GIẢI TOÁN 11 TRANG 132 TẬP 1: Phân Tích Chuyên Sâu Số Trung Bình Và Mốt Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm
Việc nắm vững kiến thức thống kê là nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là phần xử lý dữ liệu. Bài viết này cung cấp một hướng dẫn toàn diện và chi tiết nhất để giải toán 11 trang 132 Tập 1, sách Chân trời sáng tạo, tập trung vào Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm. Chúng tôi sẽ đi sâu vào từng bước tính toán, giải thích cơ sở lý thuyết, và mở rộng kiến thức về cách xác định Số trung bình mẫu số liệu ghép nhóm và Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm. Mục tiêu là giúp học sinh hiểu rõ bản chất của việc lập Bảng tần số ghép nhóm và tìm Giá trị đại diện $c_i$, từ đó nâng cao kỹ năng phân tích dữ liệu thực tiễn.
Cơ Sở Lý Thuyết Về Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm
Khái Niệm Và Tầm Quan Trọng Của Số Liệu Ghép Nhóm
Số liệu ghép nhóm là phương pháp tổ chức dữ liệu thô thành các khoảng (hay nhóm) có cùng độ dài, nhằm đơn giản hóa quá trình tính toán và giúp việc phân tích trở nên trực quan hơn. Phương pháp này đặc biệt hữu ích khi xử lý các tập dữ liệu có số lượng quan sát lớn và độ trải rộng cao. Mỗi nhóm được xác định bằng một khoảng $[a; b)$, trong đó $a$ là cận dưới và $b$ là cận trên.
Tầm quan trọng của số liệu ghép nhóm nằm ở khả năng biến dữ liệu rời rạc, phức tạp thành một cấu trúc dễ quản lý. Việc này giúp tiết kiệm thời gian đáng kể trong thống kê mô tả. Nó cũng là cầu nối để áp dụng các công cụ thống kê nâng cao hơn trong các cấp học tiếp theo. Chúng ta cần hiểu rõ cách thức hoạt động của nó.
Công Thức Xác Định Giá Trị Đại Diện Và Số Trung Bình
Khi dữ liệu đã được ghép nhóm, chúng ta không thể sử dụng trực tiếp các giá trị quan sát để tính số trung bình. Thay vào đó, một Giá trị đại diện $c_i$ cần được xác định cho mỗi nhóm. Giá trị này sẽ đại diện cho tất cả các quan sát nằm trong nhóm đó khi tiến hành tính toán.
Giá trị đại diện $c_i$ được tính bằng trung điểm của khoảng: $c_i = frac{a_i + b_i}{2}$, với $a_i$ và $b_i$ lần lượt là cận dưới và cận trên của nhóm thứ $i$. Công thức này giả định rằng các giá trị trong nhóm phân bố đều. Đây là một giả định hợp lý trong hầu hết các tình huống thống kê cơ bản.
Số trung bình mẫu $bar{x}$ của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng công thức sau:
$$bar{x} = frac{n_1 c_1 + n_2 c_2 + dots + n_k c_k}{n_1 + n_2 + dots + nk} = frac{sum{i=1}^{k} n_i c_i}{N}$$
Trong đó $n_i$ là tần số (số lượng quan sát) của nhóm thứ $i$, $c_i$ là giá trị đại diện của nhóm đó, và $N$ là tổng số quan sát trong mẫu. Công thức này là sự mở rộng của công thức số trung bình có trọng số.
Phương Pháp Tìm Mốt Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm
Mốt $M_o$ của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị ước lượng đại diện cho giá trị có tần số xuất hiện cao nhất trong dữ liệu. Để xác định mốt, trước hết chúng ta phải tìm nhóm chứa mốt (nhóm có tần số lớn nhất). Ký hiệu nhóm chứa mốt là nhóm thứ $i$.
Công thức ước lượng mốt $M_o$ của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$$M_o = u_i + left( frac{ni – n{i-1}}{(ni – n{i-1}) + (ni – n{i+1})} right) cdot h$$
Các ký hiệu trong công thức này được giải thích như sau:
$u_i$: Cận dưới của nhóm chứa mốt (nhóm thứ $i$).
