trị tuyệt đối sau này.

Biểu Diễn Số Hữu Tỉ Trên Trục Số

Số hữu tỉ được biểu diễn trên trục số bằng cách chia đoạn đơn vị thành nhiều phần bằng nhau. Cụ thể, số hữu tỉ $frac{a}{b}$ (với $b>0$) được xác định bằng cách chia đoạn đơn vị thành $b$ phần bằng nhau. Điểm biểu diễn sẽ nằm cách điểm 0 một khoảng bằng $| frac{a}{b} |$ đơn vị.

Giải Bài 4 trang 11: Quan sát trục số sau và cho biết các điểm A, B, C, D biểu diễn những số nào.

Quan sát trục số sau và cho biết các điểm A, B, C, D biểu diễn những số nào

Phân tích trục số cho thấy mỗi đoạn đơn vị (từ 0 đến 1, từ -1 đến 0) được chia thành 7 phần bằng nhau. Như vậy, đơn vị mới trên trục số là $frac{1}{7}$.

• Điểm A: Nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 là 9 đoạn đơn vị mới. Vậy $A$ biểu diễn số $-frac{9}{7}$.
• Điểm B: Nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 là 3 đoạn đơn vị mới. Vậy $B$ biểu diễn số $-frac{3}{7}$.
• Điểm C: Nằm bên phải điểm 0 và cách điểm 0 là 2 đoạn đơn vị mới. Vậy $C$ biểu diễn số $frac{2}{7}$.
• Điểm D: Nằm bên phải điểm 0 và cách điểm 0 là 6 đoạn đơn vị mới. Vậy $D$ biểu diễn số $frac{6}{7}$.

Các điểm $A, B, C, D$ lần lượt biểu diễn các số $-frac{9}{7}; -frac{3}{7}; frac{2}{7}; frac{6}{7}$.

Khái Niệm Và Kỹ Thuật Tìm Số Đối Của Số Hữu Tỉ

Số đối của một số hữu tỉ $x$ là số hữu tỉ $-x$. Hai số đối nhau có tổng bằng 0 và nằm đối xứng nhau qua điểm 0 trên trục số.

Nguyên tắc tìm số đối:

• Số đối của số dương là số âm tương ứng (ví dụ: số đối của $frac{9}{25}$ là $-frac{9}{25}$).
• Số đối của số âm là số dương tương ứng (ví dụ: số đối của $-frac{8}{27}$ là $frac{8}{27}$).
• Số đối của 0 là chính nó (0).

Giải Bài 5 trang 11: Tìm số đối của mỗi số sau: $frac{9}{25}; -frac{8}{27}; -frac{15}{31}; frac{5}{-6}; 3,9; -12,5$.

• Số đối của $frac{9}{25}$ là $-frac{9}{25}$.
• Số đối của $-frac{8}{27}$ là $frac{8}{27}$.
• Số đối của $-frac{15}{31}$ là $frac{15}{31}$.
• Số đối của $frac{5}{-6}$ (tức $-frac{5}{6}$) là $frac{5}{6}$.
• Số đối của $3,9$ là $-3,9$.
• Số đối của $-12,5$ là $12,5$.

Biểu Diễn Số Đối Của Số Hữu Tỉ Trên Trục Số

Việc biểu diễn số đối trên trục số củng cố khái niệm đối xứng qua điểm gốc $O$. Mỗi điểm biểu diễn một số hữu tỉ và điểm đối xứng với nó qua $O$ sẽ biểu diễn số đối.

Giải Bài 6 trang 11: Biểu diễn số đối của mỗi số cho trên trục số sau:

Biểu diễn số đối của mỗi số cho trên trục số sau

Các số được cho là: $-frac{5}{6}; -frac{1}{3}; 0; 1; frac{7}{6}$.

Bước 1: Tìm số đối của từng số.

• Số đối của $-frac{5}{6}$ là $frac{5}{6}$.
• Số đối của $-frac{1}{3}$ là $frac{1}{3}$ (tức $frac{2}{6}$).
• Số đối của $0$ là $0$.
• Số đối của $1$ là $-1$ (tức $-frac{6}{6}$).
• Số đối của $frac{7}{6}$ là $-frac{7}{6}$.

Bước 2: Biểu diễn các số đối $frac{5}{6}; frac{1}{3}; 0; -1; -frac{7}{6}$ trên trục số.

Trên trục số, đơn vị được chia thành 6 phần bằng nhau.

