Giải Toán Lớp 7 Trang 12: Bài Tập Hình Học Tọa Độ Trong Không Gian
Chào mừng bạn đến với bài viết hướng dẫn chi tiết về giải toán lớp 7 trang 12. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách giải một bài toán hình học tọa độ trong không gian, tập trung vào việc tìm hình chiếu vuông góc và điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững các kiến thức nền tảng và phương pháp giải quyết hiệu quả.
Đề Bài
Cho điểm (A(1 ; 0 ; 0)) và đường thẳng (∆) có phương trình tham số:
(
left{
begin{matrix}
x = 2 + t
y = 1 + 2t
z = t
end{matrix}
right.
)
a) Tìm tọa độ điểm (H) là hình chiếu vuông góc của điểm (A) trên đường thẳng (∆).
b) Tìm tọa độ điểm (A’) đối xứng với (A) qua đường thẳng (∆).
Phân Tích Yêu Cầu
Bài toán yêu cầu chúng ta thực hiện hai nhiệm vụ chính liên quan đến điểm (A) và đường thẳng (∆) trong không gian ba chiều:
- Tìm hình chiếu vuông góc (H): Điểm (H) nằm trên đường thẳng (∆) sao cho đoạn thẳng (AH) vuông góc với (∆).
- Tìm điểm đối xứng (A’): Điểm (A’) nằm về phía đối diện của (∆) so với (A) sao cho (∆) là đường trung trực của đoạn thẳng (AA’). Điều này có nghĩa là (H) (hình chiếu của (A) lên (∆)) cũng chính là trung điểm của (AA’).
Dữ kiện quan trọng là tọa độ điểm (A) và phương trình tham số của đường thẳng (∆). Hướng giải tổng quát sẽ dựa vào tính chất của phép chiếu vuông góc và phép đối xứng qua đường thẳng.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức sau:
Phương trình tham số của đường thẳng: Một đường thẳng (∆) đi qua điểm (M_0(x_0; y_0; z_0)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow{u} = (a; b; c)) có phương trình tham số là:
(
left{
begin{matrix}
x = x_0 + at
y = y_0 + bt
z = z_0 + ct
end{matrix}
right.
)
với (t) là tham số.Tích vô hướng của hai vectơ: Cho hai vectơ (overrightarrow{a} = (a_1; a_2; a_3)) và (overrightarrow{b} = (b_1; b_2; b_3)). Tích vô hướng của (overrightarrow{a}) và (overrightarrow{b}) là:
(overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)Điều kiện vuông góc của hai vectơ: Hai vectơ (overrightarrow{a}) và (overrightarrow{b}) vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0: (overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b} = 0).
Trung điểm của đoạn thẳng: Cho hai điểm (P(x_P; y_P; z_P)) và (Q(x_Q; y_Q; z_Q)). Trung điểm (M) của đoạn thẳng (PQ) có tọa độ là:
(
Mleft( frac{x_P + x_Q}{2}; frac{y_P + y_Q}{2}; frac{z_P + z_Q}{2} right)
)
Từ đó, nếu (M) là trung điểm của (PQ), ta có thể tìm tọa độ một điểm nếu biết tọa độ điểm còn lại và trung điểm: (x_Q = 2x_M – x_P), (y_Q = 2y_M – y_P), (z_Q = 2z_M – z_P).
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Phần a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng ∆
Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ và tham số hóa tọa độ điểm H.
Đường thẳng (∆) có phương trình tham số:
(
left{
begin{matrix}
x = 2 + t
y = 1 + 2t
z = t
end{matrix}
right.
)
Từ phương trình này, ta suy ra vectơ chỉ phương của (∆) là (overrightarrow{u} = (1; 2; 1)).
Vì (H) là điểm thuộc đường thẳng (∆), tọa độ của (H) có thể được biểu diễn theo tham số (t) như sau: (H(2 + t; 1 + 2t; t)).
Bước 2: Sử dụng điều kiện vuông góc để tìm tham số t.
Điểm (H) là hình chiếu vuông góc của (A) trên (∆) khi và chỉ khi vectơ (overrightarrow{AH}) vuông góc với vectơ chỉ phương (overrightarrow{u}) của đường thẳng (∆).