$ni$: Tần số của nhóm chứa mốt.
$n{i-1}$: Tần số của nhóm đứng trước nhóm chứa mốt.
$n_{i+1}$: Tần số của nhóm đứng sau nhóm chứa mốt.
$h$: Độ dài của nhóm (tất cả các nhóm đều phải có độ dài bằng nhau $h = b_i – a_i$).
Việc tìm mốt yêu cầu phải xác định nhóm có tần số cao nhất một cách chính xác.
Hướng Dẫn Chi Tiết Giải Bài Tập Thực Hành 1 Trang 132
Phân Tích Và Xử Lý Dữ Liệu Gốc
Bài Thực hành 1 yêu cầu thống kê số ba lô bán được mỗi ngày trong tháng 9, sau đó chia mẫu thành 5 nhóm và lập Bảng tần số ghép nhóm. Bước đầu tiên là xác định khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong tập dữ liệu.
Theo mẫu số liệu gốc, giá trị lớn nhất là 29 và giá trị nhỏ nhất là 10.
Khoảng biến thiên là: $R = 29 – 10 = 19$.
Chúng ta cần chia mẫu thành $k=5$ nhóm. Độ dài mỗi nhóm $L$ cần thỏa mãn điều kiện $L > frac{R}{k}$.
Trong trường hợp này, $L > frac{19}{5} = 3,8$.
Theo nguyên tắc chung, ta thường chọn độ dài nhóm là một số nguyên gần nhất lớn hơn hoặc bằng giá trị tính được. Do đó, ta chọn $L = 4$. Việc chọn $L=4$ đảm bảo rằng tất cả các quan sát sẽ nằm trọn trong 5 nhóm được tạo ra.
Lập Bảng Tần Số Ghép Nhóm Và Giá Trị Đại Diện
Sau khi xác định độ dài nhóm $L=4$, chúng ta tiến hành tạo các nhóm. Nhóm đầu tiên bắt đầu từ giá trị nhỏ nhất (10). Các nhóm tiếp theo được xác định bằng cách cộng độ dài nhóm vào cận trên của nhóm trước.
Các nhóm được chia là: $[10; 14)$, $[14; 18)$, $[18; 22)$, $[22; 26)$, $[26; 30)$.
Lưu ý: Ký hiệu $[a; b)$ có nghĩa là bao gồm $a$ và không bao gồm $b$.
Tiếp theo là việc xác định Giá trị đại diện $c_i$ cho mỗi nhóm.
- Nhóm $[10; 14)$: $c_1 = frac{10 + 14}{2} = 12$.
- Nhóm $[14; 18)$: $c_2 = frac{14 + 18}{2} = 16$.
- Nhóm $[18; 22)$: $c_3 = frac{18 + 22}{2} = 20$.
- Nhóm $[22; 26)$: $c_4 = frac{22 + 26}{2} = 24$.
- Nhóm $[26; 30)$: $c_5 = frac{26 + 30}{2} = 28$.
Giá trị đại diện này sẽ được sử dụng để tính số trung bình sau này.
| Số ba lô đã bán | $[10; 14)$ | $[14; 18)$ | $[18; 22)$ | $[22; 26)$ | $[26; 30)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Giá trị đại diện ($c_i$) | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 |
| Số ngày ($n_i$) | 8 | 5 | 8 | 3 | 6 |
Cuối cùng, ta cần đếm tần số $n_i$ (Số ngày) rơi vào từng nhóm từ dữ liệu gốc.
- Tần số cho nhóm $[10; 14)$ là $n_1=8$.
- Tần số cho nhóm $[14; 18)$ là $n_2=5$.
- Tần số cho nhóm $[18; 22)$ là $n_3=8$.
- Tần số cho nhóm $[22; 26)$ là $n_4=3$.
- Tần số cho nhóm $[26; 30)$ là $n_5=6$.
Tổng số ngày $N = 8+5+8+3+6 = 30$ ngày (tương ứng với tháng 9). Quá trình lập bảng đã hoàn tất.
