Giải Toán 9 Chương 3 Bài 1: Căn Bậc Hai Và Phương Pháp Tiếp Cận Chuyên Sâu

Bài viết này cung cấp hướng dẫn giải toán 9 chương 3 bài 1 một cách toàn diện, tập trung vào kiến thức nền tảng và lời giải chi tiết cho các bài tập về Căn bậc hai. Việc nắm vững khái niệm Căn bậc hai số học là vô cùng quan trọng, bởi nó là nền tảng cho việc học các chương sau. Chúng tôi sẽ đi sâu vào định nghĩa, điều kiện xác định của căn thức bậc hai, cách thực hiện các phép tính giá trị biểu thức, và ứng dụng định lý Pythagoras trong các bài toán thực tế. Mục tiêu là giúp học sinh hiểu rõ bản chất, không chỉ dừng lại ở việc chép lời giải các bài tập SGK.

Tổng Quan Lý Thuyết Nền Tảng Về Căn Bậc Hai

Khái niệm căn bậc hai đóng vai trò then chốt trong Toán học, đặc biệt là khi tiếp cận các phương trình bậc cao. Hiểu rõ bản chất của căn bậc hai giúp việc giải quyết các bài toán liên quan trở nên dễ dàng và chính xác hơn.

Định Nghĩa Căn Bậc Hai và Căn Bậc Hai Số Học

Căn bậc hai của một số $a$ không âm là số $x$ sao cho $x^2 = a$. Mỗi số dương $a$ sẽ có đúng hai căn bậc hai là $sqrt{a}$ (số dương) và $-sqrt{a}$ (số âm). Số 0 chỉ có một căn bậc hai là 0.

Căn bậc hai số học của một số $a$ không âm, kí hiệu là $sqrt{a}$, là số không âm $x$ mà $x^2 = a$. Căn bậc hai số học luôn là số dương hoặc bằng 0.

Điều Kiện Xác Định Của Căn Thức Bậc Hai

Biểu thức $sqrt{A}$ được gọi là căn thức bậc hai. Nó chỉ có nghĩa (hay xác định) khi biểu thức dưới dấu căn là không âm. Điều kiện là $A ge 0$. Đây là nguyên tắc cơ bản và bắt buộc phải kiểm tra trước khi thực hiện bất kỳ phép tính nào liên quan đến căn bậc hai chứa biến. Việc này đảm bảo kết quả tính toán hợp lệ trong tập số thực.

Các Tính Chất Cơ Bản Cần Nắm Vững

Học sinh cần ghi nhớ các tính chất cơ bản sau để làm nền tảng cho việc biến đổi biểu thức:

1. Với mọi số $a$ không âm, ta có $(sqrt{a})^2 = a$. Đây là định nghĩa ngược lại của căn bậc hai số học.
2. Với mọi số $a$, ta có $sqrt{a^2} = |a|$. Dấu giá trị tuyệt đối là điều kiện không thể thiếu khi khai căn biểu thức có chứa biến.
3. Quy tắc so sánh: Nếu $a < b$ và $a, b ge 0$ thì $sqrt{a} < sqrt{b}$. Căn bậc hai bảo toàn thứ tự với các số không âm.

Chi Tiết Giải Hoạt Động, Thực Hành và Vận Dụng

Phần này cung cấp lời giải mở rộng, giải thích rõ ràng từng bước đối với các bài tập Hoạt động, Thực hành và Vận dụng, giúp người học củng cố kiến thức từ lý thuyết.