• $frac{5}{6}$: cách 0 về phía dương 5 đoạn.
• $frac{1}{3} = frac{2}{6}$: cách 0 về phía dương 2 đoạn.
• $0$: ngay tại gốc tọa độ.
• $-1 = -frac{6}{6}$: cách 0 về phía âm 6 đoạn.
• $-frac{7}{6}$: cách 0 về phía âm 7 đoạn.

Biểu diễn số đối của mỗi số cho trên trục số sau

Kỹ Năng So Sánh Số Hữu Tỉ Cần Thiết Và Sắp Xếp

Kỹ năng so sánh số hữu tỉ là một trong những ứng dụng thực tế quan trọng nhất của Bài 1. Việc so sánh cho phép sắp xếp, đánh giá và giải quyết các bài toán bất đẳng thức.

Phương Pháp So Sánh Số Hữu Tỉ Chi Tiết

Có hai phương pháp so sánh số hữu tỉ phổ biến:

1. Quy đồng mẫu số: Đưa hai số hữu tỉ về dạng phân số có cùng mẫu số dương. Số hữu tỉ nào có tử số lớn hơn thì số đó lớn hơn.
2. Chuyển về số thập phân: Chuyển các số hữu tỉ về dạng số thập phân, sau đó so sánh theo quy tắc so sánh số thập phân.

Giải Bài 7 trang 11: So sánh:

• a) $2,4$ và $2frac{3}{5}$

  • Chuyển về phân số: $2,4 = frac{24}{10} = frac{12}{5}$. $2frac{3}{5} = frac{2 cdot 5 + 3}{5} = frac{13}{5}$.
  • Vì $frac{12}{5} < frac{13}{5}$, nên $2,4 < 2frac{3}{5}$.

• b) $-0,12$ và $-frac{2}{5}$

  • Chuyển về cùng mẫu số: $-0,12 = -frac{12}{100} = -frac{3}{25}$. $-frac{2}{5} = -frac{2 cdot 5}{5 cdot 5} = -frac{10}{25}$.
  • So sánh tử số: $-3 > -10$. Vậy $-frac{3}{25} > -frac{10}{25}$, hay $-0,12 > -frac{2}{5}$.

• c) $-frac{2}{7}$ và $-0,3$

  • Chuyển về phân số: $-0,3 = -frac{3}{10}$.
  • Quy đồng mẫu số chung là $70$: $-frac{2}{7} = frac{-2 cdot 10}{70} = -frac{20}{70}$. $-frac{3}{10} = frac{-3 cdot 7}{70} = -frac{21}{70}$.
  • So sánh tử số: $-20 > -21$. Vậy $-frac{20}{70} > -frac{21}{70}$, hay $-frac{2}{7} > -0,3$.

Kỹ Thuật Sắp Xếp Số Hữu Tỉ Theo Thứ Tự

Để sắp xếp một tập hợp các số hữu tỉ, chúng ta cần đưa tất cả về cùng một dạng (phân số có mẫu dương hoặc số thập phân) và quy đồng mẫu (hoặc so sánh từng cặp số thập phân).

Giải Bài 8 trang 11:

• a) Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: $-frac{3}{7}; 0,4; -0,5; frac{2}{7}$.

  • Chuyển về cùng mẫu $70$:
    • $-frac{3}{7} = -frac{30}{70}$
    • $0,4 = frac{4}{10} = frac{28}{70}$
    • $-0,5 = -frac{5}{10} = -frac{35}{70}$
    • $frac{2}{7} = frac{20}{70}$
  • Sắp xếp tử số tăng dần: $-35 < -30 < 20 < 28$.
  • Thứ tự tăng dần: $-frac{35}{70} < -frac{30}{70} < frac{20}{70} < frac{28}{70}$.
  • Kết quả: $-0,5 < -frac{3}{7} < frac{2}{7} < 0,4$.

• b) Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần: $-frac{5}{6}; -0,75; -4,5; -1$.

  • Chuyển về phân số:
    • $-frac{5}{6}$
    • $-0,75 = -frac{75}{100} = -frac{3}{4}$
    • $-4,5 = -frac{45}{10} = -frac{9}{2}$
    • $-1 = -frac{1}{1}$
  • Quy đồng mẫu chung $12$:
    • $-frac{5}{6} = -frac{10}{12}$
    • $-frac{3}{4} = -frac{9}{12}$
    • $-frac{9}{2} = -frac{54}{12}$
    • $-1 = -frac{12}{12}$
  • Sắp xếp tử số giảm dần: $-9 > -10 > -12 > -54$.
  • Thứ tự giảm dần: $-frac{9}{12} > -frac{10}{12} > -frac{12}{12} > -frac{54}{12}$.
  • Kết quả: $-0,75 > -frac{5}{6} > -1 > -4,5$.