Phân Tích Lời Giải Hoạt Động Khám Phá 2 Trang 132
Hoạt động Khám phá 2 cung cấp sẵn Bảng tần số ghép nhóm về kết quả bài kiểm tra của học sinh lớp 11A1. Nhiệm vụ là tính Số trung bình mẫu số liệu ghép nhóm $bar{x}$. Đây là bước tiếp theo quan trọng sau khi đã lập được bảng.
Xác Định Giá Trị Đại Diện Cho Từng Nhóm Số Liệu
Bài toán đã cung cấp bảng dữ liệu ghép nhóm gồm 5 nhóm với tần số tương ứng. Bước đầu tiên là tính Giá trị đại diện $c_i$ cho mỗi nhóm. Đây là bước quan trọng nhất để tính số trung bình.
| Số câu trả lời đúng | $[16; 21)$ | $[21; 26)$ | $[26; 31)$ | $[31; 36)$ | $[36; 41)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh ($n_i$) | 4 | 6 | 8 | 18 | 4 |
Ta tính $c_i$ theo công thức $c_i = frac{a_i + b_i}{2}$:
- Nhóm $[16; 21)$: $c_1 = frac{16 + 21}{2} = 18,5$.
- Nhóm $[21; 26)$: $c_2 = frac{21 + 26}{2} = 23,5$.
- Nhóm $[26; 31)$: $c_3 = frac{26 + 31}{2} = 28,5$.
- Nhóm $[31; 36)$: $c_4 = frac{31 + 36}{2} = 33,5$.
- Nhóm $[36; 41)$: $c_5 = frac{36 + 41}{2} = 38,5$.
Các giá trị này sẽ thay thế cho các điểm số thực tế để ước lượng số trung bình.
Tiến Hành Tính Tổng Tích $n_i c_i$
Theo công thức tính số trung bình $bar{x}$, ta cần tính tổng của các tích giữa tần số $n_i$ và giá trị đại diện $c_i$ của từng nhóm. Đây chính là tổng trọng số của các giá trị đại diện.
Ta thực hiện tính tích $n_i c_i$ cho từng nhóm:
- Nhóm 1: $n_1 c_1 = 4 cdot 18,5 = 74$.
- Nhóm 2: $n_2 c_2 = 6 cdot 23,5 = 141$.
- Nhóm 3: $n_3 c_3 = 8 cdot 28,5 = 228$.
- Nhóm 4: $n_4 c_4 = 18 cdot 33,5 = 603$.
- Nhóm 5: $n_5 c5 = 4 cdot 38,5 = 154$.
Tổng các tích này được ký hiệu là $sum{i=1}^{5} n_i c_i$.
Kết quả tính tổng là:
$$n_1 c_1 + n_2 c_2 + n_3 c_3 + n_4 c_4 + n_5 c_5 = 74 + 141 + 228 + 603 + 154 = 1 200.$$
Giá trị tổng 1 200 đại diện cho tổng điểm ước tính của 40 học sinh.
Quy Trình Tính Số Trung Bình Mẫu (x-ngang)
Bước cuối cùng là áp dụng công thức để tính Số trung bình mẫu số liệu ghép nhóm $bar{x}$. Ta chia tổng $sum n_i c_i$ cho tổng số học sinh $N=40$.
Áp dụng công thức:
$$bar{x} = frac{n_1 c_1 + n_2 c_2 + n_3 c_3 + n_4 c_4 + n_5 c_5}{40} = frac{1 200}{40}.$$
Thực hiện phép chia ta được: $bar{x} = 30$.
Số trung bình ước tính là 30 câu trả lời đúng. Điều này có ý nghĩa là, trung bình mỗi học sinh trong lớp 11A1 đã trả lời đúng 30 câu hỏi trong bài kiểm tra. Giá trị này cung cấp một cái nhìn tổng quan về mức độ nắm vững kiến thức của tập thể lớp.
Ứng Dụng Thực Tiễn Và Bài Tập Mở Rộng
Ý Nghĩa Của Số Trung Bình Trong Đời Sống
Số trung bình mẫu số liệu ghép nhóm không chỉ là một con số tính toán. Nó có ý nghĩa thực tiễn sâu sắc trong nhiều lĩnh vực. Trong kinh doanh, số trung bình có thể là doanh số bán hàng trung bình, giúp dự báo xu hướng thị trường. Trong giáo dục, nó là điểm số trung bình, dùng để đánh giá chất lượng học tập.
Giá trị $bar{x}=30$ trong bài Khám phá 2 cho thấy hiệu suất làm bài của học sinh. Nếu tổng số câu hỏi là 40, 30/40 là một kết quả tốt. Điều này giúp giáo viên có cơ sở để điều chỉnh phương pháp giảng dạy. Hiểu được ý nghĩa thực tế của số liệu là mấu chốt để khai thác tối đa giá trị của thống kê.
Ví Dụ Minh Họa Về Cách Tìm Mốt Từ Dữ Liệu Ghép Nhóm
Ngoài số trung bình, Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm $M_o$ cũng là một chỉ số quan trọng, thể hiện giá trị phổ biến nhất. Ta sẽ sử dụng lại dữ liệu từ Hoạt động Khám phá 2 để minh họa cách tính mốt.
Bảng tần số:
| Số câu trả lời đúng | $[16; 21)$ | $[21; 26)$ | $[26; 31)$ | $[31; 36)$ | $[36; 41)$ |
|—|—|—|—|—|—|
| Tần số ($n_i$) | 4 | 6 | 8 | 18 | 4 |
Bước 1: Xác định Nhóm Chứa Mốt.
Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm $[31; 36)$ với tần số $n_4=18$. Đây là nhóm chứa mốt.
- Cận dưới của nhóm chứa mốt: $u_i = 31$.
- Tần số của nhóm chứa mốt: $n_i = 18$.
- Tần số của nhóm trước nó: $n_{i-1} = 8$.
- Tần số của nhóm sau nó: $n_{i+1} = 4$.
- Độ dài nhóm: $h = 36 – 31 = 5$.
Bước 2: Áp dụng Công thức Mốt.
$$M_o = u_i + left( frac{ni – n{i-1}}{(ni – n{i-1}) + (ni – n{i+1})} right) cdot h$$
Thay số vào công thức:
$$M_o = 31 + left( frac{18 – 8}{(18 – 8) + (18 – 4)} right) cdot 5$$
$$M_o = 31 + left( frac{10}{10 + 14} right) cdot 5$$
$$M_o = 31 + left( frac{10}{24} right) cdot 5$$
$$M_o = 31 + 0,4167 cdot 5$$
$$M_o = 31 + 2,0835 = 33,0835$$
Mốt ước tính là $M_o approx 33,08$. Điều này cho thấy điểm số phổ biến nhất mà học sinh đạt được là khoảng 33,08 câu đúng. Giá trị này nằm trong nhóm chứa mốt $[31; 36)$, xác nhận tính hợp lệ của kết quả.
Việc làm chủ các kỹ thuật xử lý Bảng tần số ghép nhóm, tính toán Giá trị đại diện $c_i$, và ước lượng các tham số thống kê như số trung bình và mốt là cốt lõi của Bài 1 Toán 11. Các công thức và quy trình này được áp dụng rộng rãi. Nó giúp chuyển đổi dữ liệu thô thành thông tin có ý nghĩa.
Bài viết này đã cung cấp lời giải chi tiết và mở rộng cho tất cả các yêu cầu trong giải toán 11 trang 132 Tập 1, từ việc thiết lập các nhóm, xác định Giá trị đại diện $c_i$, đến tính toán Số trung bình mẫu số liệu ghép nhóm và Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm. Nắm vững các khái niệm và công thức này sẽ là chìa khóa để xử lý thành công mọi bài toán thống kê liên quan đến mẫu số liệu ghép nhóm. Kiến thức này không chỉ phục vụ cho việc học tập mà còn là công cụ phân tích hữu ích trong nhiều tình huống thực tế khác nhau.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 30, 2025 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