Hoạt động 1: Xây dựng Khái Niệm Căn Bậc Hai ($sqrt{5}$)

Hoạt động này giúp học sinh hình dung trực quan về căn bậc hai qua hình học và Định lý Pythagoras.

a) Tính độ dài cạnh huyền OB của tam giác vuông OAB.
Xét tam giác vuông OAB tại A. Cạnh OA dài 1 đơn vị, cạnh AB dài 2 đơn vị. Áp dụng Định lý Pythagoras:
$$OB^2 = OA^2 + AB^2$$
$$OB^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$$
Vậy, $OB = sqrt{5}$.

b) Vẽ đường tròn tâm O bán kính OB…
Vì P và Q là giao điểm của đường tròn tâm O bán kính $OB = sqrt{5}$ với trục số, nên $OP = OQ = OB = sqrt{5}$.
Điểm P nằm ở phần dương của trục số, nên số thực biểu diễn bởi P là $x = sqrt{5}$.
Điểm Q nằm ở phần âm của trục số, nên số thực biểu diễn bởi Q là $y = -sqrt{5}$.
Kiểm tra lại: $x^2 = (sqrt{5})^2 = 5$ và $y^2 = (-sqrt{5})^2 = 5$.

Trục số biểu diễn tam giác vuông OAB và các điểm căn bậc hai số học

Thực hành 1-4: Các Phép Tính Cơ Bản

Các bài tập này nhằm rèn luyện kỹ năng tìm căn bậc hai và tính giá trị biểu thức.

Thực hành 1 (Trang 38): Tìm các căn bậc hai

Đây là việc tìm các số mà bình phương của chúng bằng số đã cho.
a) Căn bậc hai của 36 là $sqrt{36} = 6$ và $-sqrt{36} = -6$.
b) Căn bậc hai của $frac{4}{49}$ là $sqrt{frac{4}{49}} = frac{2}{7}$ và $-sqrt{frac{4}{49}} = -frac{2}{7}$.
c) Căn bậc hai của 1,44 là $sqrt{1,44} = 1,2$ và $-sqrt{1,44} = -1,2$.
d) Căn bậc hai của 0 là 0.

Thực hành 2 (Trang 38): Sử dụng dấu căn bậc hai

Đây là việc tìm căn bậc hai số học và căn bậc hai âm.
a) Hai căn bậc hai của 11 là $sqrt{11} approx 3,317$ và $-sqrt{11} approx -3,317$.
b) Hai căn bậc hai của 2,5 là $sqrt{2,5}$ và $-sqrt{2,5}$.
c) Số -0,09 là số âm, do đó nó không có căn bậc hai trong tập hợp số thực. Căn bậc hai chỉ xác định với số không âm.

Thực hành 3 (Trang 38): Tính giá trị biểu thức

Áp dụng định nghĩa $(sqrt{a})^2 = a$ và các quy tắc phép tính.
a) $sqrt{1600} = sqrt{40^2} = 40$.
b) $sqrt{frac{4}{81}} = frac{sqrt{4}}{sqrt{81}} = frac{2}{9}$.
c) $-sqrt{2,25} = -sqrt{1,5^2} = -1,5$.

Thực hành 4 (Trang 39): Tính giá trị biểu thức

Đây là bài tập củng cố việc sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học.
a) $2sqrt{36} + 4sqrt{9} = 2 times 6 + 4 times 3 = 12 + 12 = 24$. (Lưu ý: Bài gốc có vẻ thiếu/sai đề, giải theo đề $2sqrt{36} = 12$ là không đầy đủ. Ta sẽ giải theo đề gốc $2sqrt{36}$ nếu nó là một biểu thức riêng, nhưng thường là phép tính kết hợp. Giả sử đề đầy đủ là $2sqrt{36} + 4sqrt{9}$). Giả sử đề gốc là $2sqrt{36}$ thì $2 times 6 = 12$.
b) $2sqrt{0,09} – sqrt{0,36} = 2 times 0,3 – 0,6 = 0,6 – 0,6 = 0$. (Lưu ý: Bài gốc giải $0,36$ là không hợp lý. Sửa theo tính toán đúng.) Nếu đề là $(2sqrt{0,09})^2$ thì là $(2 times 0,3)^2 = 0,36$. Ta sẽ làm theo cách hiểu thông thường: $2sqrt{0,09} = 2 times 0,3 = 0,6$.
c) $(sqrt{5})^2 + (-sqrt{1,21})^2 = 5 + (1,1)^2 = 5 + 1,21 = 6,21$.

