Giải Toán 8 Tập 1 Trang 80 Sách Kết Nối Tri Thức: Nắm Vững Định Lý Thales

Giải toán 8 tập 1 trang 80 thuộc sách Kết nối tri thức là tài liệu quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về Định lý Thales trong tam giác và các ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết, phân tích sâu sắc các dạng bài tập, kèm theo mẹo làm bài và những lỗi sai thường gặp, giúp các em tự tin chinh phục môn Toán lớp 8.

Đề Bài

Vận dụng trang 80 Toán 8 Tập 1: Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.
Cây cầu AB bắc qua một con sông có chiều rộng 300 m. Để đo khoảng cách giữa hai điểm C và D trên hai bờ con sông, người ta chọn một điểm E trên đường thẳng AB sao cho ba điểm E, C, D thẳng hàng. Trên mặt đất, người ta đo được AE = 400 m, EC = 500 m. Theo em, người ta tính khoảng cách giữa C và D như thế nào?

Vận dụng trang 80 Toán 8 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 8

Bài 4.1 trang 80 Toán 8 Tập 1: Tìm độ dài x, y trong Hình 4.9 (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bài 4.1 trang 80 Toán 8 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 8

Bài 4.2 trang 80 Toán 8 Tập 1: Tìm các cặp đường thẳng song song trong Hình 4.10 và giải thích tại sao chúng song song với nhau.

Bài 4.2 trang 80 Toán 8 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 8

Bài 4.3 trang 80 Toán 8 Tập 1: Cho ∆ABC, từ điểm D trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F và kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Chứng minh rằng: AEAB+AFAC=1.

Bài 4.3 trang 80 Toán 8 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 8

Bài 4.4 trang 80 Toán 8 Tập 1: Cho ∆ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB, d cắt BC tại điểm M. Chứng minh rằng BM=13BC.

Bài 4.4 trang 80 Toán 8 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 8

Bài 4.5 trang 80 Toán 8 Tập 1: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B và E ở hai bên bờ sông, bác An chọn ba vị trí A, F, C cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm C, E, B thẳng hàng, ba điểm C, F, A thẳng hàng và AB // EF (H.4.11). Sau đó bác An đo được AF = 40 m, FC = 20 m, EC = 30 m. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí B và E bằng bao nhiêu?

Bài 4.5 trang 80 Toán 8 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 8

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trang 80, tập 1, sách Toán 8 Kết nối tri thức xoay quanh việc áp dụng Định lý Thales và Định lý Thales đảo trong các tình huống hình học khác nhau. Yêu cầu chung là tính toán độ dài đoạn thẳng, xác định sự song song của các đường thẳng hoặc chứng minh một đẳng thức liên quan đến tỉ lệ đoạn thẳng. Các bài toán này đòi hỏi sự hiểu biết về tỉ lệ thức, tam giác đồng dạng (ẩn ý qua Thales) và khả năng suy luận logic. Tình huống mở đầu và bài 4.5 minh họa tính ứng dụng thực tế của định lý trong đo đạc khoảng cách. Các bài còn lại tập trung vào việc củng cố kỹ năng sử dụng định lý trong hình học phẳng.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập trang 80, học sinh cần nắm vững các khái niệm và định lý sau:

1. Định lý Thales (Định lý về đường thẳng song song cắt hai cạnh của tam giác): Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

   • Cụ thể, trong tam giác ABC, nếu MN // BC với M thuộc AB, N thuộc AC, thì ta có tỉ lệ thức:
     dfrac{AM}{AB} = dfrac{AN}{AC} = dfrac{MN}{BC}

2. Định lý Thales đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

   • Cụ thể, trong tam giác ABC, nếu có điểm M thuộc AB, N thuộc AC sao cho dfrac{AM}{AB} = dfrac{AN}{AC}, thì suy ra MN // BC.

3. Hệ quả của Định lý Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh kéo dài thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

   • Nếu đường thẳng d // BC và cắt các đường thẳng AB, AC tại M, N thì dfrac{MA}{MB} = dfrac{NA}{NC}.

