Giải Toán 8 Trang 12 Tập 2 Kết nối tri thức: Chuyên đề Phân thức Đại số

Giới thiệu lời giải chi tiết cho giải toán 8 tập 2 trang 12 sách Kết nối tri thức, giúp học sinh nắm vững các bài tập về tính chất cơ bản của phân thức đại số. Bài viết này cung cấp phương pháp giải rõ ràng, dễ hiểu, cùng các lưu ý quan trọng để chinh phục dạng toán này.

Đề Bài

Bài 6.8 trang 12 Toán 8 Tập 2: Tìm đa thức thích hợp cho dấu “?”.

\frac{y-x}{4-x} = \frac{?}{x-4}

Bài 6.9 trang 12 Toán 8 Tập 2: Rút gọn các phân thức sau:

a) \frac{5x+10}{25x^2+50}

b) \frac{45x(3-x)}{15x(x-3)^3}

c) \frac{(x^2-1)^2}{(x+1)(x^3+1)}

Bài 6.10 trang 12 Toán 8 Tập 2: Cho phân thức P = \frac{x+1}{x^2-1}.

a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu Q là phân thức nhận được.

b) Tính giá trị của P và Q tại x=11. So sánh hai kết quả đó.

Bài 6.11 trang 12 Toán 8 Tập 2: Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:

\frac{5x}{x+1} và \frac{ax(x-1)}{(1-x)(x+1)}.

Bài 6.12 trang 12 Toán 8 Tập 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \frac{1}{x^3-8} và \frac{3}{4-2x}

b) \frac{x}{x^2-1} và \frac{1}{x^2+2x+1}

Bài 6.13 trang 12 Toán 8 Tập 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \frac{1}{x+2}; \frac{x+1}{x^2-4x+4} và \frac{5}{2-x}

b) \frac{1}{3x+3y}; \frac{2x}{x^2-y^2} và \frac{x^2-xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}

Bài 6.14 trang 12 Toán 8 Tập 2: Cho hai phân thức \frac{9x^2+3x+1}{27x^3-1} và \frac{x^2-4x}{16-x^2}.

a) Rút gọn hai phân thức đã cho.

b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a.

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập từ 6.8 đến 6.14 trang 12 trong sách Toán 8 Tập 2 (Kết nối tri thức) tập trung vào việc củng cố và nâng cao kỹ năng làm việc với phân thức đại số. Trọng tâm bao gồm:

• Bài 6.8: Tìm hệ số/đa thức để hai phân thức bằng nhau, yêu cầu biến đổi mẫu số hoặc tử số.

• Bài 6.9: Rút gọn phân thức, đòi hỏi kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn tử số với mẫu số.
• Bài 6.10: Rút gọn phân thức và đánh giá giá trị tại một điểm, kiểm tra sự tương đồng giữa phân thức gốc và phân thức rút gọn.
• Bài 6.11: Tìm tham số để hai phân thức bằng nhau, liên quan đến việc quy đồng hoặc biến đổi một trong hai phân thức.
• Bài 6.12, 6.13, 6.14: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, đòi hỏi khả năng phân tích mẫu thức thành nhân tử để tìm Mẫu thức chung (MTC) và biến đổi các phân thức về dạng có MTC.

Hiểu rõ các yêu cầu này giúp học sinh áp dụng đúng các quy tắc và công thức toán học.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán trên trang 12 của sách Toán 8 Tập 2, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau về phân thức đại số:

1. Định nghĩa Phân thức Đại số: Một phân thức đại số có dạng \frac{A}{B}, trong đó A và B là các đa thức, với B \ne 0.

2. Tính chất Cơ bản của Phân thức:

   • Nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì ta được một phân thức bằng nó:
     \frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M} (với M là đa thức khác đa thức không)
   • Chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì ta được một phân thức bằng nó:
     \frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N} (với N là đa thức chung của A và B)

3. Quy tắc Rút gọn Phân thức: Để rút gọn phân thức \frac{A}{B}, ta phân tích cả tử thức A và mẫu thức B thành nhân tử rồi rút gọn nhân tử chung.

