Giải Bài Tập Chuyên Đề Toán 11: Bài 1 Trang 23 Cánh Diều – Phép Dời Hình

Chào mừng các em học sinh và quý thầy cô đến với chuyên mục giải toán bài 1 lớp 11 thuộc bộ sách Chuyên đề Toán Cánh Diều. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào phân tích và tìm ra lời giải chi tiết cho Bài 1 trang 23, tập trung vào chủ đề Phép Dời Hình. Mục tiêu của chúng ta là không chỉ hiểu cách giải bài tập này mà còn nắm vững kiến thức nền tảng, áp dụng thành thạo các quy tắc về phép dời hình, đặc biệt là phép tịnh tiến.

Đề Bài

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Xác định phép tịnh tiến biến tam giác AMO thành tam giác ONC.

Phân Tích Yêu Cầu

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm một phép tịnh tiến cụ thể, được xác định bởi một vectơ, sao cho khi áp dụng phép tịnh tiến đó lên tam giác AMO, ta sẽ thu được tam giác ONC. Để làm được điều này, chúng ta cần hiểu rõ:

1. Hình dạng và vị trí tương đối các điểm: ABCD là hình chữ nhật, O là giao điểm hai đường chéo, M và N là trung điểm các cạnh. Chúng ta cần xác định mối liên hệ về vị trí và độ dài giữa các điểm A, M, O và O, N, C.
2. Bản chất của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo một vectơ vec{v} sẽ biến một điểm A thành điểm A’ sao cho vec{AA'} = vec{v}. Khi áp dụng lên một hình, phép tịnh tiến sẽ biến mỗi điểm của hình đó thành một điểm mới, giữ nguyên hình dạng và kích thước của hình.

Nói cách khác, chúng ta cần tìm vectơ vec{v} sao cho nếu A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vec{v}, M’ là ảnh của M, và O’ là ảnh của O, thì A’ phải trùng với O, M’ phải trùng với N, và O’ phải trùng với C. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm vec{v} sao cho vec{AO} = vec{v}, vec{MN} = vec{v}, và vec{OC} = vec{v}. Chỉ khi cả ba vectơ này bằng nhau, phép tịnh tiến theo vectơ đó mới biến tam giác AMO thành tam giác ONC.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải bài toán này, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức quan trọng về hình học phẳng và phép dời hình:

1. Tính chất hình chữ nhật:

   • Các cạnh đối song song và bằng nhau.
   • Các góc đều là góc vuông.
   • Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
   • Hai đường chéo bằng nhau.

2. Trung điểm của đoạn thẳng: Điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.

3. Đường trung bình của tam giác: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh thứ ba.

4. Phép tịnh tiến:

   • Định nghĩa: Phép tịnh tiến theo vectơ vec{v} biến điểm I thành điểm I’ sao cho vec{II'} = vec{v}.
   • Biến đổi: Nếu phép tịnh tiến theo vectơ vec{v} biến điểm A thành A’ và điểm B thành B’, thì vec{A'B'} = vec{AB}. Điều này có nghĩa là phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm và bảo toàn hình dạng, kích thước của hình. Do đó, nó biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng song song và bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó.
   • Xác định vectơ tịnh tiến: Nếu ta biết phép tịnh tiến biến điểm A thành điểm B, thì vectơ tịnh tiến chính là vec{AB}.

Với bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình chữ nhật và định nghĩa của phép tịnh tiến. Cụ thể, chúng ta cần tìm mối liên hệ vectơ giữa các điểm đã cho.

Công thức chung cần nhớ:

• Vectơ trong hình học: Biểu diễn sự dịch chuyển từ điểm này đến điểm khác. vec{AB} có hướng từ A đến B và độ dài bằng khoảng cách giữa A và B.
• Nếu vec{u} = vec{v}, thì hai vectơ này có cùng hướng và cùng độ dài.
• Trong hình chữ nhật ABCD, ta có các quan hệ vectơ như vec{AB} = vec{DC}, vec{AD} = vec{BC}, và các đường chéo cắt nhau tại trung điểm O nên vec{AO} = vec{OC} và vec{BO} = vec{OD}.

Áp dụng các định nghĩa này, chúng ta sẽ giải quyết bài toán từng bước.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ đi từng bước để xác định vectơ tịnh tiến cần tìm.

Bước 1: Xác định mối liên hệ giữa các điểm trong hình chữ nhật ABCD và giao điểm O.

Vì ABCD là hình chữ nhật, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Theo tính chất của hình chữ nhật, O là trung điểm của AC và cũng là trung điểm của BD.
Từ O là trung điểm của AC, ta suy ra:

• vec{AO} = vec{OC} (Vectơ có cùng hướng và cùng độ dài).
• Độ dài AO = OC = \frac{1}{2} AC.

Bước 2: Xác định vị trí của M và N.

Theo đề bài, M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC.

Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa các vectơ tạo thành tam giác AMO và các vectơ tạo thành tam giác ONC.

Phép tịnh tiến biến tam giác AMO thành tam giác ONC. Điều này có nghĩa là:

• Điểm A phải được biến thành điểm O.
• Điểm M phải được biến thành điểm N.
• Điểm O phải được biến thành điểm C.