Vận dụng 1: Ứng Dụng Tính Độ Dài Cạnh Hình Vuông

Bài toán này liên hệ diện tích và căn bậc hai.
Hình A là một hình vuông lớn có cạnh 3cm, bị khoét đi một hình vuông nhỏ có cạnh $sqrt{2}$ cm (vì $2 = (sqrt{2})^2$).
Diện tích hình vuông lớn là $3 times 3 = 9$ ($cm^2$).
Diện tích hình vuông nhỏ bị khoét là $2$ ($cm^2$).
Diện tích hình A là $9 – 2 = 7$ ($cm^2$).
Hình vuông B có diện tích bằng diện tích hình A, nên $x^2 = 7$.
Độ dài cạnh $x$ phải là số dương, nên $x = sqrt{7}$ (cm).

Hình A và Hình vuông B có diện tích bằng nhau

Sử Dụng Máy Tính Cầm Tay (Calculator) Trong Tính Toán Căn Bậc Hai

Máy tính cầm tay là công cụ không thể thiếu để tính căn bậc hai số học khi kết quả là số vô tỉ. Việc làm tròn số chính xác là một kỹ năng quan trọng.

Hướng Dẫn Cơ Bản Sử Dụng Máy Tính

Hầu hết các máy tính Casio hoặc Vinacal đều có phím $sqrt{}$.

1. Nhấn phím $sqrt{}$.
2. Nhập số cần tính.
3. Nhấn = hoặc $text{EXE}$.
4. Nếu kết quả là số vô tỉ (có dấu căn), nhấn phím $text{S} leftrightarrow text{D}$ để chuyển sang dạng thập phân.

Thực hành 5 & 6: Tính Gần Đúng Giá Trị

Yêu cầu làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba (Thực hành 5) hoặc thứ tư/thứ năm (Thực hành 6).

Thực hành 5 (Trang 39): Tính gần đúng

a) $sqrt{11} approx 3,3166…$. Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba (chữ số thứ tư là 6 $ge 5$), ta được $sqrt{11} approx 3,317$.
b) $sqrt{7,64} approx 2,7639…$. Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba (chữ số thứ tư là 9 $ge 5$), ta được $sqrt{7,64} approx 2,764$.
c) $sqrt{frac{2}{3}} approx 0,8164…$. Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba (chữ số thứ tư là 4 $< 5$), ta được $sqrt{frac{2}{3}} approx 0,816$.

Thực hành 6 (Trang 39): Tính toán phức tạp hơn

a) Tìm các căn bậc hai của 10,08.
Căn bậc hai số học là $sqrt{10,08} approx 3,17490…$. Làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư (chữ số thứ năm là 0 $< 5$), ta được $sqrt{10,08} approx 3,1749$.
Hai căn bậc hai là $3,1749$ và $-3,1749$.
b) Tính giá trị của biểu thức $frac{1 + sqrt{5}}{2}$.
$frac{1 + sqrt{5}}{2} approx frac{1 + 2,2360679…}{2} approx frac{3,2360679…}{2} approx 1,6180339…$.
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ năm (chữ số thứ sáu là 3 $< 5$), ta được $frac{1 + sqrt{5}}{2} approx 1,61803$.

Phân Tích Chuyên Sâu Về Căn Thức Bậc Hai

Căn thức bậc hai là một công cụ hữu hiệu để mô hình hóa các vấn đề trong thực tế, đặc biệt là các bài toán liên quan đến khoảng cách và Định lý Pythagoras.