4. Quy tắc Quy đồng Mẫu thức các Phân thức:

   • Phân tích các mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử.
   • Tìm Mẫu thức chung (MTC) bằng cách chọn MTC là một đa thức chia hết cho tất cả các mẫu thức ban đầu. Thường chọn MTC là tích của các nhân tử chung và nhân tử riêng, mỗi nhân tử lấy với số mũ lớn nhất.
   • Quy đồng từng phân thức: Nhân tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức với đa thức tương ứng để có MTC.

5. Các Hằng đẳng thức đáng nhớ: Cần thiết cho việc phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ:

   • Hiệu hai bình phương: A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)
   • Lập phương của một tổng: (A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3
   • Lập phương của một hiệu: (A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3
   • Tổng hai lập phương: A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)
   • Hiệu hai lập phương: A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 6.8 trang 12 Toán 8 Tập 2: Tìm đa thức thích hợp cho dấu “?”.

\frac{y-x}{4-x} = \frac{?}{x-4}

• Phân tích yêu cầu: Ta cần tìm đa thức ? sao cho phân thức bên trái bằng phân thức bên phải.
• Kiến thức áp dụng: Tính chất cơ bản của phân thức (\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M}).
• Hướng dẫn giải:
  Quan sát mẫu thức của hai phân thức: 4-x và x-4. Ta thấy x-4 = -(4-x).
  Để mẫu thức bên trái 4-x biến thành x-4 (mẫu thức bên phải), ta cần nhân mẫu thức với -1.
  Theo tính chất cơ bản của phân thức, ta cũng phải nhân tử thức với -1.
  Vậy, \frac{y-x}{4-x} = \frac{(y-x) \cdot (-1)}{(4-x) \cdot (-1)} = \frac{-(y-x)}{x-4} = \frac{x-y}{x-4}.
  Đa thức thích hợp cho dấu “?” là x-y.
• Mẹo kiểm tra: Thay x=1, y=2 vào phân thức ban đầu: \frac{2-1}{4-1} = \frac{1}{3}. Thay vào phân thức kết quả: \frac{1-2}{1-4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}. Hai kết quả bằng nhau.
• Lỗi hay gặp: Quên đổi dấu cả tử và mẫu hoặc chỉ đổi dấu một trong hai.

Bài 6.9 trang 12 Toán 8 Tập 2: Rút gọn các phân thức sau:

a) \frac{5x+10}{25x^2+50}

• Phân tích yêu cầu: Rút gọn phân thức bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
• Kiến thức áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử (đặt nhân tử chung), tính chất cơ bản của phân thức.
• Hướng dẫn giải:
  • Tử thức: 5x+10 = 5(x+2).
  • Mẫu thức: 25x^2+50 = 25(x^2+2). (Lưu ý: x^2+2 không phân tích được nữa).
  • Rút gọn: \frac{5(x+2)}{25(x^2+2)} = \frac{x+2}{5(x^2+2)}.
• Mẹo kiểm tra: Chọn giá trị x=1. Phân thức gốc: \frac{5(1)+10}{25(1)^2+50} = \frac{15}{75} = \frac{1}{5}. Phân thức rút gọn: \frac{1+2}{5(1^2+2)} = \frac{3}{5(3)} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}. Hai kết quả bằng nhau.
• Lỗi hay gặp: Sai sót trong việc phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút gọn nhầm lẫn.