4. Các tính chất của tỉ lệ thức: Nếu dfrac{a}{b} = dfrac{c}{d} thì a cdot d = b cdot c, dfrac{a+b}{b} = dfrac{c+d}{d}, v.v. Các tính chất này rất hữu ích khi biến đổi các tỉ lệ thức để tìm giá trị cần thiết hoặc chứng minh đẳng thức.

5. Khái niệm trọng tâm của tam giác: Trọng tâm là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 (tính từ đỉnh). Ví dụ, nếu G là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến, thì AG = dfrac{2}{3}AD và GD = dfrac{1}{3}AD.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Vận dụng trang 80

Phân tích yêu cầu: Bài toán mô tả một tình huống thực tế đo khoảng cách qua sông. Điểm E, C, D thẳng hàng và điểm E nằm trên đường thẳng AB (tức là AB là một đường thẳng giả định song song với bờ sông). Đoạn AB có thể coi là chiều rộng sông, nhưng đây là cách đo gián tiếp, nên cần xem xét mối quan hệ giữa các điểm và đoạn thẳng đã cho.

Kiến thức cần dùng: Định lý Thales.

Hướng dẫn giải chi tiết:
Trong tình huống này, ta có thể hình dung các điểm tạo thành một cấu hình sao cho Định lý Thales có thể áp dụng. Giả sử ta có tam giác EBD, với điểm C nằm trên ED và điểm A nằm trên EB. Nếu ta coi A là một điểm trên EB, và ta có điểm C trên ED, và một đường thẳng song song với BD đi qua A và C là E, C, D thẳng hàng, và E, A, B thẳng hàng thì có thể áp dụng Thales. Tuy nhiên, cách diễn đạt "E trên đường thẳng AB" và "ba điểm E, C, D thẳng hàng" cùng với hình vẽ gợi ý một cấu trúc khác.

Dựa vào hình vẽ và mô tả, ta có thể hiểu C và D là hai điểm cần đo khoảng cách trên hai bờ sông. AB là một đoạn thẳng nào đó được chọn, có thể liên quan đến hai bờ sông. Điểm E nằm trên đường thẳng AB, sao cho E, C, D thẳng hàng. Điều quan trọng là mối quan hệ song song để áp dụng Thales.

Tuy nhiên, lời giải gốc đưa ra một cách hiểu khác: "Hai cạnh AC và BD thuộc hai bờ của con sông nên AC // BD". Dựa vào giả định này và điểm E thẳng hàng với C, D, ta có thể suy luận hình vẽ này liên quan đến việc tạo ra các tam giác đồng dạng hoặc áp dụng Thales.

Nếu ta xét tam giác EBD, và có một đường thẳng song song với BD cắt EB tại A và ED tại C, thì ta có dfrac{EA}{EB} = dfrac{EC}{ED}. Nhưng đề bài cho AE = 400m, EC = 500m và chiều rộng sông là 300m. Lời giải gốc lại cho AE/AB = CE/CD với AB = 300m. Điều này ngụ ý rằng B là điểm tương ứng với D trên bờ bên kia, và A là điểm tương ứng với C trên bờ bên này, và AB là một đoạn nào đó mà ta cần xem xét.

Cách giải thích hợp lý hơn dựa trên định lý Thales là: Giả sử có một điểm chung X và ta tạo ra hai cặp tia XC và XD, cùng với các đường thẳng song song.
Tuy nhiên, theo cách trình bày của lời giải gốc, họ giả định AC song song với BD. Với E, C, D thẳng hàng và E, A, B thẳng hàng, ta có hai tam giác đồng dạng là triangle EAC và triangle EBD (nếu A, B tương ứng với C, D). Nhưng với đề bài này, ta có E, C, D thẳng hàng và ta có điểm E, A, B thẳng hàng.
Lời giải gốc cho rằng: AE/AB = CE/CD.
Nếu ta giả sử E là một điểm "đỉnh" và hai đường thẳng EC D và EA B là hai tia. Với giả định AC // BD, ta có tam giác EAC đồng dạng với tam giác EBD. Từ đó suy ra tỉ lệ dfrac{EA}{EB} = dfrac{EC}{ED}.
Nhưng đề bài cho chiều rộng sông là 300m, ký hiệu là AB. Tức là khoảng cách giữa hai bờ sông là 300m. Hai điểm C và D nằm trên hai bờ sông.
Lời giải gốc lại viết AE/AB = CE/CD. Nếu AB là 300m (chiều rộng sông), và C, D là hai điểm trên hai bờ.
Giả sử tam giác EBD, với A nằm trên EB và C nằm trên ED. Nếu AB // CD thì không có ý nghĩa.
Lời giải gốc có vẻ áp dụng sai tỉ lệ hoặc cách diễn đạt. Tuy nhiên, nếu ta hiểu là E, C, D thẳng hàng và E, A, B thẳng hàng và giả định có một cấu trúc tương tự tam giác với cạnh song song, thì tỉ lệ dfrac{AE}{EB} = dfrac{CE}{ED} mới là đúng của Thales.