Hoạt động 2: Ứng Dụng Căn Thức Trong Hình Học Thực Tế

Bài toán thang dựa tường là một ví dụ kinh điển về việc sử dụng Định lý Pythagoras.
Thang, tường và mặt đất tạo thành một tam giác vuông. Cạnh huyền là chiều dài thang (5m), hai cạnh góc vuông là khoảng cách chân thang đến tường ($x$ m) và độ cao đỉnh thang so với đất ($h$ m).

a) Viết biểu thức độ cao $h$ theo $x$:
Áp dụng Định lý Pythagoras: $h^2 + x^2 = 5^2$.
$$h^2 = 25 – x^2$$
Vì $h$ là độ cao (phải không âm), nên $h = sqrt{25 – x^2}$ (m).
Điều kiện để căn thức xác định là $25 – x^2 ge 0$, tương đương $x^2 le 25$, hay $0 le x le 5$ (vì $x$ là độ dài).

Thang dài 5m dựa vào bức tường

b) Tính độ cao khi $x$ nhận giá trị lần lượt là 1; 2; 3; 4.

• Khi $x = 1$: $h = sqrt{25 – 1^2} = sqrt{24} approx 4,899$ (m).
• Khi $x = 2$: $h = sqrt{25 – 2^2} = sqrt{21} approx 4,583$ (m).
• Khi $x = 3$: $h = sqrt{25 – 3^2} = sqrt{16} = 4$ (m).
• Khi $x = 4$: $h = sqrt{25 – 4^2} = sqrt{9} = 3$ (m).
  Ta thấy, khi chân thang càng xa tường, đỉnh thang càng thấp.

Điều Kiện Xác Định Của Căn Thức: Giải Chi Tiết Thực hành 7

Bài toán yêu cầu tìm điều kiện để căn thức xác định và tính giá trị cụ thể.

Thực hành 7 (Trang 40): Với giá trị nào của $x$ thì biểu thức $A = sqrt{3x + 6}$ xác định? Tính giá trị của $A$ khi $x = 5$.

a) Điều kiện xác định:
Biểu thức $A$ xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu căn không âm:
$$3x + 6 ge 0$$
$$3x ge -6$$
$$x ge -2$$
Vậy, $A$ xác định với mọi $x ge -2$.

b) Tính giá trị khi $x = 5$:
Vì $5 ge -2$, biểu thức xác định.
Thay $x = 5$ vào $A$:
$$A = sqrt{3(5) + 6} = sqrt{15 + 6} = sqrt{21}$$
Giá trị xấp xỉ: $sqrt{21} approx 4,5825…$. Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai: $A approx 4,58$.

Thực hành 8: Tính Giá Trị Biểu Thức Chứa Biến

Biểu thức $P = sqrt{a^2 + b}$ có điều kiện xác định là $a^2 + b ge 0$.

a) $a = 5, b = 0$: $P = sqrt{5^2 + 0} = sqrt{25} = 5$.
b) $a = 5, b = -5$: $P = sqrt{5^2 + (-5)} = sqrt{25 – 5} = sqrt{20}$.
c) $a = 2, b = -4$: $P = sqrt{2^2 + (-4)} = sqrt{4 – 4} = sqrt{0} = 0$. (Lưu ý: Bài gốc giải sai, kết quả trong căn là 0 chứ không phải âm.)

Vận dụng 2: Tính Khoảng Cách Từ Trạm Phát Sóng Đến Đầu Tàu

Đây là một bài toán ứng dụng thực tế khác của Định lý Pythagoras.
Trạm phát sóng B, vị trí đầu tàu C, và điểm A trên đường tàu tạo thành tam giác vuông ABC vuông tại A (vì AB vuông góc với đường tàu).
Cạnh góc vuông $AB = 300$ m. Cạnh góc vuông $AC = x$ m. Cạnh huyền $BC$ là khoảng cách cần tìm.

a) Viết biểu thức khoảng cách $BC$ theo $x$:
Theo Định lý Pythagoras:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
$$BC^2 = 300^2 + x^2$$
$$BC = sqrt{300^2 + x^2}$$ (m)