Ta tính tọa độ vectơ (overrightarrow{AH}):
(overrightarrow{AH} = (x_H – x_A; y_H – y_A; z_H – z_A))
(overrightarrow{AH} = ((2 + t) – 1; (1 + 2t) – 0; t – 0))
(overrightarrow{AH} = (1 + t; 1 + 2t; t))
Điều kiện (overrightarrow{AH} perp overrightarrow{u}) tương đương với (overrightarrow{AH} cdot overrightarrow{u} = 0):
( (1 + t) cdot 1 + (1 + 2t) cdot 2 + t cdot 1 = 0 )
( 1 + t + 2 + 4t + t = 0 )
( 6t + 3 = 0 )
( t = -frac{3}{6} = -frac{1}{2} )
Bước 3: Thay giá trị t tìm được vào tọa độ điểm H.
Với (t = -frac{1}{2}), ta có tọa độ điểm (H):
(
x_H = 2 + left(-frac{1}{2}right) = 2 – frac{1}{2} = frac{3}{2}
)
(
y_H = 1 + 2left(-frac{1}{2}right) = 1 – 1 = 0
)
(
z_H = -frac{1}{2}
)
Vậy, tọa độ điểm (H) là (Hleft(frac{3}{2}; 0; -frac{1}{2}right)).
Mẹo kiểm tra:
Sau khi tìm được (H), bạn có thể kiểm tra xem (overrightarrow{AH}) có thực sự vuông góc với (overrightarrow{u}) hay không bằng cách tính lại tích vô hướng. Nếu kết quả bằng 0, thì tọa độ (H) có khả năng cao là đúng.
Lỗi hay gặp:
- Nhầm lẫn giữa tọa độ điểm (A) và tọa độ điểm (H) khi tính (overrightarrow{AH}).
- Sai sót trong quá trình giải phương trình tuyến tính tìm (t).
- Quên bọc các biểu thức toán học trong
...hoặc sai cú pháp KaTeX.
Phần b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆
Bước 1: Sử dụng mối quan hệ giữa A, A’ và H.
Theo định nghĩa, nếu (A’) đối xứng với (A) qua đường thẳng (∆), thì (∆) là đường trung trực của đoạn thẳng (AA’). Điều này có nghĩa là (H) (hình chiếu vuông góc của (A) lên (∆)) chính là trung điểm của đoạn thẳng (AA’).
Bước 2: Áp dụng công thức trung điểm để tìm tọa độ A’.
Ta đã có tọa độ điểm (A(1; 0; 0)) và tọa độ trung điểm (Hleft(frac{3}{2}; 0; -frac{1}{2}right)). Gọi tọa độ điểm (A’) là ((x{A’}; y{A’}; z_{A’})).
Sử dụng công thức trung điểm:
(
x_H = frac{xA + x{A’}}{2} Rightarrow x_{A’} = 2x_H – x_A
)
(
y_H = frac{yA + y{A’}}{2} Rightarrow y_{A’} = 2y_H – y_A
)
(
z_H = frac{zA + z{A’}}{2} Rightarrow z_{A’} = 2z_H – z_A
)
Thay số vào, ta được:
(
x{A’} = 2 cdot frac{3}{2} – 1 = 3 – 1 = 2
)
(
y{A’} = 2 cdot 0 – 0 = 0
)
(
z_{A’} = 2 cdot left(-frac{1}{2}right) – 0 = -1 – 0 = -1
)
Vậy, tọa độ điểm (A’) là (A'(2; 0; -1)).
Mẹo kiểm tra:
Để kiểm tra, bạn có thể tính tọa độ trung điểm của (AA’) với (A'(2; 0; -1)) và (A(1; 0; 0)). Trung điểm này phải trùng với (Hleft(frac{3}{2}; 0; -frac{1}{2}right)).
Trung điểm của (AA’) là (left(frac{1+2}{2}; frac{0+0}{2}; frac{0+(-1)}{2}right) = left(frac{3}{2}; 0; -frac{1}{2}right)), khớp với tọa độ (H).
Lỗi hay gặp:
- Nhầm lẫn vai trò của (A), (A’), (H) trong công thức trung điểm.
- Sai sót trong phép tính số học khi tìm tọa độ (A’).
Đáp Án/Kết Quả
a) Tọa độ điểm (H) là hình chiếu vuông góc của điểm (A) trên đường thẳng (∆) là (Hleft(frac{3}{2}; 0; -frac{1}{2}right)).
b) Tọa độ điểm (A’) đối xứng với (A) qua đường thẳng (∆) là (A'(2; 0; -1)).
Bài viết này đã cung cấp một cách tiếp cận chi tiết và có hệ thống để giải quyết bài toán tìm hình chiếu và điểm đối xứng qua đường thẳng trong không gian. Hy vọng rằng những hướng dẫn này sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài tập tương tự trong chương trình giải toán lớp 7 trang 12 và các tài liệu học tập khác.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 14, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