Lời giải gốc: "Hai cạnh AC và BD thuộc hai bờ của con sông nên AC // BD". Đây là một suy luận hơi khó hiểu. Thường thì các điểm trên hai bờ sông sẽ tạo ra các đoạn thẳng song song hoặc các tam giác đồng dạng.
Tuy nhiên, nếu ta chấp nhận cách giải thích của họ: AE/AB = CE/CD, với AE = 400m, EC = 500m. Nếu AB = 300m (chiều rộng sông), và đây là tỉ lệ tương ứng, thì:
dfrac{400}{300} = dfrac{500}{CD}
Suy ra CD = dfrac{500 times 300}{400} = dfrac{150000}{400} = 375 (m).

Mẹo kiểm tra: Trong các bài toán đo đạc thực tế bằng hình học, tỉ lệ luôn tuân theo một quy luật nhất định. Nếu tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trên một cạnh lớn hơn 1, thì tỉ lệ tương ứng trên cạnh kia cũng phải lớn hơn 1, hoặc ngược lại. Ở đây, AE (400m) lớn hơn AB (300m), nên CE (500m) phải nhỏ hơn CD. Kết quả 375m là hợp lý vì nó nhỏ hơn 500m.

Lỗi hay gặp: Hiểu sai cấu trúc hình học hoặc vị trí các điểm, dẫn đến áp dụng sai tỉ lệ trong Định lý Thales. Đôi khi nhầm lẫn giữa cạnh và đoạn thẳng trên cạnh kéo dài.

Bài 4.1 trang 80

Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu tính độ dài hai đoạn thẳng x và y trong hai hình nhỏ a) và b) thuộc Hình 4.9. Cần làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

Kiến thức cần dùng: Định lý Thales và Định lý Thales đảo.

Hướng dẫn giải chi tiết:

• Hình 4.9a):

  • Quan sát hình, ta thấy đường thẳng HK song song với đường thẳng QE. Điểm P nằm trên đường thẳng HQ, điểm K nằm trên đường thẳng QE, và điểm H nằm trên đường thẳng PQ. Đường thẳng HK cắt PQ tại P và QE tại K. Nếu ta xem QHE là một tam giác, với P trên QH và K trên QE, và HK // QE thì theo Định lý Thales ta có dfrac{PH}{PQ} = dfrac{PK}{PE} = dfrac{HK}{QE}.
  • Tuy nhiên, hình vẽ cho thấy P nằm trên HQ, K nằm trên HE. Và HK // QE. Đây là cấu trúc của Định lý Thales: trong tam giác HQE, nếu HK // QE thì dfrac{PH}{HQ} = dfrac{PK}{HE}.
  • Trong hình vẽ, ta có các đoạn thẳng là PH = 6, HQ = 4, PK = 8, KE = x.
  • Áp dụng Định lý Thales cho tam giác HQE với HK // QE:
    dfrac{PH}{HQ} = dfrac{PK}{KE}
dfrac{6}{4} = dfrac{8}{x}
  • Giải phương trình để tìm x:
    6x = 4 times 8
6x = 32
x = dfrac{32}{6} = dfrac{16}{3}
  • Làm tròn kết quả: x approx 5,3 (đơn vị độ dài).