b) \frac{45x(3-x)}{15x(x-3)^3}

• Phân tích yêu cầu: Rút gọn phân thức có chứa nhân tử đối nhau.
• Kiến thức áp dụng: Nhân tử đối nhau, quy tắc rút gọn phân thức.
• Hướng dẫn giải:
  • Ta thấy 3-x = -(x-3).
  • Thay vào phân thức gốc: \frac{45x \cdot (-(x-3))}{15x(x-3)^3}.
  • Rút gọn các nhân tử chung 45x với 15x (ta được 3) và x-3 với (x-3)^3 (ta được (x-3)^2 ở mẫu).
  • Vậy, phân thức trở thành: \frac{3 \cdot (-1)}{ (x-3)^2 } = \frac{-3}{(x-3)^2}.
• Mẹo kiểm tra: Chọn x=4. Phân thức gốc: \frac{45(4)(3-4)}{15(4)(4-3)^3} = \frac{180(-1)}{60(1)^3} = \frac{-180}{60} = -3. Phân thức rút gọn: \frac{-3}{(4-3)^2} = \frac{-3}{1^2} = -3. Hai kết quả bằng nhau.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn dấu khi xử lý nhân tử đối nhau hoặc rút gọn sai số mũ.

c) \frac{(x^2-1)^2}{(x+1)(x^3+1)}

• Phân tích yêu cầu: Rút gọn phân thức, đòi hỏi áp dụng cả hiệu hai bình phương và tổng hai lập phương.
• Kiến thức áp dụng: Hằng đẳng thức A^2-B^2, A^3+B^3, phân tích đa thức thành nhân tử.
• Hướng dẫn giải:
  • Phân tích tử thức: (x^2-1)^2 = ((x-1)(x+1))^2 = (x-1)^2(x+1)^2.
  • Phân tích mẫu thức:
    • x+1 giữ nguyên.
    • x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) (áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương).
  • Vậy mẫu thức là: (x+1)(x+1)(x^2-x+1) = (x+1)^2(x^2-x+1).
  • Thay vào phân thức: \frac{(x-1)^2(x+1)^2}{(x+1)^2(x^2-x+1)}.
  • Rút gọn nhân tử chung (x+1)^2: \frac{(x-1)^2}{x^2-x+1}.
• Mẹo kiểm tra: Chọn x=2. Tử thức: (2^2-1)^2 = (4-1)^2 = 3^2 = 9. Mẫu thức: (2+1)(2^3+1) = 3(8+1) = 3 \cdot 9 = 27. Phân thức gốc: \frac{9}{27} = \frac{1}{3}. Phân thức rút gọn: \frac{(2-1)^2}{2^2-2+1} = \frac{1^2}{4-2+1} = \frac{1}{3}. Hai kết quả bằng nhau.
• Lỗi hay gặp: Sai trong việc áp dụng hằng đẳng thức hoặc phân tích đa thức.

Bài 6.10 trang 12 Toán 8 Tập 2: Cho phân thức P = \frac{x+1}{x^2-1}.

a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu Q là phân thức nhận được.

• Phân tích yêu cầu: Rút gọn phân thức P.
• Kiến thức áp dụng: Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, quy tắc rút gọn phân thức.
• Hướng dẫn giải:
  • Mẫu thức: x^2-1 = (x-1)(x+1).
  • Thay vào phân thức P: P = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}.
  • Rút gọn nhân tử chung x+1 (với điều kiện x \ne -1): P = \frac{1}{x-1}.
  • Vậy, phân thức nhận được là Q = \frac{1}{x-1}.

b) Tính giá trị của P và Q tại x=11. So sánh hai kết quả đó.

• Phân tích yêu cầu: Tính giá trị của cả hai phân thức tại x=11 và so sánh.
• Kiến thức áp dụng: Thay giá trị biến vào biểu thức.
• Hướng dẫn giải:
  • Tính giá trị của P tại x=11:
    P(11) = \frac{11+1}{11^2-1} = \frac{12}{121-1} = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}.
  • Tính giá trị của Q tại x=11:
    Q(11) = \frac{1}{11-1} = \frac{1}{10}.
  • So sánh hai kết quả: P(11) = \frac{1}{10} và Q(11) = \frac{1}{10}.
  • Ta thấy hai kết quả bằng nhau. Điều này khẳng định tính đúng đắn của việc rút gọn phân thức khi x \ne -1 và x \ne 1.
• Lưu ý: Khi x=1, cả P và Q đều không xác định.

