BÀI TẬP GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH: HƯỚNG DẪN CHI TIẾT VÀ BÀI TẬP VÍ DỤ

by Thầy Đông · January 9, 2026

Rate this post

Để thành thạo việc giải các dạng bài tập giải toán bằng cách lập phương trình, học sinh cần nắm vững quy trình, các kiến thức nền tảng và rèn luyện qua nhiều dạng bài khác nhau. Bài viết này cung cấp một lộ trình chi tiết, từ phân tích yêu cầu, áp dụng công thức đến những mẹo hữu ích, giúp các em tự tin chinh phục dạng toán này. Chúng ta sẽ cùng khám phá cách biến các bài toán thực tế thành những phương trình toán học chặt chẽ.

Đề Bài

Dưới đây là tổng hợp các bài toán thực tế, được trích dẫn từ các đề thi học kỳ, giúp các em luyện tập kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình.

Bài 1. (Đề thi học kì II trường Marie Curie năm 2015 – 2016)
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 5m. Nếu giảm chiều dài đi 5m và giảm chiều rộng đi 4m thì diện tích mảnh đất giảm đi 180m². Tính diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu.

Bài 2: (Đề thi học kì II trường THCS Trưng Vương năm 2017 – 2018)
Lúc 6 giờ 15 phút, một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Khi đến B, ô tô dừng lại nghỉ trong 2 giờ rồi quay trở về A với vận tốc 40 km/h. Ô tô về đến A lúc 15 giờ cùng ngày. Tính quãng đường AB.

Bài 3: (Đề thi học kì II quận Ba Đình năm 2017 – 2018)
Một người đi xe máy dự định từ A đến B trong thời gian nhất định. Sau khi đi được nửa quãng đường với vận tốc 30 km/h thì người đó đi tiếp nửa quãng đường còn lại với vận tốc 36 km/h do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi quãng đường AB.

Bài 4. (Đề thi học kì II trường Marie Curie năm 2016 – 2017)
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h, lúc về người đó đi trên con đường khác dài hơn 15km. Vì lúc về đường đi dễ hơn nên người đó đi với vận tốc 40km/h, do vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB.

Bài 5 (Đề thi học kì II trường THCS Lương Thế Vinh năm 2018 – 2019)
Một xe máy và một ô tô cùng khởi hành từ tỉnh A đi đến tỉnh B. Xe máy đi với vận tốc 30km/h, ô tô đi với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được $\frac{1}{2}$ quãng đường AB, ô tô tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại, do đó nó đến tỉnh B sớm hơn xe máy 1 giờ 10 phút. Tính độ dài quãng đường AB.

Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe tải đi với vận tốc 30 km/h, xe con đi với vận tốc 45 km/h. Sau khi đi được $\frac{3}{4}$ quãng đường AB, xe con tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB, biết rằng xe con đến tỉnh B sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút.

Bài 7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến B với vận tốc 40km/h. Sau 1 giờ 30 phút, một chiếc xe con cũng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60km/h. Hai xe gặp nhau khi chúng đi được nửa quãng đường AB. Tính quãng đường AB.

Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60 km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.

Bài 9: (Đề thi học kì II trường THCS Hà Nội chuyên Amsterdam năm 2016 – 2017)
Một chiếc ca nô đi xuôi dòng nước từ A đến B hết 1 giờ 10 phút, sau đó ngược dòng nước từ B về A mất 1 giờ 30 phút. Biết vận tốc riêng của ca nô lúc đi xuôi và lúc đi ngược dòng nước là như nhau và vận tốc dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô.

Bài 10: (Đề thi học kì II trường Lê Lợi năm 2018 – 2019)
Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 24 giờ. Nếu đội thứ nhất làm 10 giờ, đội thứ hai làm 15 giờ thì cả hai làm được một nửa công việc. Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong công việc đó.

Bài 11: (Đề thi học kì II trường THCS Lê Quý Đôn năm 2017 – 2018)
Một lâm trường lập kế hoạch trồng rừng với dự định mỗi tuần trồng 35 ha. Do mỗi tuần trồng vượt mức 5ha so với kế hoạch nên không những trồng thêm 20ha mà còn hoàn thành sớm trước 2 tuần. Hỏi lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng?

Bài 12: (Đề thi học kì II trường Đoàn Thị Điểm năm 2017 – 2018)
Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Nhờ cải tiến kỹ thuật, tổ dã may được mỗi ngày thêm 10 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày ngoài ra còn may thêm được 20 chiếc áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch.

Bài 13: (Đề thi học kì II trường THCS Nguyễn Trường Tộ năm 2018 – 2019)
Một tổ may sản xuất dự định làm 36 sản phẩm trong 1 ngày. Khi thực hiện tổ đã vướt mức dự định 4 sản phẩm mỗi ngày, vì vậy không những tổ đã hoàn thành công việc sớm 5 ngày và còn làm thêm được 4 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm mà tổ phải hoàn thành theo kế hoạch.

Bài 14 (Đề thi học kì II trường Marie Curie năm 2018 – 2019)
Một đội sản xuất dự định mỗi ngày hoàn thành 50 sản phẩm, nhưng thực tế đã vượt mức mỗi ngày 10 sản phẩm, vì vậy không những hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày mà còn sản xuất thêm được 30 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch đội phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Bài 15: (Đề thi học kì II trường THCS Hà Nội chuyên Amsterdam năm 2017 – 2018)
Để đóng xong một số sách trong một thời gian dự định, một chị công nhân dự định đóng mỗi ngày được 100 cuốn sách. Nhờ phát huy sáng kiến nên chị đã đóng được 120 cuốn mỗi ngày. Do vậy không những chị đã hoàn thành công việc trước 1 ngày mà còn đóng thêm 50 cuốn nữa. Tính xem chị công nhân đã đóng được bao nhiêu cuốn?

Bài 16: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một tổ sản xuất được giao làm một số sản phẩm và dự định mỗi ngày làm 30 sản phẩm. Nhưng thực tế năng suất của tổ đã tăng 10%. Vì vậy tổ không những hoàn thành số sản phẩm được giao trước kế hoạch 2 ngày mà còn làm thêm được 15 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm mà tổ phải làm theo kế hoạch.

Phân Tích Yêu Cầu Chung

Các bài toán này đều yêu cầu tìm một hoặc nhiều đại lượng chưa biết (quãng đường, vận tốc, thời gian, số lượng sản phẩm, diện tích,…) dựa trên các mối quan hệ được mô tả trong đề bài. Điểm mấu chốt là xác định đúng các đại lượng đã biết, chưa biết và mối liên hệ giữa chúng để thiết lập một phương trình toán học chính xác. Việc lập phương trình đúng là yếu tố quyết định để đi đến đáp án cuối cùng.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập giải toán bằng cách lập phương trình, chúng ta cần nắm vững các công thức cơ bản trong các lĩnh vực liên quan, cụ thể:

1. Công thức Chuyển động (Vận tốc – Quãng đường – Thời gian)

Quãng đường = Vận tốc $\times$ Thời gian
$S = v \times t$
Vận tốc = Quãng đường / Thời gian
$v = \frac{S}{t}$
Thời gian = Quãng đường / Vận tốc
$t = \frac{S}{v}$
Vận tốc riêng của tàu/ca nô khi xuôi dòng: Vận tốc tàu/ca nô (khi nước yên lặng) + Vận tốc dòng nước.
$v<em>{\text{xuôi}} = v</em>{\text{riêng}} + v_{\text{nước}}$
Vận tốc riêng của tàu/ca nô khi ngược dòng: Vận tốc tàu/ca nô (khi nước yên lặng) – Vận tốc dòng nước.
$v<em>{\text{ngược}} = v</em>{\text{riêng}} - v_{\text{nước}}$

2. Công thức về Diện tích

Diện tích hình chữ nhật: Chiều dài $\times$ Chiều rộng
$S = \text{dài} \times \text{rộng}$

3. Công thức về Năng suất (Công việc)

Khối lượng công việc = Năng suất $\times$ Thời gian
$V = N \times t$
Năng suất = Khối lượng công việc / Thời gian
$N = \frac{V}{t}$
Thời gian = Khối lượng công việc / Năng suất
$t = \frac{V}{N}$

4. Quy tắc thực hiện phép tính và đơn vị đo

Đảm bảo các đơn vị đo trong phương trình phải nhất quán (ví dụ: km, m, giờ, phút). Cần đổi đơn vị nếu đề bài cho không đồng nhất.
Thứ tự ưu tiên phép tính (trong ngoặc, lũy thừa, nhân/chia, cộng/trừ).

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Quy trình chung để giải bài tập giải toán bằng cách lập phương trình bao gồm các bước sau:

Bước 1: Đọc kỹ và phân tích đề bài

Xác định rõ yêu cầu của đề bài: Cần tìm đại lượng nào?
Tìm hiểu các thông tin, dữ kiện đã cho: Các số liệu, mối quan hệ giữa các đại lượng.
Lưu ý các đơn vị đo lường để quy đổi nếu cần.

Bước 2: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn (thường là đại lượng mà đề bài hỏi hoặc đại lượng có liên quan trực tiếp đến các đại lượng khác).
Đặt tên cho ẩn (ví dụ: $x$ ).
Xác định điều kiện cho ẩn dựa trên ngữ cảnh thực tế (ví dụ: vận tốc, quãng đường, thời gian phải dương; số lượng sản phẩm phải là số nguyên dương).

Bước 3: Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn

Dựa vào mối quan hệ đã cho trong đề bài, biểu diễn các đại lượng còn lại dưới dạng biểu thức chứa ẩn $x$ .

Bước 4: Lập phương trình

Sử dụng các dữ kiện còn lại của đề bài để thiết lập một phương trình liên hệ giữa các đại lượng đã biểu diễn. Đây là bước quan trọng nhất, cần sự suy luận logic.

Bước 5: Giải phương trình

Sử dụng các kiến thức đại số để giải phương trình vừa lập được, tìm giá trị của ẩn $x$ .

Bước 6: Đối chiếu điều kiện và trả lời

Kiểm tra xem giá trị của ẩn có thỏa mãn điều kiện đặt ra ở Bước 2 hay không.
Nếu giá trị của ẩn thỏa mãn, kết luận về đại lượng cần tìm.
Nếu giá trị của ẩn không thỏa mãn, xem xét lại các bước trên hoặc có thể đề bài không có nghiệm.

Áp dụng vào các bài toán ví dụ:

Ví dụ 1: Bài 1 (Diện tích)

Phân tích: Chiều dài hơn chiều rộng, khi giảm kích thước thì diện tích thay đổi. Yêu cầu tính diện tích ban đầu.
Đặt ẩn: Gọi chiều rộng ban đầu là $x$ (m), điều kiện $x > 0$ .
Chiều dài ban đầu: $x+5$ (m).
Diện tích ban đầu: $x(x+5)$ (m²).
Biểu diễn:
Chiều dài sau khi giảm: katex – 5 = x[/katex] (m).
Chiều rộng sau khi giảm: $x - 4$ (m).
Diện tích sau khi giảm: $x(x-4)$ (m²).
Lập phương trình: Diện tích giảm 180m², nên:
$x(x+5) - x(x-4) = 180$
Giải phương trình:
$x^2 + 5x - (x^2 - 4x) = 180$
$x^2 + 5x - x^2 + 4x = 180$
$9x = 180$
$x = 20$
Đối chiếu và kết luận: $x=20$ thỏa mãn $x>0$ .
Chiều rộng ban đầu: 20m.
Chiều dài ban đầu: $20+5=25$ m.
Diện tích ban đầu: $20 \times 25 = 500$ m².
Đáp án: Diện tích ban đầu là 500 m².

Ví dụ 2: Bài 2 (Chuyển động)

Phân tích: Ô tô đi từ A đến B, nghỉ, rồi về A. Biết thời gian đi, nghỉ, về, vận tốc đi, vận tốc về. Yêu cầu tính quãng đường AB.
Đặt ẩn: Gọi quãng đường AB là $x$ (km), điều kiện $x > 0$ .
Biểu diễn:
Thời gian đi từ A đến B: $\frac{x}{50}$ (giờ).
Thời gian đi từ B về A: $\frac{x}{40}$ (giờ).
Thời gian nghỉ: 2 giờ.
Tổng thời gian đi và về (không tính nghỉ): 15 giờ – 6 giờ 15 phút = 8 giờ 45 phút = $8frac{3}{4}$ giờ.
Tổng thời gian theo đề bài (bao gồm nghỉ): $8frac{3}{4} + 2 = 10frac{3}{4}$ giờ. Lưu ý: Đề gốc tính tổng thời gian đã bao gồm nghỉ, nhưng bài giải lại lấy 8h45p làm tổng thời gian đi và về. Ta sẽ theo bài giải gốc để đảm bảo tính nhất quán nội bộ của ví dụ này.
Thời gian ô tô đi và về (theo bài giải): $8frac{3}{4}$ giờ.
Lập phương trình: Tổng thời gian đi và về bằng thời gian quy định (không tính thời gian nghỉ).
$\frac{x}{50} + \frac{x}{40} = 8frac{3}{4}$
Giải phương trình:
Quy đồng: $\frac{4x + 5x}{200} = \frac{35}{4}$
$\frac{9x}{200} = \frac{35}{4}$
$9x = \frac{35 \times 200}{4}$
$9x = 35 \times 50$
$9x = 1750$
$x = \frac{1750}{9}$
Kiểm tra lại đề gốc và bài giải: Bài giải gốc ghi “Thời gian cả đi và về của ô tô là: 15 giờ – 6 giờ 15 phút = 8 giờ 45 phút = $8frac{3}{4}$ giờ”. Sau đó lập phương trình $\frac{x}{50}+2+\frac{x}{40}=8frac{3}{4}$ . Điều này có nghĩa là tổng thời gian (đi + nghỉ + về) là $8frac{3}{4}$ giờ. Tuy nhiên, 15:00 – 6:15 = 8 giờ 45 phút. Thời gian nghỉ là 2 giờ. Vậy tổng thời gian đi + về là $8frac{3}{4} - 2 = 6frac{3}{4}$ giờ.
Phương trình đúng phải là: $\frac{x}{50} + \frac{x}{40} = 6frac{3}{4}$
$\frac{4x + 5x}{200} = \frac{27}{4}$
$\frac{9x}{200} = \frac{27}{4}$
$9x = \frac{27 \times 200}{4}$
$9x = 27 \times 50$
$x = 3 \times 50 = 150$
Đối chiếu và kết luận: $x=150$ thỏa mãn $x>0$ .
Đáp án: Quãng đường AB dài 150 km. (Phần này đã chỉnh sửa để logic với đề bài và kết quả của bài giải gốc).

Ví dụ 3: Bài 10 (Công việc)

Phân tích: Hai đội làm chung, và một phần công việc của mỗi đội. Yêu cầu tìm thời gian mỗi đội làm một mình.
Đặt ẩn: Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong công việc là $x$ (giờ), điều kiện $x>0$ .
Gọi thời gian đội thứ hai làm một mình xong công việc là $y$ (giờ), điều kiện $y>0$ .
Biểu diễn:
Năng suất đội 1: frac{1}{x}[/katex> (công việc/giờ).
Năng suất đội 2: frac{1}{y}[/katex> (công việc/giờ).
Năng suất chung hai đội: frac{1}{24}[/katex> (công việc/giờ).
Lập hệ phương trình:
Từ năng suất chung: frac{1}{x} + frac{1}{y} = frac{1}{24}[/katex> (1)
Từ dữ kiện thứ hai: 10 giờ đội 1 làm được 10 times frac{1}{x}[/katex>, 15 giờ đội 2 làm được 15 times frac{1}{y}[/katex>. Cả hai làm được 1/2 công việc:
frac{10}{x} + frac{15}{y} = frac{1}{2}[/katex> (2)
Giải hệ phương trình:
Đặt a = frac{1}{x}[/katex>, b = frac{1}{y}[/katex>.
Hệ trở thành:
begin{cases} a + b = frac{1}{24} 10a + 15b = frac{1}{2} end{cases}[/katex>
Nhân (1) với 10: 10a + 10b = frac{10}{24} = frac{5}{12}[/katex>
Trừ phương trình này cho (2):
(10a + 15b) - (10a + 10b) = frac{1}{2} - frac{5}{12}[/katex>
5b = frac{6-5}{12} = frac{1}{12}[/katex>
b = frac{1}{60}[/katex>
Thay b[/katex> vào (1): a + frac{1}{60} = frac{1}{24}[/katex>
a = frac{1}{24} - frac{1}{60} = frac{5-2}{120} = frac{3}{120} = frac{1}{40}[/katex>
Suy ra: x = frac{1}{a} = 40[/katex> và y = frac{1}{b} = 60[/katex>.
Đối chiếu và kết luận: x=40, y=60[/katex> đều dương, thỏa mãn điều kiện.
Đáp án: Đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình trong 40 giờ. Đội thứ hai hoàn thành công việc một mình trong 60 giờ.

Mẹo Kiểm Tra Kết Quả

Thế lại vào đề bài: Sau khi tìm được kết quả, hãy thế các giá trị tìm được vào các điều kiện ban đầu của đề bài để xem có thỏa mãn hay không. Ví dụ, với bài toán diện tích, tính lại chiều dài, chiều rộng, diện tích mới và kiểm tra xem diện tích có giảm đúng 180m² không.
Kiểm tra đơn vị: Đảm bảo tất cả các đại lượng trong phương trình có cùng đơn vị.
Tính hợp lý: Các kết quả tìm được (vận tốc, thời gian, quãng đường, số lượng) có hợp lý trong bối cảnh thực tế không? Ví dụ, vận tốc không thể âm hoặc quá lớn một cách phi thực tế.

Lỗi Hay Gặp

Sai sót trong việc đặt ẩn: Chọn ẩn không phù hợp hoặc biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn sai.
Nhầm lẫn đơn vị: Quên đổi đơn vị giờ/phút, km/m, dẫn đến phương trình sai.
Sai công thức: Áp dụng sai các công thức cơ bản về chuyển động, diện tích, năng suất.
Lỗi khi lập phương trình: Không chuyển đổi đúng mối quan hệ từ ngôn ngữ sang biểu thức toán học.
Lỗi giải phương trình: Sai sót trong các phép biến đổi đại số, quy đồng mẫu số, rút gọn biểu thức.
Quên kiểm tra điều kiện của ẩn: Đưa ra kết quả không phù hợp với thực tế (ví dụ: thời gian, quãng đường âm).

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi áp dụng phương pháp lập phương trình và giải chi tiết, các kết quả cho từng bài toán như sau:

Bài 1: Diện tích ban đầu là 500 m².
Bài 2: Quãng đường AB dài 150 km.
Bài 3: Quãng đường AB dài 60 km và thời gian dự định là 2 giờ.
Bài 4: Quãng đường AB dài 85 km.
Bài 5: Độ dài quãng đường AB là 120 km.
Bài 6: Quãng đường AB dài 200 km.
Bài 7: Quãng đường AB dài 360 km.
Bài 8: Vận tốc tàu tuần tra khi nước yên lặng là 22 km/h.
Bài 9: Vận tốc riêng của ca nô là 16 km/h.
Bài 10: Thời gian đội 1 làm một mình là 40 giờ, đội 2 là 60 giờ.
Bài 11: Lâm trường dự định trồng 700 ha rừng.
Bài 12: Số áo tổ phải may theo kế hoạch là 420 áo.
Bài 13: Số sản phẩm tổ phải hoàn thành theo kế hoạch là 1836 sản phẩm.
Bài 14: Đội phải sản xuất 750 sản phẩm theo kế hoạch.
Bài 15: Chị công nhân thực tế đã đóng được 900 cuốn sách.
Bài 16: Số sản phẩm tổ phải làm theo kế hoạch là 172 sản phẩm.

Việc thành thạo kỹ năng giải bài tập giải toán bằng cách lập phương trình không chỉ giúp các em đạt điểm cao trong học tập mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề, những kỹ năng vô cùng quan trọng trong cuộc sống. Hãy kiên trì luyện tập với các dạng bài khác nhau để nâng cao trình độ của mình.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 9, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.