Nếu phép tịnh tiến theo vectơ vec{v} biến A thành O, thì vectơ tịnh tiến phải là vec{v} = vec{AO}.
Nếu phép tịnh tiến theo vectơ vec{v} biến M thành N, thì vectơ tịnh tiến phải là vec{v} = vec{MN}.
Nếu phép tịnh tiến theo vectơ vec{v} biến O thành C, thì vectơ tịnh tiến phải là vec{v} = vec{OC}.

Để thỏa mãn cả ba điều kiện này, chúng ta cần chứng minh rằng ba vectơ này bằng nhau: vec{AO} = vec{MN} = vec{OC}.

Chúng ta đã biết từ Bước 1 rằng vec{AO} = vec{OC}. Bây giờ, chúng ta cần chứng minh thêm vec{MN} = vec{AO} (hoặc vec{MN} = vec{OC}).

Xét tam giác ABC:

• M là trung điểm của AB.
• N là trung điểm của BC.

Theo định nghĩa đường trung bình của tam giác, MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó:

• MN song song với AC (\text{MN} parallel \text{AC}).
• Độ dài MN bằng một nửa độ dài AC (\text{MN} = \frac{1}{2} \text{AC}).

Từ \text{MN} = \frac{1}{2} \text{AC} và \text{AO} = \text{OC} = \frac{1}{2} \text{AC}, ta suy ra \text{MN} = \text{AO} = \text{OC}.

Bây giờ xét về hướng của các vectơ:

• Vectơ vec{AO} có hướng từ A đến O, nằm trên đường chéo AC.
• Vectơ vec{OC} có hướng từ O đến C, cũng nằm trên đường chéo AC. Do A, O, C thẳng hàng và O nằm giữa A, C, nên vec{AO} và vec{OC} cùng hướng.
• Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC và song song với AC (\text{MN} parallel \text{AC}), nên vectơ vec{MN} cùng hướng với vectơ vec{AC}. Do vec{AO} và vec{OC} cũng nằm trên đường thẳng AC và cùng hướng với vec{AC}, nên vec{MN} cùng hướng với vec{AO} và vec{OC}.

Tóm lại, ta có:

• vec{AO} = vec{OC} (cùng hướng, cùng độ dài).
• vec{MN} cùng hướng với vec{AC} và |vec{MN}| = \frac{1}{2}|vec{AC}|.
• vec{AO} cùng hướng với vec{AC} và |vec{AO}| = \frac{1}{2}|vec{AC}|.
• Do đó, vec{MN} cùng hướng với vec{AO} và |vec{MN}| = |vec{AO}|.

Kết luận: Ba vectơ vec{AO}, vec{MN}, và vec{OC} bằng nhau: vec{AO} = vec{MN} = vec{OC}.

Bước 4: Xác định phép tịnh tiến.

Vì vec{AO} = vec{MN} = vec{OC}, nên phép tịnh tiến theo vectơ vec{AO} sẽ biến:

• Điểm A thành điểm O (vì vec{AO} là vectơ tịnh tiến).
• Điểm M thành điểm N (vì vec{MN} = vec{AO} là vectơ tịnh tiến).
• Điểm O thành điểm C (vì vec{OC} = vec{AO} là vectơ tịnh tiến).

Do đó, phép tịnh tiến theo vectơ vec{AO} biến các đỉnh của tam giác AMO lần lượt thành các đỉnh O, N, C. Điều này có nghĩa là nó biến tam giác AMO thành tam giác ONC.

Mẹo kiểm tra:
Sau khi xác định được phép tịnh tiến là theo vectơ vec{AO}, ta có thể kiểm tra lại:

• Ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vec{AO} là A + vec{AO}. Trong hệ tọa độ, nếu A = (x_A, y_A) và O = (x_O, y_O), thì vec{AO} = (x_O - x_A, y_O - y_A). Ảnh của A là (x_A + (x_O - x_A), y_A + (y_O - y_A)) = (x_O, y_O), chính là O.
• Tương tự, ảnh của O là O + vec{AO} = \text{O} + vec{OC} = \text{C}.
• Ảnh của M là M + vec{AO}. Nếu ta chứng minh được vec{MN} = vec{AO}, thì ảnh của M chính là N. Điều này đã được chứng minh ở Bước 3.

Lỗi hay gặp:

• Nhầm lẫn hướng của vectơ. Ví dụ, chỉ xét độ dài mà không xét hướng, dẫn đến chọn sai vectơ.
• Không chứng minh đủ các điều kiện để ba vectơ bằng nhau, chỉ mới chứng minh được hai trong ba.
• Quên mất định nghĩa phép tịnh tiến hoặc tính chất đường trung bình.
• Sai sót trong việc xử lý các ký hiệu toán học (ví dụ: bọc công thức sai trong KaTeX).

Đáp Án/Kết Quả

Phép tịnh tiến cần tìm là phép tịnh tiến theo vectơ vec{AO}.

Kết Luận

Qua bài tập này, chúng ta đã củng cố kiến thức về phép tịnh tiến, một trong những phép dời hình cơ bản nhất trong chương trình Toán lớp 11. Việc hiểu rõ mối liên hệ giữa các điểm trong hình học, đặc biệt là các quan hệ về vectơ, là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hình. Chúng ta đã áp dụng thành công tính chất của hình chữ nhật và đường trung bình tam giác để xác định đúng vectơ tịnh tiến, biến tam giác AMO thành tam giác ONC, qua đó làm sáng tỏ chủ đề giải toán bài 1 lớp 11 với phương pháp tiếp cận bài bản và chính xác.

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.