Bài 6.11 trang 12 Toán 8 Tập 2: Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:

\frac{5x}{x+1} và \frac{ax(x-1)}{(1-x)(x+1)}.

• Phân tích yêu cầu: Tìm hệ số a để hai phân thức bằng nhau.
• Kiến thức áp dụng: Tính chất cơ bản của phân thức, quy tắc đổi dấu nhân tử.
• Hướng dẫn giải:
  • Ta có phân thức thứ hai: \frac{ax(x-1)}{(1-x)(x+1)}.
  • Nhận thấy 1-x = -(x-1).
  • Thay vào mẫu thức: (1-x)(x+1) = -(x-1)(x+1).
  • Phân thức thứ hai trở thành: \frac{ax(x-1)}{-(x-1)(x+1)}.
  • Rút gọn nhân tử chung x-1 (với x \ne 1): \frac{ax}{-(x+1)} = \frac{-ax}{x+1}.
  • Bây giờ ta có hai phân thức: \frac{5x}{x+1} và \frac{-ax}{x+1}.
  • Để hai phân thức này bằng nhau, hai tử thức phải bằng nhau vì mẫu thức đã giống nhau.
  • 5x = -ax.
  • Chia cả hai vế cho x (với x \ne 0): 5 = -a.
  • Suy ra a = -5.
• Mẹo kiểm tra: Thay a = -5 vào phân thức thứ hai: \frac{-5x(x-1)}{(1-x)(x+1)} = \frac{-5x(x-1)}{-(x-1)(x+1)} = \frac{5x}{x+1}. Hai phân thức đã bằng nhau.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn khi đổi dấu 1-x hoặc khi giải phương trình với a.

Bài 6.12 trang 12 Toán 8 Tập 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \frac{1}{x^3-8} và \frac{3}{4-2x}

• Phân tích yêu cầu: Quy đồng mẫu thức hai phân thức.
• Kiến thức áp dụng: Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương (A^3-B^3), phân tích đa thức thành nhân tử, tìm Mẫu thức chung (MTC).
• Hướng dẫn giải:
  • Phân tích mẫu thức thứ nhất: x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4).
  • Phân tích mẫu thức thứ hai: 4-2x = -2(x-2). Để thuận tiện cho việc tìm MTC, ta có thể viết lại thành -2(x-2) hoặc 2(2-x). Tuy nhiên, nhìn vào mẫu thức thứ nhất, ta thấy nhân tử x-2 xuất hiện. Nên ta sẽ dùng 4-2x = -2(x-2).
  • Nhân tử chung là x-2. Nhân tử riêng là x^2+2x+4 và -2 (hoặc 2).
  • MTC là: -2(x-2)(x^2+2x+4) (hoặc 2(x-2)(x^2+2x+4) nếu ta biến đổi \frac{3}{4-2x} = \frac{-3}{2x-4} = \frac{-3}{2(x-2)}). Ta chọn MTC là 2(x-2)(x^2+2x+4).
  • Quy đồng phân thức thứ nhất:
    \frac{1}{x^3-8} = \frac{1}{(x-2)(x^2+2x+4)}.
    Để có MTC 2(x-2)(x^2+2x+4), ta nhân tử và mẫu với 2.
    \frac{1 \cdot 2}{(x-2)(x^2+2x+4) \cdot 2} = \frac{2}{2(x-2)(x^2+2x+4)}.
  • Quy đồng phân thức thứ hai:
    \frac{3}{4-2x} = \frac{3}{-2(x-2)}.
    Để có MTC 2(x-2)(x^2+2x+4), ta nhân tử và mẫu với -(x^2+2x+4).
    \frac{3 \cdot (-(x^2+2x+4))}{-2(x-2) \cdot (-(x^2+2x+4))} = \frac{-3(x^2+2x+4)}{2(x-2)(x^2+2x+4)}.
• Mẹo kiểm tra: Sau khi quy đồng, mẫu thức của hai phân thức phải giống nhau.
• Lỗi hay gặp: Phân tích sai nhân tử, sai khi tìm MTC hoặc sai khi nhân tử, mẫu với đa thức phụ.