Ứng Dụng Thực Tế Của Số Hữu Tỉ Trong Đo Lường Và Xây Dựng

Các bài tập cuối trang 11 sách Toán 7 Cánh Diều giúp học sinh thấy được ứng dụng thực tế của số hữu tỉ trong cuộc sống hàng ngày, đặc biệt trong các phép đo lường và tính toán định mức.

Đo Lường Khối Lượng và Độ Chính Xác

Trong đo lường thực tế (cân nặng, chiều cao, dung tích), các số đo thường là số thập phân, tức là số hữu tỉ. Khả năng đọc và hiểu giá trị từ các vạch chia trên dụng cụ đo là một kỹ năng quan trọng.

Giải Bài 9 trang 11: Bạn Linh đang cân khối lượng của mình (Hình 6). Khi nhìn vị trí mà chiếc kim chỉ vào, bạn Minh đọc số đo là 47,15 kg, bạn Dương đọc số đo là 47,3 kg, bạn Quân đọc số đo là 47,65 kg. Bạn nào đã đọc đúng số đo?

Bạn Linh đang cân khối lượng của mình Hình 6, ở đó các vạch ghi 46 và 48

Phân tích hình ảnh chiếc cân:

1. Khoảng cách từ vạch 47 kg đến 48 kg được chia thành 10 đoạn nhỏ.
2. Mỗi đoạn nhỏ tương ứng với $frac{48 – 47}{10} = 0,1$ kg.
3. Kim chỉ của chiếc cân đang nằm ở vạch thứ 3 sau vạch 47 kg.
4. Do đó, số đo chính xác là $47 + 3 times 0,1 = 47,3$ kg.

Vậy, bạn Dương đã đọc đúng số đo.

Lựa Chọn Định Mức Xây Dựng Dựa Trên So Sánh Số Hữu Tỉ

Trong kỹ thuật và xây dựng, việc lựa chọn kích thước, vật liệu thường phải dựa trên các tiêu chuẩn tối thiểu (định mức). Điều này đòi hỏi phải so sánh các số hữu tỉ (số thập phân hoặc phân số) để đảm bảo tiêu chí đã đặt ra.

Giải Bài 10 trang 11: Cô Hạnh dự định chọn chiều cao của tầng hầm lớn hơn $2frac{3}{5}$m. Em hãy giúp cô Hạnh chọn đúng số đo chiều cao của tầng hầm từ các lựa chọn: $2,3$ m; $2,35$ m; $2,4$ m; $2,55$ m; $2,5$ m; $2,75$ m.

Cô Hạnh dự định xây tầng hầm cho ngôi nhà của gia đình. Một công ty tư vấn xây dựng đã cung cấp cho cô Hạnh lựa chọn

Yêu cầu: Chiều cao tầng hầm $(h)$ phải lớn hơn $2frac{3}{5}$ m, tức $h > 2frac{3}{5}$.

Bước 1: Chuyển đổi hỗn số sang số thập phân để tiện so sánh.
$$2frac{3}{5} = 2 + frac{3}{5} = 2 + 0,6 = 2,6 text{ m}$$

Bước 2: So sánh tiêu chuẩn $2,6$ m với các lựa chọn.

Chỉ có $2,75$ m là số đo lớn hơn $2,6$ m.

Vậy, số đo chiều cao của tầng hầm cô Hạnh cần chọn là $mathbf{2,75}$ m.

Bài viết đã cung cấp lời giải toán 7 tập 1 trang 10 và trang 11 một cách chi tiết, kèm theo phân tích chuyên sâu về lý thuyết Tập hợp Q các số hữu tỉ. Nền tảng vững chắc về tập hợp $mathbb{Q}$, kỹ năng biểu diễn số đối và so sánh số hữu tỉ không chỉ giúp học sinh hoàn thành bài tập một cách chính xác mà còn trang bị tư duy logic cần thiết cho các kiến thức Toán học phức tạp hơn. Việc áp dụng linh hoạt các phương pháp chuyển đổi số sẽ là chìa khóa để làm chủ toàn bộ Bài 1 này.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 30, 2025 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.