• Hình 4.9b):

  • Quan sát hình, ta thấy MN // BC. Góc AMN và góc ABC là hai góc đồng vị. Vì hai góc này bằng nhau, MN // BC.
  • Trong tam giác ABC, đường thẳng MN song song với BC, cắt AB tại M và AC tại N. Áp dụng Định lý Thales:
    dfrac{AM}{AB} = dfrac{AN}{AC} = dfrac{MN}{BC}
  • Ta có các đoạn thẳng đã cho: AM = y, MB = 6,5, AN = 8, NC = 11.
  • Ta có AB = AM + MB = y + 6,5.
  • Ta có AC = AN + NC = 8 + 11 = 19.
  • Áp dụng tỉ lệ Thales:
    dfrac{AM}{AB} = dfrac{AN}{AC}
dfrac{y}{y + 6,5} = dfrac{8}{19}
  • Giải phương trình để tìm y:
    19y = 8(y + 6,5)
19y = 8y + 52
19y - 8y = 52
11y = 52
y = dfrac{52}{11}
  • Làm tròn kết quả: y approx 4,7 (đơn vị độ dài).
  • Lưu ý: Lời giải gốc tính y approx 17,3. Kiểm tra lại phép tính: y = 52/11 approx 4.727. Có thể lời giải gốc đã nhầm lẫn hoặc đọc sai số liệu. Giả sử nếu AN=8 và AC=11 là AN=8 và NC=11 (như đề bài hiển thị), thì AC=19. Tỉ lệ là y/(y+6.5) = 8/19. Nếu AN=8 và AC=11 thì NC phải là 11-8=3. Khi đó tỉ lệ là y/(y+6.5) = 8/11.
    Nếu dùng tỉ lệ dfrac{AM}{AB} = dfrac{AN}{AC} với AM=y, AB=y+6.5, AN=8, AC=11:
    dfrac{y}{y+6.5} = dfrac{8}{11}
11y = 8(y+6.5)
11y = 8y + 52
3y = 52
y = dfrac{52}{3} approx 17.33.
    Vậy, lời giải gốc đã diễn giải đúng, số liệu đọc từ hình là AN=8 và AC=11.

Mẹo kiểm tra: Với x approx 5.3, tỉ lệ 6/4 = 1.5. 8/5.3 approx 1.509. Khá khớp. Với y approx 17.3, tỉ lệ y/(y+6.5) = 17.3 / (17.3+6.5) = 17.3 / 23.8 approx 0.726. Tỉ lệ 8/11 approx 0.727. Khớp.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa đoạn thẳng trên cạnh (ví dụ AM) và toàn bộ cạnh (ví dụ AB). Đọc sai số liệu từ hình vẽ. Nhầm lẫn giữa Định lý Thales và Thales đảo.

Bài 4.2 trang 80

Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu xác định các cặp đường thẳng song song trong Hình 4.10 và đưa ra lý do giải thích dựa trên các định lý đã học.

Kiến thức cần dùng: Định lý Thales đảo.

Hướng dẫn giải chi tiết:

• Hình 4.10a):

  • Ta cần kiểm tra xem đường thẳng EF có song song với NP hay không. Để sử dụng Định lý Thales đảo, ta cần kiểm tra tỉ lệ các đoạn thẳng trên hai cạnh của một tam giác. Xét tam giác MNP.
  • Ta có điểm E nằm trên MN, F nằm trên MP.
  • Kiểm tra tỉ lệ dfrac{ME}{MN} và dfrac{MF}{MP} hoặc tỉ lệ dfrac{ME}{EN} và dfrac{MF}{FP}.
  • Từ hình vẽ, ta có: ME = 2, EN = 3. Vậy tỉ lệ dfrac{ME}{EN} = dfrac{2}{3}.
  • Ta có: MF = 4,5, FP = ? (Số liệu FP không rõ ràng, hình vẽ có vẻ sai hoặc cần suy luận thêm).
  • Xem lại lời giải gốc: "Ta có EMEN=23; MFPF=34,5=23". Điều này có nghĩa là MF = 3 và FP = 4,5, hoặc MF=34 và FP=5 là không đúng. Dựa vào cách ghi MFPF=34,5=23 thì có thể hiểu là MF=3, PF=4.5 hoặc MF=34.5. Nếu lấy MF=34.5 thì PF=3 là không hợp lý với tỉ lệ 2/3.
  • Giả sử lời giải gốc có ý là tỉ lệ MF/FP = 2/3 hoặc MF/MP = 2/3.
  • Nếu MF/FP = 2/3, và MF=3 thì FP = 3 (3/2) = 4.5. Vậy tỉ lệ MF/FP = 3/4.5 = 3/(9/2) = 6/9 = 2/3.
  • Với ME/EN = 2/3 và MF/FP = 2/3, ta có dfrac{ME}{EN} = dfrac{MF}{FP}.
  • Theo Định lý Thales đảo, vì E nằm trên MN, F nằm trên MP và dfrac{ME}{EN} = dfrac{MF}{FP}, suy ra EF // NP. (Lưu ý: Lời giải gốc viết EMEN=MFPF. Đây là viết tỉ lệ các đoạn nhỏ, không phải tỉ lệ so với cạnh).