b) \frac{x}{x^2-1} và \frac{1}{x^2+2x+1}

• Phân tích yêu cầu: Quy đồng mẫu thức hai phân thức.
• Kiến thức áp dụng: Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng, phân tích đa thức thành nhân tử, tìm MTC.
• Hướng dẫn giải:
  • Phân tích mẫu thức thứ nhất: x^2-1 = (x-1)(x+1).
  • Phân tích mẫu thức thứ hai: x^2+2x+1 = (x+1)^2.
  • Nhân tử chung là x+1. Nhân tử riêng là x-1 và x+1.
  • Số mũ lớn nhất của x+1 là 2.
  • MTC là: (x-1)(x+1)^2.
  • Quy đồng phân thức thứ nhất:
    Ta nhân tử và mẫu với (x+1) để có MTC:
    \frac{x}{x^2-1} = \frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+1)} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)^2}.
  • Quy đồng phân thức thứ hai:
    Ta nhân tử và mẫu với (x-1) để có MTC:
    \frac{1}{x^2+2x+1} = \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x-1)}{(x+1)^2 \cdot (x-1)} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)^2}.
• Mẹo kiểm tra: Mẫu của hai phân thức sau khi quy đồng phải giống nhau và bằng MTC.
• Lỗi hay gặp: Phân tích sai nhân tử, nhầm lẫn MTC.

Bài 6.13 trang 12 Toán 8 Tập 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \frac{1}{x+2}; \frac{x+1}{x^2-4x+4} và \frac{5}{2-x}

• Phân tích yêu cầu: Quy đồng mẫu thức ba phân thức.
• Kiến thức áp dụng: Hằng đẳng thức bình phương của một hiệu (A^2-2AB+B^2), quy tắc đổi dấu, tìm MTC.
• Hướng dẫn giải:
  • Phân tích mẫu thức thứ nhất: x+2 (nguyên).
  • Phân tích mẫu thức thứ hai: x^2-4x+4 = (x-2)^2.
  • Phân tích mẫu thức thứ ba: 2-x = -(x-2).
  • Nhân tử chung là x-2. Nhân tử riêng là x+2 và x-2.
  • Số mũ lớn nhất của x-2 là 2.
  • MTC là: (x+2)(x-2)^2.
  • Quy đồng phân thức thứ nhất: \frac{1}{x+2}. Ta nhân tử và mẫu với (x-2)^2.
    \frac{1 \cdot (x-2)^2}{(x+2) \cdot (x-2)^2} = \frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)^2}.
  • Quy đồng phân thức thứ hai: \frac{x+1}{(x-2)^2}. Ta nhân tử và mẫu với x+2.
    \frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)^2(x+2)} = \frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x-2)^2}.
  • Quy đồng phân thức thứ ba: \frac{5}{2-x} = \frac{5}{-(x-2)} = \frac{-5}{x-2}. Ta nhân tử và mẫu với (x+2)(x-2).
    \frac{-5 \cdot (x+2)(x-2)}{(x-2) \cdot (x+2)(x-2)} = \frac{-5(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)^2}.
• Mẹo kiểm tra: Cả ba phân thức sau khi quy đồng phải có cùng mẫu thức là MTC.
• Lỗi hay gặp: Sai sót khi phân tích mẫu thức, nhầm lẫn dấu hoặc chọn sai MTC.

b) \frac{1}{3x+3y}; \frac{2x}{x^2-y^2} và \frac{x^2-xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}

