Giải Toán 11 trang 122 Tập 1 Kết nối tri thức

by Thầy Đông · January 8, 2026

Rate this post

Giải Toán 11 trang 122 Tập 1 trong Bài 17: Hàm số liên tục thuộc bộ sách Kết nối tri thức là nguồn tài liệu hữu ích, cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập. Bài viết tập trung vào giải toán 11 trang 122, giúp học sinh nắm vững kiến thức về tính liên tục của hàm số, áp dụng vào các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Đề Bài

Vận dụng trang 122 Toán 11 Tập 1: Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là va = 160/3 = 60 (km/h).
Gọi v(t) là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm t.
Tại thời điểm xuất phát t0, vận tốc của xe v(t0) = 0 nên có một thời điểm t1 xe chạy với vận tốc v(t1) > va.
Xét hàm số f(t) = v(t) – va, rõ ràng f(t) là hàm số liên tục trên đoạn [t0; t1].
Hơn nữa, ta có f(t0) = – va < 0, f(t1) = v(t1) – va > 0 (do v(t1) > va), nên tồn tại thời điểm t thuộc khoảng (t0; t1) sao cho f(t) = 0. Khi đó ta có v(t) – va = 0 hay v(t) = va = 60.
Vậy có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Bài 5.14 trang 122 Toán 11 Tập 1: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 2 và $lim_{x \to 1} (2f(x) - g(x)) = 3$ . Tính g(1).

Bài 5.15 trang 122 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) f(x) = $\frac{x}{x^2+5x+6}$ ;
b) $f(x) = \begin{cases} 1+x^2 & \text{if } x < 1 4-x & \text{if } x \ge 1 \end{cases}[/katex] Bài 5.16 trang 122 Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị của tham số m để hàm số [katex]f(x) = \begin{cases} \sin x & \text{if } x > 0 -x+m & \text{if } x \le 0 \end{cases}$ liên tục trên $mathbb{R}$ .

Bài 5.17 trang 122 Toán 11 Tập 1: Một bảng giá cước taxi được cho như sau:
| Giá mở cửa (0,5 km đầu) | Giá cước các km tiếp theo đến 30 km | Giá cước từ km thứ 31 |
|---|---|---|
| 10 000 đồng | 13 500 đồng | 11 000 đồng |
a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài toán trong phần này chủ yếu yêu cầu:

Áp dụng Định lý giá trị trung gian: Đặc biệt cho các bài toán chứng minh sự tồn tại của một giá trị thỏa mãn điều kiện nào đó dựa trên tính liên tục (Vận dụng trang 122).
Tính liên tục của hàm số: Xác định xem một hàm số có liên tục tại một điểm hoặc trên một khoảng hay không.
Tìm tham số để hàm số liên tục: Sử dụng điều kiện liên tục tại một điểm để tìm giá trị của tham số.
Xây dựng và xét tính liên tục của hàm số cho trước theo bảng/quy tắc: Biểu diễn mối quan hệ thực tế dưới dạng hàm số và phân tích tính liên tục của nó.