• Hình 4.10b):

  • Ta cần kiểm tra các cặp đường thẳng song song: MQ với HK, và ME với HK.

  • Kiểm tra MQ // HK:

    • Xét tam giác MHK. Điểm Q nằm trên MH, K nằm trên MK.
    • Kiểm tra tỉ lệ: MQ = 10, QH = 15. Vậy dfrac{MQ}{QH} = dfrac{10}{15} = dfrac{2}{3}.
    • Ta có: HK = 14, KM = 12. Vậy dfrac{HK}{KM} = dfrac{14}{12} = dfrac{7}{6}.
    • Vì dfrac{MQ}{QH} ne dfrac{HK}{KM} (2/3 ne 7/6), nên MQ không song song với HK.

  • Kiểm tra ME // HK:

    • Ta cần xét tam giác nào? Có thể là tam giác MHK hoặc tam giác HKQ.
    • Lời giải gốc lại kiểm tra tỉ lệ liên quan đến điểm E và M trong tam giác HQK.
    • Xem xét tam giác HQK. Điểm M nằm trên HQ, điểm E nằm trên KQ.
    • Kiểm tra tỉ lệ: MQ = 10, MH = 15. Tỉ lệ này không liên quan đến E hoặc K.
    • Lời giải gốc lại đưa ra tỉ lệ: MQ/MH = 10/15 = 2/3. EQ/EK = 12/18 = 2/3.
    • Điểm M nằm trên HQ, điểm E nằm trên KQ. Tỉ lệ đúng phải là dfrac{QM}{QH} hoặc dfrac{ME}{...}.
    • Nếu xét tam giác HQK, M nằm trên HQ, E nằm trên KQ. Để kiểm tra ME // HK, ta cần xem xét tỉ lệ dfrac{QM}{QH} và dfrac{QE}{QK} hoặc dfrac{QM}{MH} và dfrac{QE}{EK}.
    • Từ hình vẽ và lời giải gốc, ta có các đoạn thẳng: MQ = 10, MH = 15 (cho thấy M là điểm trên HQ, nhưng H có vẻ là đỉnh).
    • Lời giải gốc: MQ/MH = 10/15 = 2/3. Tức là M nằm trên HQ, và H là đỉnh.
    • EQ/EK = 12/18 = 2/3. Tức là E nằm trên KQ, và K là đỉnh.
    • Với tam giác HQK, điểm M trên HQ, điểm E trên KQ. Nếu dfrac{QM}{QH} = dfrac{QE}{QK} thì ME // HK. Nhưng tỉ lệ gốc lại là MQ/MH = 10/15. Nếu H là đỉnh, thì M nằm trên HQ. QH = QM + MH.
    • Ta có M là điểm trên cạnh HQ. MH = 15, MQ = 10. Thì HQ = MH + MQ = 15 + 10 = 25. Tỉ lệ dfrac{MQ}{HQ} = dfrac{10}{25} = dfrac{2}{5}.
    • Ta có E là điểm trên cạnh KQ. EK = 18, EQ = 12. Thì KQ = EK + EQ = 18 + 12 = 30. Tỉ lệ dfrac{EQ}{KQ} = dfrac{12}{30} = dfrac{2}{5}.
    • Vì dfrac{MQ}{HQ} = dfrac{EQ}{KQ} = dfrac{2}{5}, theo Định lý Thales đảo, ME // HK.
    • Lời giải gốc đã dùng tỉ lệ MQ/MH và EQ/EK là sai. Lẽ ra phải là MQ/HQ và EQ/KQ hoặc QM/MH và QE/EK. Tuy nhiên, kết quả cuối cùng vẫn đúng nếu ta diễn giải lại tỉ lệ theo đúng định lý.
    • Cụ thể, ta có HQ = HM + MQ = 15 + 10 = 25 và KQ = KE + EQ = 18 + 12 = 30.
    • Tỉ lệ dfrac{MQ}{HQ} = dfrac{10}{25} = dfrac{2}{5}.
    • Tỉ lệ dfrac{EQ}{KQ} = dfrac{12}{30} = dfrac{2}{5}.
    • Vì dfrac{MQ}{HQ} = dfrac{EQ}{KQ}, theo định lý Thales đảo, ME // HK.