Trạm phát sóng B cách đường tàu một khoảng AB = 300m

b) Tính khoảng cách khi $x = 400$ và $x = 1000$ (làm tròn đến hàng đơn vị):

• Khi $x = 400$:
  $$BC = sqrt{300^2 + 400^2} = sqrt{90000 + 160000} = sqrt{250000} = 500$$ (m).
• Khi $x = 1000$:
  $$BC = sqrt{300^2 + 1000^2} = sqrt{90000 + 1000000} = sqrt{1090000} approx 1044,0306…$$
  Làm tròn đến hàng đơn vị (chữ số thập phân thứ nhất là 0 $< 5$), ta được $BC approx 1044$ (m).

Giải Chi Tiết Bài Tập Cuối Sách Giáo Khoa (Trang 41)

Phần này đi sâu vào giải toán 9 chương 3 bài 1 cho tất cả các bài tập cuối sách giáo khoa.

Nhóm Bài Tập 1-3: Tìm Căn Bậc Hai

Bài 1 (Trang 41): Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau.
a) 16: Hai căn bậc hai là $4$ và $-4$.
b) 2500: Hai căn bậc hai là $50$ và $-50$.
c) $frac{1}{36}$: Hai căn bậc hai là $frac{1}{6}$ và $-frac{1}{6}$.
d) 0,09: Hai căn bậc hai là $0,3$ và $-0,3$.

Bài 2 (Trang 41): Tính.
a) $sqrt{100} = 10$.
b) $sqrt{225} = 15$.
c) $sqrt{2,25} = 1,5$.
d) $-sqrt{frac{1}{16}} = -frac{1}{4}$.

Bài 3 (Trang 41): Biết rằng $25^2 = 625$, tìm các căn bậc hai của 625 và 0,0625.
Căn bậc hai của 625 là $25$ và $-25$.
Ta có $0,0625 = frac{625}{10000}$.
$sqrt{0,0625} = sqrt{frac{625}{10000}} = frac{sqrt{625}}{sqrt{10000}} = frac{25}{100} = 0,25$.
Hai căn bậc hai của 0,0625 là $0,25$ và $-0,25$.

Nhóm Bài Tập 4-5: Tính Giá Trị Biểu Thức

Bài 4 (Trang 41): Sử dụng máy tính cầm tay, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).
a) $sqrt{54} approx 7,34846…$. Làm tròn: $7,3485$.
b) $sqrt{24,48} approx 4,94772…$. Làm tròn: $4,9477$.
c) $sqrt{7,002} approx 2,64612…$. Làm tròn: $2,6461$. (Lưu ý: Bài gốc giải sai, số phải là 2,6461 chứ không phải 2,6458. Sửa lại cho chính xác).

Bài 5 (Trang 41): Tính giá trị của các biểu thức.
a) $5,25sqrt{4} + 3sqrt{frac{1}{4}} = 5,25 times 2 + 3 times frac{1}{2} = 10,5 + 1,5 = 12$. (Lưu ý: Bài gốc có vẻ sai đề hoặc sai đáp án, $10,5 + 1,5 = 12$, không phải $5,25 + 1,75 = 7$. Giải lại theo đúng quy tắc tính toán.) Nếu đề là $5,25sqrt{4} + 1,75sqrt{1}$ thì là $5,25 times 2 + 1,75 = 10,5 + 1,75 = 12,25$. Ta làm theo phép tính căn bậc hai cơ bản.
b) $sqrt{10^2} – sqrt{(-98)^2} = 10 – |-98| = 10 – 98 = -88$. (Lưu ý: Bài gốc giải sai, $sqrt{10^2} = 10$, $sqrt{(-98)^2} = |-98| = 98$. Kết quả là $10 – 98 = -88$, không phải $102-98=4$. Phép tính đúng là $sqrt{102^2} – sqrt{98^2}$ nếu muốn ra 4.). Giả sử đề là $sqrt{102^2} – sqrt{98^2}$ thì $sqrt{10404} – sqrt{9604} = 102 – 98 = 4$. Ta sẽ giải theo đề gốc đã cho: $sqrt{10^2} – sqrt{98^2} = 10 – 98 = -88$.

Nhóm Bài Tập 6: Giải Phương Trình Bậc Hai Đơn Giản

Bài 6 (Trang 41): Tìm $x$, biết:
a) $x^2 = 121$.
$$x = pm sqrt{121}$$
$$x = pm 11$$
b) $4x^2 = 9$.
$$x^2 = frac{9}{4}$$
$$x = pm sqrt{frac{9}{4}}$$
$$x = pm frac{3}{2}$$
c) $x^2 = 10$.
$$x = pm sqrt{10}$$

Nhóm Bài Tập 7-8: Tính Giá Trị Biểu Thức Chứa Biến

Bài 7 (Trang 41): Tính giá trị của các biểu thức sau khi $x = 16, y = 9$.
Lưu ý: $sqrt{x} = sqrt{16} = 4$; $sqrt{y} = sqrt{9} = 3$.
a) $sqrt{x} + sqrt{y} = 4 + 3 = 7$.
b) $sqrt{x} – sqrt{y} = 4 – 3 = 1$.
c) $sqrt{xy} = sqrt{16 times 9} = sqrt{144} = 12$. (Lưu ý: Bài gốc giải sai, kết quả là 12 chứ không phải 6.)
d) $sqrt{frac{x}{y}} = sqrt{frac{16}{9}} = frac{4}{3}$. (Lưu ý: Bài gốc giải sai, kết quả là 4/3 chứ không phải 8.)

Bài 8 (Trang 41): Cho biểu thức $P = sqrt{x + 2y}$. Tính giá trị của $P$.
a) $x = 3, y = -2$:
$P = sqrt{3 + 2(-2)} = sqrt{3 – 4} = sqrt{-1}$.
Biểu thức $sqrt{-1}$ không xác định trong tập hợp số thực.
b) $x = 1, y = 4$:
$P = sqrt{1 + 2(4)} = sqrt{1 + 8} = sqrt{9} = 3$.

Bài Tập 9: Ứng Dụng Định Lý Pythagoras

Bài 9 (Trang 41): Tính độ dài xà chéo $x$ trên cần trục (làm tròn đến hàng đơn vị).
Hai trụ $a$ và $b$ cách nhau 20 m (chiều ngang).
Hai xà ngang $c$ và $d$ cách nhau $45 – 20 = 25$ m (chiều cao).
Xà chéo $x$ tạo thành cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 20 m (chiều ngang) và 25 m (chiều cao).
Áp dụng Định lý Pythagoras:
$$x^2 = 20^2 + 25^2$$
$$x^2 = 400 + 625 = 1025$$
$$x = sqrt{1025}$$
Tính gần đúng: $x approx 32,0156…$.
Làm tròn đến hàng đơn vị (chữ số thập phân thứ nhất là 0 $< 5$), ta được $x approx 32$ (m).

Hình ảnh cần trục với các kích thước đã cho

Phương Pháp Ôn Luyện và Phát Triển Kỹ Năng

Để nắm vững chương trình giải toán 9 chương 3 bài 1 và các kiến thức liên quan, học sinh cần tập trung vào việc hiểu rõ định nghĩa và điều kiện xác định của căn bậc hai. Kỹ năng biến đổi biểu thức và sử dụng máy tính cầm tay để tính gần đúng cũng vô cùng thiết yếu. Việc liên hệ các bài toán căn bậc hai với Định lý Pythagoras trong hình học giúp củng cố tư duy ứng dụng toán học vào các tình huống thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt kết quả cao nhất.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất December 1, 2025 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.