Thông qua các bài tập này, học sinh sẽ rèn luyện khả năng nhận diện và áp dụng định nghĩa, tính chất của hàm số liên tục trong các ngữ cảnh toán học khác nhau.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm: Một hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x0$ nếu $\lim{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ . Điều này đòi hỏi ba điều kiện phải được thỏa mãn:
- $f(x_0)$ xác định.
- $lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại.
- $lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ .
Hàm số liên tục trên một khoảng: Một hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Tính chất của các hàm số sơ cấp:
- Hàm đa thức luôn liên tục trên $mathbb{R}$ .
- Hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của nó.
- Các hàm lượng giác ( $\sin x, \cos x, \tan x, \cot x$ ) và hàm mũ, logarit liên tục trên tập xác định của chúng.
- Hàm căn bậc hai $\sqrt{x}$ liên tục trên tập xác định $[0; +\infty)$ .
Các phép toán trên hàm số liên tục: Nếu hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ , thì các hàm số $f(x) \pm g(x)$ , $f(x) \cdot g(x)$ , $\frac{f(x)}{g(x)}$ (nếu $g(x_0) \ne 0$ ) cũng liên tục tại $x_0$ .
Định lý giá trị trung gian: Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f(a)$ , $f(b)$ trái dấu nhau (tức là $f(a) \cdot f(b) < 0[/katex]), thì tồn tại ít nhất một điểm [katex]c in (a; b)[/katex] sao cho [katex]f(c) = 0[/katex]. Mở rộng hơn, nếu [katex]f(x)[/katex] liên tục trên [katex][a; b][/katex] và [katex]M[/katex] là một số nằm giữa [katex]f(a)[/katex] và [katex]f(b)[/katex], thì tồn tại [katex]c in (a; b)[/katex] sao cho [katex]f(c) = M[/katex]. </li> <li> Cấu trúc hàm số cho trước theo từng khoảng (Hàm số piecewise): Khi xét tính liên tục của hàm số dạng này, ta cần kiểm tra tính liên tục trên từng khoảng xác định riêng biệt và đặc biệt là tại các điểm nối giữa các khoảng đó. </li> </ol> <h2>Hướng Dẫn Giải Chi Tiết</h2> <h3>Vận dụng trang 122: Vận tốc xe</h3> <ul> <li>Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu chứng minh rằng có ít nhất một thời điểm mà vận tốc tức thời của xe bằng vận tốc trung bình.</li> <li>Kiến thức cần dùng: Định lý giá trị trung gian.</li> <li>Hướng dẫn giải: <ul> <li>Ta có vận tốc trung bình [katex]v_a = \frac{160}{3} = 60$ km/h.
Gọi $v(t)$ là hàm biểu thị vận tốc tức thời của xe tại thời điểm $t$ .
Tại thời điểm xuất phát $t_0$ , vận tốc $v(t_0) = 0$ .
Theo giả thiết, tồn tại thời điểm $t_1$ mà $v(t_1) > v_a$ .
Xét hàm số $f(t) = v(t) - v_a$ . Hàm $v(t)$ thường được giả định là liên tục trong các bài toán vật lý thực tế (trừ khi có sự cố đột ngột). Do đó, $f(t)$ cũng liên tục trên đoạn $[t_0; t_1]$ .
Ta có: $f(t_0) = v(t_0) - v_a = 0 - 60 = -60 < 0[/katex].</li> <li>Và: [katex]f(t_1) = v(t_1) - v_a > 0$ (vì $v(t_1) > v_a$ ).
Vì $f(t)$ liên tục trên $[t_0; t_1]$ và $f(t_0)$ trái dấu với $f(t_1)$ , theo Định lý giá trị trung gian, tồn tại ít nhất một thời điểm $t^ in (t_0; t_1)$ sao cho $f(t^) = 0$ .
Điều này có nghĩa là $v(t^) - v_a = 0$ , hay $v(t^) = v_a = 60$ km/h.
Mẹo kiểm tra: Định lý giá trị trung gian cho phép ta suy luận về sự tồn tại của một giá trị mà không cần tìm chính xác nó. Điều quan trọng là hàm số phải liên tục và hai giá trị tại hai đầu mút phải trái dấu nhau.
Lỗi hay gặp: Giả định hàm vận tốc liên tục có thể không đúng trong mọi trường hợp vật lý cực đoan, nhưng trong khuôn khổ bài toán này, đây là giả định hợp lý.

