Giải Hệ Phương Trình Lớp 9 Chi Tiết Với Phương Pháp Thế

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Trong chương trình Toán lớp 9, giải hệ phương trình lớp 9 là một trong những chủ đề quan trọng, đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về các phương pháp giải. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức nền tảng, phương pháp giải chi tiết bằng thế và các bài tập minh họa, giúp học sinh nắm vững cách làm, chinh phục mọi dạng bài tập liên quan đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và tìm tham số cho hệ phương trình.

Đề Bài

Dưới đây là các bài tập hệ phương trình lớp 9 và các dạng toán liên quan để bạn tham khảo và luyện tập.

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Chuyên đề Toán lớp 9

Bài 2: Cho hàm số y = ax + b. Xác định a, b để đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(-1; 2) và N(√3;-7).

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng AB trong các trường hợp:

a) A(-1; 1) và B(2; 4)

b) A(0; -1) và B(1; 0)

Bài 4:

a) Giải hệ phương trình với m = -2.
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nguyên.

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài toán hệ phương trình lớp 9 thường yêu cầu tìm giá trị của các ẩn số sao cho chúng đồng thời thỏa mãn tất cả các phương trình trong hệ. Các dạng bài tập bao gồm: giải hệ phương trình cho trước, tìm tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nhất định, hoặc sử dụng hệ phương trình để giải các bài toán thực tế. Dạng toán tìm tham số và giải phương trình đường thẳng cũng quy về việc thiết lập và giải hệ phương trình bậc nhất.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương pháp thế là một công cụ mạnh mẽ.

Phương pháp thế bao gồm các bước cơ bản sau:

Bước 1: Từ một phương trình trong hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại. Thông thường, ta nên chọn phương trình có chứa ẩn với hệ số bằng 1 hoặc -1 để việc biểu diễn được đơn giản nhất.
- Ví dụ: Nếu có phương trình $x + 2y = 5$ , ta có thể biểu diễn $x$ theo $y$ là $x = 5 - 2y$ .
Bước 2: Thế biểu thức vừa tìm được của ẩn vào phương trình còn lại của hệ. Điều này sẽ tạo ra một phương trình mới chỉ còn một ẩn.
- Ví dụ: Nếu phương trình còn lại là $2x - y = 3$ , thay $x = 5 - 2y$ vào ta được $2(5 - 2y) - y = 3$ .
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được.
- Trong ví dụ trên: $10 - 4y - y = 3 implies 10 - 5y = 3 implies 5y = 7 implies y = \frac{7}{5}$ .
Bước 4: Thay giá trị của ẩn vừa tìm được trở lại biểu thức ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại.
- Ví dụ: $x = 5 - 2y = 5 - 2(\frac{7}{5}) = 5 - \frac{14}{5} = \frac{25-14}{5} = \frac{11}{5}$ .
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là cặp $(x; y)$ vừa tìm được.
- Trong ví dụ trên, nghiệm là $(\frac{11}{5}; \frac{7}{5})$ .

Chú ý quan trọng:

Khi thay một phương trình trong hệ bằng phương trình một ẩn tương đương, ta thu được một hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình ban đầu, nghĩa là chúng có cùng tập nghiệm.
Trong trường hợp giải phương trình một ẩn ta thu được một đẳng thức đúng (ví dụ: $0y = 0$ ), hệ phương trình có vô số nghiệm. Các nghiệm này được biểu diễn theo dạng một ẩn theo ẩn còn lại.
Nếu thu được một đẳng thức sai (ví dụ: $0y = 5$ ), hệ phương trình vô nghiệm.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ đi sâu vào giải quyết các bài tập đã cho.

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Hệ a):
$\begin{cases} y = 2x + 5 quad (1) x + 3y = 1 quad (2) \end{cases}$
- Phân tích: Phương trình (1) đã biểu diễn sẵn $y$ theo $x$. Ta chỉ cần thế biểu thức này vào phương trình (2).
- Hướng dẫn giải:
  Thế (1) vào (2) ta được:
  $x + 3(2x + 5) = 1$
  $Leftrightarrow x + 6x + 15 = 1$
  $Leftrightarrow 7x = 1 - 15$
  $Leftrightarrow 7x = -14$
  $Leftrightarrow x = -2$
  Thay $x = -2$ vào (1) ta được:
  $y = 2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1$
  Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(-2; 1)$ .
Hệ b):
$\begin{cases} x = 2y + 4 quad (1) -3x + 6y = -12 quad (2) \end{cases}$
- Phân tích: Tương tự, phương trình (1) đã biểu diễn $x$ theo $y$. Ta thế vào phương trình (2).
- Hướng dẫn giải:
  Thế (1) vào (2) ta được:
  $-3(2y + 4) + 6y = -12$
  $Leftrightarrow -6y - 12 + 6y = -12$
  $Leftrightarrow 0y = -12 + 12$
  $Leftrightarrow 0y = 0$
  Đây là một đẳng thức luôn đúng. Do đó, hệ phương trình có vô số nghiệm. Nghiệm của hệ được biểu diễn bởi phương trình (1) và biến $y$ có thể nhận mọi giá trị thực.
  Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm $(x; y)$ thỏa mãn $x = 2y + 4$ và $y in mathbb{R}$ .