• Phân tích yêu cầu: Quy đồng mẫu thức ba phân thức chứa hai biến.
• Kiến thức áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử (A+B, A^2-B^2, (A-B)^2), nhân tử chung và nhân tử riêng, tìm MTC.
• Hướng dẫn giải:
  • Phân tích mẫu thức thứ nhất: 3x+3y = 3(x+y).
  • Phân tích mẫu thức thứ hai: x^2-y^2 = (x-y)(x+y).
  • Phân tích mẫu thức thứ ba: x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2.
  • Các nhân tử cần có trong MTC: 3, x+y, x-y.
  • Số mũ lớn nhất của x+y là 1. Số mũ lớn nhất của x-y là 2.
  • MTC là: 3(x+y)(x-y)^2.
  • Quy đồng phân thức thứ nhất: \frac{1}{3(x+y)}. Nhân tử và mẫu với (x-y)^2.
    \frac{1 \cdot (x-y)^2}{3(x+y) \cdot (x-y)^2} = \frac{(x-y)^2}{3(x+y)(x-y)^2}.
  • Quy đồng phân thức thứ hai: \frac{2x}{(x-y)(x+y)}. Nhân tử và mẫu với 3(x-y).
    \frac{2x \cdot 3(x-y)}{(x-y)(x+y) \cdot 3(x-y)} = \frac{6x(x-y)}{3(x+y)(x-y)^2}.
  • Quy đồng phân thức thứ ba: \frac{x^2-xy+y^2}{(x-y)^2}. Nhân tử và mẫu với 3(x+y).
    \frac{(x^2-xy+y^2) \cdot 3(x+y)}{(x-y)^2 \cdot 3(x+y)} = \frac{3(x+y)(x^2-xy+y^2)}{3(x+y)(x-y)^2}.
• Mẹo kiểm tra: Các mẫu thức sau khi quy đồng phải trùng khớp với MTC đã tìm.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa các hằng đẳng thức, sai sót khi xác định MTC, đặc biệt là với nhân tử có số mũ khác nhau.

Bài 6.14 trang 12 Toán 8 Tập 2: Cho hai phân thức \frac{9x^2+3x+1}{27x^3-1} và \frac{x^2-4x}{16-x^2}.

a) Rút gọn hai phân thức đã cho.

• Phân tích yêu cầu: Rút gọn từng phân thức.
• Kiến thức áp dụng: Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương (A^3-B^3), hằng đẳng thức hiệu hai bình phương (A^2-B^2), quy tắc đổi dấu, rút gọn phân thức.
• Hướng dẫn giải:
  • Rút gọn phân thức thứ nhất: \frac{9x^2+3x+1}{27x^3-1}.
    • Mẫu thức: 27x^3-1 = (3x)^3-1^3 = (3x-1)((3x)^2 + 3x \cdot 1 + 1^2) = (3x-1)(9x^2+3x+1).
    • Phân thức trở thành: \frac{9x^2+3x+1}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}.
    • Rút gọn nhân tử chung 9x^2+3x+1: \frac{1}{3x-1}.
  • Rút gọn phân thức thứ hai: \frac{x^2-4x}{16-x^2}.
    • Tử thức: x^2-4x = x(x-4).
    • Mẫu thức: 16-x^2 = 4^2-x^2 = (4-x)(4+x).
    • Phân thức trở thành: \frac{x(x-4)}{(4-x)(4+x)}.
    • Nhận thấy x-4 = -(4-x). Thay vào tử thức: x(-(4-x)) = -x(4-x).
    • Phân thức trở thành: \frac{-x(4-x)}{(4-x)(4+x)}.
    • Rút gọn nhân tử chung 4-x: \frac{-x}{4+x}.
• Mẹo kiểm tra: Thay một giá trị x (khác các giá trị làm mẫu bằng 0) vào phân thức gốc và phân thức rút gọn để kiểm tra.
• Lỗi hay gặp: Sai khi áp dụng hằng đẳng thức hoặc quy tắc đổi dấu.

b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a.