Bài 5.14: Tính g(1) khi f(x), g(x) liên tục tại x=1

Phân tích yêu cầu: Tìm giá trị $g(1)$ dựa trên thông tin về $f(1)$ và giới hạn của một biểu thức liên quan đến $f(x)$ và $g(x)$ tại $x=1$ .
Kiến thức cần dùng: Tính chất của hàm số liên tục tại một điểm và các phép toán trên hàm số liên tục.
Hướng dẫn giải:
- Ta có các hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục tại $x=1$ .
- Suy ra hàm số $2f(x)$ cũng liên tục tại $x=1$ .
- Do đó, hàm số $y = 2f(x) - g(x)$ là hiệu của hai hàm số liên tục tại $x=1$ , nên nó cũng liên tục tại $x=1$ .
- Theo định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, ta có: $lim_{x \to 1} (2f(x) - g(x)) = 2f(1) - g(1)$ .
- Đề bài cho $lim_{x \to 1} (2f(x) - g(x)) = 3$ và $f(1) = 2$ .
- Thay vào phương trình trên, ta được: $3 = 2 \cdot f(1) - g(1)$ .
- $3 = 2 \cdot 2 - g(1)$ .
- $3 = 4 - g(1)$ .
- $g(1) = 4 - 3 = 1$ .
Mẹo kiểm tra: Nếu $f$ và $g$ liên tục tại $x_0$ , thì mọi tổ hợp tuyến tính của chúng cũng liên tục tại $x_0$ .
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa giới hạn và giá trị hàm số tại điểm, hoặc không nhận ra mối liên hệ trực tiếp giữa giới hạn của biểu thức và giá trị của biểu thức tại điểm khi hàm số liên tục.

Bài 5.15: Xét tính liên tục của các hàm số

a) $f(x) = \frac{x}{x^2+5x+6}$

Phân tích yêu cầu: Xác định tập xác định của hàm số và xét tính liên tục của nó trên tập xác định này.
Kiến thức cần dùng: Hàm phân thức hữu tỉ, tìm tập xác định, tính liên tục của hàm phân thức.
Hướng dẫn giải:
- Hàm số $f(x)$ là một hàm phân thức hữu tỉ.
- Tập xác định của hàm số được xác định khi mẫu số khác 0: $x^2+5x+6 \ne 0$ .
- Ta phân tích mẫu số thành nhân tử: $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$ .
- Do đó, katex(x+3) ne 0[/katex] khi $x \ne -2$ và $x \ne -3$ .
- Tập xác định của hàm số là $D = mathbb{R} setminus {-3; -2}$ , có thể viết dưới dạng các khoảng: $(-\infty; -3) cup (-3; -2) cup (-2; +\infty)$ .
- Vì $f(x)$ là hàm phân thức hữu tỉ, nó liên tục trên toàn bộ tập xác định của mình.
Đáp án/Kết quả: Hàm số $f(x) = \frac{x}{x^2+5x+6}$ liên tục trên các khoảng $(-\infty; -3)$ , $(-3; -2)$ , và $(-2; +\infty)$ .
Lỗi hay gặp: Quên không tìm tập xác định hoặc xét tính liên tục trên các khoảng "mở" đã xác định.