Bài 2: Cho hàm số $y = ax + b$ . Xác định a, b để đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(-1; 2) và N(√3;-7).

Phân tích: Khi một điểm thuộc đồ thị của hàm số, tọa độ của điểm đó phải thỏa mãn phương trình của hàm số. Việc đi qua hai điểm sẽ cho ta hai phương trình, lập thành một hệ phương trình với hai ẩn $a$ và $b$.
Hướng dẫn giải:
Vì đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm M(-1; 2), ta thay $x = -1$ và $y = 2$ vào phương trình:
$2 = a(-1) + b implies 2 = -a + b quad (1)$
Vì đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm N(√3;-7), ta thay $x = \sqrt{3}$ và $y = -7$ vào phương trình:
$-7 = asqrt{3} + b quad (2)$
Ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} -a + b = 2 quad (1) \sqrt{3}a + b = -7 quad (2) \end{cases}$
Từ (1), ta biểu diễn $b$ theo $a$: $b = a + 2$ .
Thế biểu thức của $b$ vào (2):
$\sqrt{3}a + (a + 2) = -7$
$Leftrightarrow asqrt{3} + a = -7 - 2$
$Leftrightarrow a(\sqrt{3} + 1) = -9$
$Leftrightarrow a = \frac{-9}{\sqrt{3} + 1}$
Để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp $(\sqrt{3} - 1)$ :
$a = \frac{-9(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{-9sqrt{3} + 9}{3 - 1} = \frac{9 - 9sqrt{3}}{2}$
Bây giờ, thay giá trị của $a$ vào $b = a + 2$ :
$b = \frac{9 - 9sqrt{3}}{2} + 2 = \frac{9 - 9sqrt{3} + 4}{2} = \frac{13 - 9sqrt{3}}{2}$
Vậy, $a = \frac{9 - 9sqrt{3}}{2}$ và $b = \frac{13 - 9sqrt{3}}{2}$ .

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng AB trong các trường hợp:

Phân tích: Phương trình đường thẳng có dạng $y = ax + b$ . Để tìm $a$ và $b$, ta cần hai điểm mà đường thẳng đi qua. Việc này dẫn đến việc thiết lập một hệ phương trình hai ẩn.
a) A(-1; 1) và B(2; 4)
- Hướng dẫn giải:
  Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b$ .
  Vì đường thẳng đi qua A(-1; 1), ta có: $1 = a(-1) + b implies 1 = -a + b quad (1)$
  Vì đường thẳng đi qua B(2; 4), ta có: $4 = a(2) + b implies 4 = 2a + b quad (2)$
  Ta có hệ phương trình:
  $\begin{cases} -a + b = 1 quad (1) 2a + b = 4 quad (2) \end{cases}$
  Trừ (1) cho (2): $(-a + b) - (2a + b) = 1 - 4 implies -3a = -3 implies a = 1$ .
  Thay $a = 1$ vào (1): $-1 + b = 1 implies b = 2$ .
  Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y = x + 2$ .
b) A(0; -1) và B(1; 0)
- Hướng dẫn giải:
  Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b$ .
  Vì đường thẳng đi qua A(0; -1), ta có: $-1 = a(0) + b implies b = -1$ .
  Vì đường thẳng đi qua B(1; 0), ta có: $0 = a(1) + b implies 0 = a + b quad (1)$
  Thay $b = -1$ vào (1): $0 = a + (-1) implies a = 1$ .
  Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y = x - 1$ .

Bài 4: Cho hệ phương trình:
$\begin{cases} (m-1)x - my = 3m-1 quad (1) 2x - y = m+5 quad (2) \end{cases}$