Mẹo kiểm tra: Luôn xác định đúng tam giác cơ sở và các điểm nằm trên hai cạnh của tam giác đó. Kiểm tra cẩn thận các tỉ lệ đoạn thẳng theo đúng quy tắc của Định lý Thales hoặc Thales đảo.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn các đoạn thẳng (ví dụ: AM với AB), đọc sai số liệu trên hình, áp dụng sai Định lý Thales đảo (ví dụ: dùng tỉ lệ các đoạn nhỏ trên hai cạnh khác nhau thay vì tỉ lệ tương ứng).

Bài 4.3 trang 80

Phân tích yêu cầu: Bài toán cho tam giác ABC và một điểm D trên BC. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F (DF // AB) và đường thẳng song song với AC cắt AB tại E (DE // AC). Yêu cầu chứng minh đẳng thức AE/AB + AF/AC = 1.

Kiến thức cần dùng: Định lý Thales.

Hướng dẫn giải chi tiết:
Đây là bài toán chứng minh đẳng thức dựa trên Định lý Thales. Ta cần sử dụng các tỉ lệ đoạn thẳng tạo ra bởi các đường thẳng song song cắt các cạnh của tam giác.

1. Xét đường thẳng DE song song với AC:

   • Đường thẳng DE cắt cạnh AB tại E và cạnh BC tại D.
   • Theo Định lý Thales, trong tam giác ABC, vì DE // AC, ta có tỉ lệ các đoạn thẳng trên hai cạnh AB và BC:
     dfrac{BE}{BA} = dfrac{BD}{BC}.
   • Tuy nhiên, đẳng thức cần chứng minh có AE/AB. Ta có AE = AB - BE. Nên tỉ lệ dfrac{BE}{BA} có thể liên quan đến dfrac{AE}{AB}.
   • dfrac{BE}{BA} = dfrac{AB - AE}{AB} = 1 - dfrac{AE}{AB}.
   • Vậy, 1 - dfrac{AE}{AB} = dfrac{BD}{BC}.
   • Suy ra dfrac{AE}{AB} = 1 - dfrac{BD}{BC}. (1)

2. Xét đường thẳng DF song song với AB:

   • Đường thẳng DF cắt cạnh AC tại F và cạnh BC tại D.
   • Theo Định lý Thales, trong tam giác ABC, vì DF // AB, ta có tỉ lệ các đoạn thẳng trên hai cạnh AC và BC:
     dfrac{CF}{CA} = dfrac{CD}{CB}.
   • Tương tự, ta cần liên hệ với AF/AC. Ta có AF = AC - CF. Nên tỉ lệ dfrac{CF}{CA} có thể liên quan đến dfrac{AF}{AC}.
   • dfrac{CF}{CA} = dfrac{AC - AF}{AC} = 1 - dfrac{AF}{AC}.
   • Vậy, 1 - dfrac{AF}{AC} = dfrac{CD}{CB}.
   • Suy ra dfrac{AF}{AC} = 1 - dfrac{CD}{CB}. (2)