b) Hàm số $f(x)$ cho bởi hai biểu thức

Phân tích yêu cầu: Xét tính liên tục của một hàm số cho dưới dạng hai biểu thức khác nhau tùy thuộc vào giá trị của biến $x$ .
Kiến thức cần dùng: Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, các phép toán trên hàm số liên tục, xét hàm số dạng piecewise.
Hướng dẫn giải:
- Ta xét tính liên tục trên từng khoảng xác định riêng:
 - Với $x < 1[/katex], [katex]f(x) = 1+x^2[/katex]. Đây là hàm đa thức nên nó liên tục trên khoảng [katex](-\infty; 1)[/katex].</li> <li>Với [katex]x > 1$ , $f(x) = 4-x$ . Đây là hàm đa thức nên nó liên tục trên khoảng $(1; +\infty)$ .
- Bây giờ, ta cần xét tính liên tục tại điểm nối x=1. Để hàm số liên tục tại x=1, ta cần thỏa mãn ba điều kiện:
 1. $f(1)$ xác định.
 2. $lim_{x \to 1} f(x)$ tồn tại.
 3. $lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ .
- Tính $f(1)$ : Theo quy tắc, khi $x \ge 1$ , ta dùng $f(x) = 4-x$ . Vậy $f(1) = 4-1 = 3$ .
- Tính giới hạn hai phía tại x=1:
 - Giới hạn bên phải: $\lim{x \to 1^+} f(x) = \lim{x \to 1^+} (4-x) = 4-1 = 3$ .
 - Giới hạn bên trái: $\lim{x \to 1^-} f(x) = \lim{x \to 1^-} (1+x^2) = 1+1^2 = 2$ .
- Vì $\lim{x \to 1^+} f(x) = 3$ và $\lim{x \to 1^-} f(x) = 2$ , hai giới hạn này không bằng nhau. Do đó, giới hạn $lim_{x \to 1} f(x)$ không tồn tại.
- Vì giới hạn tại $x=1$ không tồn tại, hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x=1$ .
Đáp án/Kết quả: Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$ , nhưng không liên tục tại $x=1$ .
Mẹo kiểm tra: Luôn tính giới hạn hai phía tại điểm nối và so sánh chúng với giá trị của hàm số tại điểm đó.
Lỗi hay gặp: Chỉ xét một phía của giới hạn hoặc quên kiểm tra giá trị của hàm số tại điểm nối.

Bài 5.16: Tìm m để hàm số liên tục trên $mathbb{R}$

Phân tích yêu cầu: Tìm giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $f(x)$ (được định nghĩa bởi hai công thức khác nhau) liên tục trên toàn trục số thực $mathbb{R}$ .
Kiến thức cần dùng: Hàm số liên tục trên $mathbb{R}$ , hàm số piecewise, tính liên tục tại điểm nối.
Hướng dẫn giải:
- Hàm số được cho là: $f(x) = \begin{cases} \sin x & \text{if } x > 0 -x+m & \text{if } x \le 0 \end{cases}$ .
- Ta xét tính liên tục trên các khoảng:
 - Với $x > 0$ , $f(x) = \sin x$ . Hàm $\sin x$ liên tục trên $mathbb{R}$ , do đó nó liên tục trên khoảng $(0; +\infty)$ .
 - Với x < 0[/katex], [katex]f(x) = -x+m[/katex]. Đây là hàm đa thức, nên nó liên tục trên khoảng [katex](-\infty; 0)[/katex].</li> </ul> </li> <li>Để hàm số liên tục trên [katex]mathbb{R}, nó phải liên tục tại điểm nối x=0. Điều này yêu cầu ba điều kiện:
 1. $f(0)$ xác định.
 2. $lim_{x \to 0} f(x)$ tồn tại.
 3. $lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ .
 - Tính $f(0)$ : Theo quy tắc, khi $x \le 0$ , ta dùng $f(x) = -x+m$ . Vậy $f(0) = -0+m = m$ .
 - Tính giới hạn hai phía tại x=0:
 - Giới hạn bên phải: $\lim{x \to 0^+} f(x) = \lim{x \to 0^+} (\sin x) = \sin 0 = 0$ .
 - Giới hạn bên trái: $\lim{x \to 0^-} f(x) = \lim{x \to 0^-} (-x+m) = -0+m = m$ .
 - Để $lim_{x \to 0} f(x)$ tồn tại, hai giới hạn này phải bằng nhau: $0 = m$ .
 - Nếu $m=0$ , thì $lim_{x \to 0} f(x) = 0$ .
 - Kiểm tra điều kiện thứ ba: $lim_{x \to 0} f(x) = 0$ và $f(0) = m$ . Để chúng bằng nhau, ta cần $m = 0$ .
 - Vậy, để hàm số liên tục trên $mathbb{R}$ , ta phải có $m=0$ .
- Đáp án/Kết quả: Giá trị của tham số $m$ để hàm số liên tục trên $mathbb{R}$ là $m=0$ .
- Mẹo kiểm tra: Bài toán tìm tham số để hàm số liên tục tại điểm nối luôn yêu cầu hai giới hạn hai phía bằng nhau và bằng giá trị của hàm tại điểm đó.
- Lỗi hay gặp: Quên xét giới hạn bên phải hoặc bên trái, hoặc chỉ cân bằng giới hạn hai phía mà không so sánh với $f(0)$ .
Bài 5.17: Giá cước taxi và tính liên tục
a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường
- Phân tích yêu cầu: Xây dựng một hàm số $y = f(x)$ biểu diễn số tiền phải trả ( $y$ ) dựa trên quãng đường di chuyển ( $x$ ) theo bảng giá cước cho trước.
- Kiến thức cần dùng: Xây dựng hàm số piecewise từ thông tin thực tế, hiểu rõ các ngưỡng giá cước.
- Hướng dẫn giải:
 - Gọi $x$ (km) là quãng đường di chuyển, $y$ (đồng) là số tiền khách phải trả.
 - Trường hợp 1: Quãng đường $0 < x \le 0,5[/katex] km.<ul> <li>Giá mở cửa cho 0,5 km đầu là 10 000 đồng.</li> <li>Vậy, nếu [katex]0 < x \le 0,5[/katex], thì [katex]y = 10000[/katex].</li> </ul> </li> <li>Trường hợp 2: Quãng đường [katex]0,5 < x \le 30[/katex] km.<ul> <li>Khách đã đi 0,5 km đầu với giá 10 000 đồng.</li> <li>Quãng đường còn lại là [katex]x - 0,5$ km.
 - Giá cước cho mỗi km tiếp theo là 13 500 đồng.
 - Vậy, số tiền cho quãng đường còn lại là $13500 \times (x - 0,5)$ .
 - Tổng số tiền: $y = 10000 + 13500(x - 0,5) = 10000 + 13500x - 6750 = 13500x + 3250$ .
- Trường hợp 3: Quãng đường x > 30 km.
 - Khách đã đi 30 km đầu.
 - Số tiền cho 30 km đầu: $10000$ (cho 0,5 km đầu) + $13500 \times (30 - 0,5)$ (cho phần còn lại của 30km).
 - Số tiền cho 30 km đầu = $10000 + 13500 \times 29,5 = 10000 + 398250 = 408250$ đồng.
 - Quãng đường vượt quá 30 km là $x - 30$ km.
 - Giá cước từ km thứ 31 là 11 000 đồng/km.
 - Số tiền cho quãng đường vượt quá 30 km là $11000 \times (x - 30)$ .
 - Tổng số tiền: $y = 408250 + 11000(x - 30) = 408250 + 11000x - 330000 = 11000x + 78250$ .
- Kết hợp lại, ta có hàm số dạng piecewise:
 $f(x) = \begin{cases} 10000 & \text{if } 0 < x \le 0.5 13500x + 3250 & \text{if } 0.5 < x \le 30 11000x + 78250 & \text{if } x > 30 \end{cases}$
 (Lưu ý: Quãng đường di chuyển $x$ luôn dương, nên ta xét $x > 0$ ).

b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a

Phân tích yêu cầu: Dựa trên hàm số vừa xây dựng, xác định xem nó có liên tục trên toàn bộ miền xác định $(0; +\infty)$ hay không.
Kiến thức cần dùng: Hàm số liên tục trên khoảng, hàm số piecewise, xét tính liên tục tại các điểm nối.
Hướng dẫn giải:
- Trên các khoảng mở:
 - Với $0 < x < 0,5[/katex], [katex]f(x) = 10000[/katex] là hàm hằng, nên nó liên tục trên khoảng [katex](0; 0,5)[/katex].</li> <li>Với [katex]0,5 < x < 30[/katex], [katex]f(x) = 13500x + 3250[/katex] là hàm đa thức, nên nó liên tục trên khoảng [katex](0,5; 30)[/katex].</li> <li>Với [katex]x > 30$ , $f(x) = 11000x + 78250$ là hàm đa thức, nên nó liên tục trên khoảng $(30; +\infty)$ .
- Tại các điểm nối: Ta cần xét tính liên tục tại x=0,5 và x=30.
 - Tại $x=0,5$ :
 - $f(0,5) = 10000$ (theo công thức thứ nhất, vì $x \le 0,5$ ).
 - Giới hạn bên trái: $\lim{x \to 0,5^-} f(x) = \lim{x \to 0,5^-} 10000 = 10000$ .
 - Giới hạn bên phải: $\lim{x \to 0,5^+} f(x) = \lim{x \to 0,5^+} (13500x + 3250) = 13500 \times 0,5 + 3250 = 6750 + 3250 = 10000$ .
 - Vì $\lim{x \to 0,5^-} f(x) = \lim{x \to 0,5^+} f(x) = f(0,5) = 10000$ , hàm số liên tục tại $x=0,5$ .
 - Tại $x=30$ :
 - $f(30) = 13500 \times 30 + 3250 = 405000 + 3250 = 408250$ (theo công thức thứ hai, vì $x \le 30$ ).
 - Giới hạn bên trái: $\lim{x \to 30^-} f(x) = \lim{x \to 30^-} (13500x + 3250) = 13500 \times 30 + 3250 = 408250$ .
 - Giới hạn bên phải: $\lim{x \to 30^+} f(x) = \lim{x \to 30^+} (11000x + 78250) = 11000 \times 30 + 78250 = 330000 + 78250 = 408250$ .
 - Vì $\lim{x \to 30^-} f(x) = \lim{x \to 30^+} f(x) = f(30) = 408250$ , hàm số liên tục tại $x=30$ .
- Kết luận: Vì hàm số liên tục trên các khoảng mở và tại các điểm nối $x=0,5$ , $x=30$ , nên hàm số đã cho liên tục trên toàn bộ miền xác định của nó là $(0; +\infty)$ .
Đáp án/Kết quả: Hàm số mô tả giá cước taxi liên tục trên $(0; +\infty)$ .
Mẹo kiểm tra: Đối với bài toán thực tế, kết quả hàm số liên tục thường hợp lý vì giá cước không có bước nhảy đột ngột.
Lỗi hay gặp: Tính toán sai ở các bước đại số khi xây dựng hàm số hoặc khi tính giá trị tại điểm nối.

Đáp Án/Kết Quả

Vận dụng trang 122: Đã chứng minh được rằng có ít nhất một thời điểm xe chạy với vận tốc 60 km/h bằng cách áp dụng Định lý giá trị trung gian.

Bài 5.14: $g(1) = 1$ .

Bài 5.15:
a) Hàm số $f(x) = \frac{x}{x^2+5x+6}$ liên tục trên các khoảng $(-\infty; -3)$ , $(-3; -2)$ , và $(-2; +\infty)$ .
b) Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$ , nhưng không liên tục tại $x=1$ .

Bài 5.16: Giá trị của tham số $m$ để hàm số liên tục trên $mathbb{R}$ là $m=0$ .

Bài 5.17:
a) Hàm số mô tả số tiền khách phải trả là:
$f(x) = \begin{cases} 10000 & \text{if } 0 < x \le 0.5 13500x + 3250 & \text{if } 0.5 < x \le 30 11000x + 78250 & \text{if } x > 30 \end{cases}$
b) Hàm số này liên tục trên $(0; +\infty)$ .

Conclusion

Các bài tập giải toán 11 trang 122 tập 1 Kết nối tri thức đã cung cấp một cái nhìn toàn diện về khái niệm hàm số liên tục. Thông qua việc áp dụng Định lý giá trị trung gian, phân tích các hàm số phức tạp và xác định tham số để đảm bảo tính liên tục, học sinh không chỉ củng cố kiến thức lý thuyết mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề trong các tình huống thực tế như tính cước phí taxi. Việc làm thành thạo các bài tập này sẽ là nền tảng vững chắc cho các chủ đề toán học nâng cao hơn.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.