a) Giải hệ phương trình với m = -2.
- Phân tích: Thay $m = -2$ vào hệ phương trình gốc để có một hệ phương trình số cụ thể, sau đó giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
- Hướng dẫn giải:
  Với $m = -2$ , hệ phương trình trở thành:
  $\begin{cases} (-2-1)x - (-2)y = 3(-2)-1 2x - y = -2+5 \end{cases} implies \begin{cases} -3x + 2y = -7 quad (1') 2x - y = 3 quad (2') \end{cases}$
  Từ (2′), ta biểu diễn $y$ theo $x$: $y = 2x - 3$ .
  Thế vào (1′):
  $-3x + 2(2x - 3) = -7$
  $Leftrightarrow -3x + 4x - 6 = -7$
  $Leftrightarrow x = -7 + 6$
  $Leftrightarrow x = -1$
  Thay $x = -1$ vào biểu thức của $y$:
  $y = 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5$ .
  Vậy với $m = -2$ , hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(-1; -5)$ .
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
- Phân tích: Đầu tiên, ta cần tìm nghiệm $(x, y)$ theo tham số $m$. Sau đó, đặt điều kiện để $x$ và $y$ là các số nguyên.
- Hướng dẫn giải:
  Từ phương trình (2), ta rút $y$: $y = 2x - (m+5)$ .
  Thế vào phương trình (1):
  $(m-1)x - m(2x - (m+5)) = 3m-1$
  $Leftrightarrow (m-1)x - 2mx + m(m+5) = 3m-1$
  $Leftrightarrow (m-1 - 2m)x = 3m-1 - m(m+5)$
  $Leftrightarrow (-m-1)x = 3m-1 - m^2 - 5m$
  $Leftrightarrow -(m+1)x = -m^2 - 2m - 1$
  $Leftrightarrow -(m+1)x = -(m^2 + 2m + 1)$
  $Leftrightarrow -(m+1)x = -(m+1)^2$
  Để hệ có nghiệm duy nhất, ta cần $-(m+1) \ne 0$ , tức là $m \ne -1$ .
  Nếu $m \ne -1$ , ta có: $x = \frac{-(m+1)^2}{-(m+1)} = m+1$ .
  Bây giờ, tìm $y$ bằng cách thay $x = m+1$ vào $y = 2x - (m+5)$ :
  $y = 2(m+1) - (m+5)$
  $y = 2m + 2 - m - 5$
  $y = m - 3$ .
  Vậy, với $m \ne -1$ , hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (m+1; m-3)$ .
  Để hệ phương trình có nghiệm nguyên, cả $x$ và $y$ phải là số nguyên.
  Ta có:
  $x = m+1$
  $y = m-3$
  Nếu $m$ là một số nguyên, thì $x = m+1$ và $y = m-3$ chắc chắn là các số nguyên.
  Do đó, hệ phương trình có nghiệm nguyên khi $m$ là một số nguyên và $m \ne -1$ .

Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được nghiệm $(x, y)$, hãy thay nghiệm này vào cả hai phương trình gốc của hệ. Nếu cả hai phương trình đều đúng thì nghiệm đó là chính xác.
Lỗi hay gặp:

Nhầm lẫn dấu khi rút gọn hoặc thế biểu thức.
Không xét trường hợp $m=-1$ khi chia cho $-(m+1)$ .
Tính toán sai các phép toán với tham số $m$.

Đáp Án/Kết Quả

Bài 1:
- a) Nghiệm duy nhất: $(-2; 1)$ .
- b) Vô số nghiệm: $(x; y)$ thỏa mãn $x = 2y + 4$ , $y in mathbb{R}$ .
Bài 2: $a = \frac{9 - 9sqrt{3}}{2}$ , $b = \frac{13 - 9sqrt{3}}{2}$ .
Bài 3:
- a) Phương trình đường thẳng: $y = x + 2$ .
- b) Phương trình đường thẳng: $y = x - 1$ .
Bài 4:
- a) Nghiệm: $(-1; -5)$ .
- b) Hệ có nghiệm nguyên khi $m$ là số nguyên và $m \ne -1$ .

C. Bài tập tự luyện

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:

Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) $\begin{cases} 2x - 3y = -5 3x + 4y = 2 \end{cases}$
b) $\begin{cases} x - 2y = 1 5x - 8y = 3 \end{cases}$
c) $\begin{cases} 5x - 4y = 1 \frac{25}{4}x + \frac{87}{2}y = 18 \end{cases}$

Bài 2. Cho hệ phương trình:
$\begin{cases} \frac{2x+1}{3} - \frac{y+1}{4} = 4 \frac{x-2}{5} - \frac{y-4}{3} = -2 \end{cases}$
Tìm các giá trị của $m$ để nghiệm $(x, y)$ của hệ phương trình cũng là nghiệm của phương trình $6mx - 5y = 2m - 4$ .

Bài 3. Giải các hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
a) $\begin{cases} \frac{x+y}{2} = \frac{x-y}{4} \frac{x}{3} = \frac{y}{5} + 1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} (x-3)(2y+5) = (2x+7)(y-1) (4x+1)(3y-6) = (6x-1)(2y+3) \end{cases}$
c) $\begin{cases} x+y = 4 \frac{x-3}{5} + \frac{3y-1}{5} = \frac{15-9y}{14} \end{cases}$
d) $\begin{cases} \frac{7x-7}{4} - \frac{x+6}{5} = \frac{3}{5} \frac{5x-7}{3} + \frac{3x+6}{2} = \frac{1}{6} \end{cases}$
e) $\begin{cases} \frac{7x-y+2}{5} - \frac{x+y-1}{2} = 9 \frac{3x-y+2}{5} + \frac{2x+y-1}{3} = 4 \end{cases}$

Bài 4. Cho đường thẳng $d: mx - ny = -3$ . Tìm các giá trị của $m$ và $n$ để đường thẳng $d’$: $4m - 5n = 3$ và $d$ đi qua điểm $(-5; 6)$ .

Bài 5. Cho hệ phương trình $\begin{cases} (m-1)x - my = 3m-1 2x - y = m+5 \end{cases}$ . Xác định giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x, y)$ sao cho biểu thức $S = x^2 + y^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Việc nắm vững phương pháp thế không chỉ giúp bạn giải tốt các bài tập hệ phương trình lớp 9 mà còn là nền tảng cho việc học các kiến thức toán học cao hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng này.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.