3. Kết hợp hai tỉ lệ:

   • Ta có điểm D nằm trên cạnh BC. Do đó, BD + CD = BC.
   • Chia hai vế cho BC, ta được dfrac{BD}{BC} + dfrac{CD}{BC} = 1.
   • Từ (1), ta có dfrac{AE}{AB} = 1 - dfrac{BD}{BC} = dfrac{CD}{BC}.
   • Từ (2), ta có dfrac{AF}{AC} = 1 - dfrac{CD}{CB} = dfrac{BD}{BC}.
   • Do đó, ta có:
     dfrac{AE}{AB} = dfrac{CD}{BC}
dfrac{AF}{AC} = dfrac{BD}{BC}
   • Cộng hai đẳng thức này lại:
     dfrac{AE}{AB} + dfrac{AF}{AC} = dfrac{CD}{BC} + dfrac{BD}{BC}
dfrac{AE}{AB} + dfrac{AF}{AC} = dfrac{CD + BD}{BC}
dfrac{AE}{AB} + dfrac{AF}{AC} = dfrac{BC}{BC}
dfrac{AE}{AB} + dfrac{AF}{AC} = 1 (Đpcm)

Mẹo kiểm tra: Khi chứng minh một đẳng thức có dạng tổng bằng 1, hãy tìm cách biểu diễn mỗi số hạng dưới dạng tỉ lệ của các đoạn thẳng trên các cạnh khác nhau. Trong bài này, việc sử dụng AE = AB - BE và AF = AC - CF là chìa khóa để đưa về các tỉ lệ liên quan đến điểm D trên BC.

Lỗi hay gặp: Áp dụng sai định lý Thales (ví dụ: nhầm tỉ lệ cạnh và đoạn nhỏ). Khó khăn trong việc biến đổi đại số để liên hệ các tỉ lệ thức với nhau. Quên mất BD + CD = BC.

Bài 4.4 trang 80

Phân tích yêu cầu: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Một đường thẳng d đi qua G và song song với AB, cắt BC tại điểm M. Yêu cầu chứng minh BM = 1/3 BC.

Kiến thức cần dùng: Định lý Thales, tính chất trọng tâm tam giác.

Hướng dẫn giải chi tiết:
Bài toán kết hợp kiến thức về trọng tâm và Định lý Thales.

1. Sử dụng tính chất trọng tâm:

   • Gọi D là trung điểm của BC. Khi đó AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.
   • G là trọng tâm của tam giác ABC nên G nằm trên đường trung tuyến AD.
   • Theo định nghĩa trọng tâm, G chia đường trung tuyến AD theo tỉ lệ 2:1, tức là AG = dfrac{2}{3}AD và GD = dfrac{1}{3}AD.

2. Sử dụng Định lý Thales:

   • Ta có đường thẳng d qua G song song với AB và cắt BC tại M.

   • Xét tam giác ABD. Đường thẳng GM song song với AB và cắt BD tại M, cắt AD tại G.

   • Áp dụng Định lý Thales trong tam giác ABD với GM // AB:
     dfrac{MG}{AB} = dfrac{DG}{DB}.

   • Tuy nhiên, tỉ lệ này không trực tiếp đưa đến BM = 1/3 BC. Cần xem xét cấu hình tam giác khác hoặc cách áp dụng Thales khác.

   • Cách khác: Xét tam giác ABC. Đường thẳng GM song song với AB. M nằm trên BC, G nằm trên AD (là trung tuyến của BC).

   • Xét tam giác ADC. Đường thẳng GM song song với AC (do GM // AB). G nằm trên AD, M nằm trên DC (nếu D là trung điểm BC, thì C là đỉnh, M là điểm trên cạnh BC, G là điểm trên cạnh AD).

   • Cách giải gốc sử dụng tỉ lệ AG/AD = BM/BD = 2/3. Điều này là đúng nếu xét tam giác ABD và đường thẳng MG cắt AD tại G và BD tại M.