• Phân tích yêu cầu: Quy đồng hai phân thức đã được rút gọn.
• Kiến thức áp dụng: Tìm MTC, quy đồng phân thức.
• Hướng dẫn giải:
  • Hai phân thức sau khi rút gọn là: \frac{1}{3x-1} và \frac{-x}{4+x}.
  • Mẫu thức thứ nhất là 3x-1.
  • Mẫu thức thứ hai là 4+x.
  • Hai mẫu thức này không có nhân tử chung.
  • MTC là tích của hai mẫu thức: (3x-1)(4+x).
  • Quy đồng phân thức thứ nhất: \frac{1}{3x-1}. Nhân tử và mẫu với 4+x.
    \frac{1 \cdot (4+x)}{(3x-1) \cdot (4+x)} = \frac{4+x}{(3x-1)(4+x)}.
  • Quy đồng phân thức thứ hai: \frac{-x}{4+x}. Nhân tử và mẫu với 3x-1.
    \frac{-x \cdot (3x-1)}{(4+x) \cdot (3x-1)} = \frac{-x(3x-1)}{(3x-1)(4+x)}.
• Mẹo kiểm tra: Kiểm tra xem mẫu thức của cả hai phân thức sau khi quy đồng có giống nhau và bằng MTC hay không.
• Lỗi hay gặp: Quên nhân tử và mẫu với đúng đa thức hoặc nhầm lẫn trong phép nhân đa thức.

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi thực hiện các bước giải chi tiết cho từng bài tập trong phần giải toán 8 tập 2 trang 12, chúng ta thu được các kết quả sau:

• Bài 6.8: Đa thức cần tìm là x-y.
• Bài 6.9:
  a) \frac{x+2}{5(x^2+2)}
  b) \frac{-3}{(x-3)^2}
  c) \frac{(x-1)^2}{x^2-x+1}
• Bài 6.10:
  a) Phân thức rút gọn là Q = \frac{1}{x-1}.
  b) Giá trị của P và Q tại x=11 đều bằng \frac{1}{10}.
• Bài 6.11: Giá trị của a là -5.
• Bài 6.12:
  a) Mẫu thức chung là 2(x-2)(x^2+2x+4). Phân thức sau quy đồng là \frac{2}{2(x-2)(x^2+2x+4)} và \frac{-3(x^2+2x+4)}{2(x-2)(x^2+2x+4)}.
  b) Mẫu thức chung là (x-1)(x+1)^2. Phân thức sau quy đồng là \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)^2} và \frac{x-1}{(x-1)(x+1)^2}.
• Bài 6.13:
  a) Mẫu thức chung là (x+2)(x-2)^2. Các phân thức sau quy đồng là \frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)^2}; \frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x-2)^2}; \frac{-5(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)^2}.
  b) Mẫu thức chung là 3(x+y)(x-y)^2. Các phân thức sau quy đồng là \frac{(x-y)^2}{3(x+y)(x-y)^2}; \frac{6x(x-y)}{3(x+y)(x-y)^2}; \frac{3(x+y)(x^2-xy+y^2)}{3(x+y)(x-y)^2}.
• Bài 6.14:
  a) Các phân thức rút gọn lần lượt là \frac{1}{3x-1} và \frac{-x}{4+x}.
  b) Mẫu thức chung là (3x-1)(4+x). Các phân thức sau quy đồng là \frac{4+x}{(3x-1)(4+x)} và \frac{-x(3x-1)}{(3x-1)(4+x)}.

Conclusion

Việc nắm vững các quy tắc rút gọn và quy đồng mẫu thức là chìa khóa để giải quyết thành công các bài tập về phân thức đại số. Các bài tập giải toán 8 tập 2 trang 12 trong sách Kết nối tri thức đã minh họa rõ ràng cách áp dụng những kiến thức này vào thực tế. Bằng việc phân tích kỹ đề bài, xác định đúng các nhân tử và áp dụng chính xác các hằng đẳng thức, học sinh có thể tự tin giải quyết các dạng toán tương tự, từ đó củng cố nền tảng toán học vững chắc.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông