Giải Toán 12 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, việc xác định tọa độ của các vectơ và các điểm đặc biệt như trung điểm hay trọng tâm là những kiến thức nền tảng quan trọng. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải các bài tập liên quan đến biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, giúp học sinh nắm vững phương pháp và áp dụng hiệu quả.
Đề Bài
Luyện tập 1 trang 68 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ u→=1;8;6; v→=−1;3;−2 và w→=0;5;4. Tìm tọa độ của vectơ u→−2v→+w→.
HĐ2 trang 68 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) và C(xC; yC; zC).
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C.
Phân Tích Yêu Cầu
Bài toán yêu cầu chúng ta thực hiện hai phần chính:
- Tính toán tọa độ của một vectơ được tạo thành từ các phép toán cộng, trừ và nhân với một số thực trên các vectơ đã cho.
- Xác định tọa độ của trung điểm một đoạn thẳng và trọng tâm của một tam giác dựa trên tọa độ của các đỉnh.
Các dữ kiện quan trọng bao gồm tọa độ của các vectơ u→, v→, w→ và tọa độ của các điểm A, B, C.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các định nghĩa và công thức sau đây trong không gian Oxyz:
Phép toán trên hai vectơ:
Cho hai vectơ a→ = (ax; ay; az) và b→ = (bx; by; bz).- Cộng hai vectơ: a→ + b→ = (ax + bx; ay + by; az + bz)
- Trừ hai vectơ: a→ – b→ = (ax – bx; ay – by; az – bz)
- Nhân vectơ với một số thực: k.a→ = (k.ax; k.ay; k.az), với k là một số thực.
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng:
Cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; bz). Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì tọa độ của M là:
M = (xA+xB2; yA+yB2; zA+zB2)Tọa độ trọng tâm của tam giác:
Cho tam giác ABC với các đỉnh A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) và C(xC; yC; zC). Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, thì tọa độ của G là:
G = (xA+xB+xC3; yA+yB+yC3; zA+zB+zC3)
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Luyện tập 1 trang 68: Tính toán tọa độ vectơ
Chúng ta cần tìm tọa độ của vectơ u→−2v→+w→.
Đầu tiên, ta tính tọa độ của vectơ 2v→:
2vec{v} = 2 \cdot (-1; 3; -2) = (-2; 6; -4)
Tiếp theo, ta thực hiện phép trừ và cộng các vectơ:
vec{u} - 2vec{v} + vec{w} = (1; 8; 6) - (-2; 6; -4) + (0; 5; 4)
= (1 - (-2) + 0; 8 - 6 + 5; 6 - (-4) + 4)
= (1 + 2 + 0; 8 - 6 + 5; 6 + 4 + 4)
= (3; 7; 14)
Vậy, tọa độ của vectơ u→−2v→+w→ là (3; 7; 14).
Mẹo kiểm tra:
Sau khi tính toán, bạn có thể kiểm tra lại bằng cách thực hiện phép tính từng thành phần một cách cẩn thận để tránh sai sót dấu hoặc số.
Lỗi hay gặp:
Sai sót trong phép trừ hoặc cộng các số âm, hoặc quên nhân hệ số 2 với tất cả các thành phần của vectơ v→.
HĐ2 trang 68: Tọa độ trung điểm và trọng tâm
a) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
Cho A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB). M là trung điểm của AB.
Áp dụng công thức trung điểm:
M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}\right)
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:
Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) và C(xC; yC; zC). G là trọng tâm của tam giác ABC.
Áp dụng công thức trọng tâm:
G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)
Mẹo kiểm tra:
Đối với trung điểm, bạn có thể kiểm tra bằng cách tính khoảng cách từ M đến A và từ M đến B, chúng phải bằng nhau. Đối với trọng tâm, bạn có thể vẽ hình minh họa để kiểm tra vị trí tương đối của G.
Lỗi hay gặp:
Nhầm lẫn công thức trung điểm và trọng tâm, hoặc sai sót trong quá trình cộng các tọa độ.
Đáp Án/Kết Quả
Luyện tập 1 trang 68: Tọa độ của vectơ u→−2v→+w→ là (3; 7; 14).
HĐ2 trang 68:
a) Tọa độ của trung điểm M của đoạn thẳng AB là M(xA+xB2; yA+yB2; zA+zB2).
b) Tọa độ của trọng tâm G của tam giác ABC là G(xA+xB+xC3; yA+yB+yC3; zA+zB+zC3).
Kết Luận
Việc nắm vững các công thức tính tọa độ trung điểm, trọng tâm và các phép toán vectơ trong không gian Oxyz là chìa khóa để giải quyết hiệu quả các bài toán hình học không gian. Bài viết đã trình bày chi tiết các bước giải và công thức cần thiết, giúp học sinh tự tin chinh phục dạng bài này trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 14, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