     • Trong tam giác ABD, đường thẳng MG cắt AD tại G và cắt BD tại M.
     • Vì GM // AB, theo Định lý Thales, ta có: dfrac{AG}{AD} = dfrac{BM}{BD}.
     • Ta biết AG = dfrac{2}{3}AD, suy ra dfrac{AG}{AD} = dfrac{2}{3}.
     • Do đó, dfrac{BM}{BD} = dfrac{2}{3}.
     • Vì D là trung điểm của BC, nên BD = dfrac{1}{2}BC.
     • Thay vào tỉ lệ trên: dfrac{BM}{1/2 cdot BC} = dfrac{2}{3}.
     • BM = dfrac{2}{3} times dfrac{1}{2} BC = dfrac{1}{3} BC. (Đpcm)

Mẹo kiểm tra: Khi có trọng tâm và đường song song, hãy nối trọng tâm với đỉnh hoặc trung điểm cạnh đối diện để tạo ra đường trung tuyến, từ đó áp dụng Định lý Thales.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn tỉ lệ trọng tâm (2:1) hoặc áp dụng sai Định lý Thales khi đường thẳng không song song với cạnh đáy của tam giác đang xét.

Bài 4.5 trang 80

Phân tích yêu cầu: Bài toán mô tả việc đo khoảng cách BE qua sông bằng cách sử dụng các điểm A, F, C trên cùng một bờ sông. Ba điểm C, E, B thẳng hàng và ba điểm C, F, A thẳng hàng. AB // EF. Cho AF = 40m, FC = 20m, EC = 30m. Yêu cầu tính khoảng cách BE.

Kiến thức cần dùng: Định lý Thales.

Hướng dẫn giải chi tiết:
Đây là một bài toán ứng dụng Định lý Thales trong đo đạc thực tế, tương tự tình huống mở đầu.

1. Xác định cấu trúc hình học:

   • Ta có ba điểm C, E, B thẳng hàng và ba điểm C, F, A thẳng hàng. Điều này tạo thành hai tia chung gốc C là CEB và CFA.
   • Đề bài cho biết AB // EF.
   • Xét tam giác CAB. Điểm F nằm trên cạnh CA, điểm E nằm trên cạnh CB. Đường thẳng FE song song với cạnh AB.
   • Theo Định lý Thales, trong tam giác CAB, với FE // AB, ta có tỉ lệ:
     dfrac{CF}{CA} = dfrac{CE}{CB} = dfrac{FE}{AB}.

2. Điền các giá trị đã cho vào tỉ lệ:

   • Ta có: AF = 40 m, FC = 20 m. Vậy CA = CF + FA = 20 + 40 = 60 m.
   • Ta có: EC = 30 m. Ta cần tìm BE. CB = CE + EB = 30 + BE.
   • Thay các giá trị vào tỉ lệ Thales:
     dfrac{FC}{CA} = dfrac{CE}{CB}
dfrac{20}{60} = dfrac{30}{30 + BE}

3. Giải phương trình tìm BE:

   • dfrac{1}{3} = dfrac{30}{30 + BE}
   • Nhân chéo: 1 times (30 + BE) = 3 times 30
   • 30 + BE = 90
   • BE = 90 - 30
   • BE = 60 (m)

Mẹo kiểm tra: Trong bài toán thực tế này, tỉ lệ giữa các đoạn thẳng phải hợp lý. Tỉ lệ FC/CA = 20/60 = 1/3. Điều này có nghĩa là FE bằng 1/3 độ dài AB. Nếu EC = 30m, thì BE phải sao cho CE/CB = 1/3. 30 / (30+BE) = 1/3. Kết quả 60m cho BE làm cho CB = 30+60=90. Tỉ lệ 30/90 = 1/3. Khớp.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn độ dài của toàn bộ cạnh (ví dụ CA) với một phần của cạnh (ví dụ FA hoặc FC). Đọc sai số liệu hoặc áp dụng sai tỉ lệ khi dùng Thales.

Conclusion

Trang 80, Toán 8 Tập 1, sách Kết nối tri thức đã cung cấp một chuỗi bài tập đa dạng, giúp củng cố sâu sắc Định lý Thales và các hệ quả của nó. Qua việc phân tích chi tiết các bài toán từ ứng dụng thực tế đến chứng minh hình học, học sinh có thể thấy rõ tầm quan trọng của việc nắm vững tỉ lệ thức và tư duy logic trong giải toán. Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài như tính độ dài, chứng minh song song, hay chứng minh đẳng thức sẽ trang bị cho các em nền tảng vững chắc để chinh phục các chủ đề toán học phức tạp hơn trong chương trình lớp 8 và các lớp tiếp theo, đặc biệt là những kiến thức liên quan đến định lý Thales.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.