Giải Toán 10 Trang 99 Tập 1 Cánh Diều: Hướng Dẫn Chi Tiết Bài Tập Cuối Chương 4
Chuyên đề giải toán 10 trang 99 Tập 1, sách Cánh Diều, là phần tổng hợp kiến thức quan trọng của Bài tập cuối chương 4. Phần này củng cố các nội dung cốt lõi về Hệ thức lượng trong tam giác và Tích vô hướng của hai vectơ. Việc nắm vững Định lí Cosin và Định lí Sin là nền tảng để giải quyết các bài toán từ cơ bản đến Ứng dụng thực tế trong hình học và đo đạc. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, nâng cao giá trị kiến thức, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi và tư duy toán học.
Tổng Quan Hệ Thức Lượng Và Vector Trong Chương 4
Chương 4 cung cấp cái nhìn toàn diện về các mối quan hệ giữa cạnh, góc và các đại lượng khác trong tam giác. Đây là kiến thức cốt lõi của Hình học. Các khái niệm như bán kính đường tròn ngoại tiếp, diện tích, đường cao đều liên quan chặt chẽ với nhau. Việc hiểu rõ bản chất của Tích vô hướng giúp chúng ta giải quyết các bài toán hình học phức tạp bằng phương pháp đại số.
Nền Tảng Lý Thuyết Cần Nắm Vững
Trước khi đi sâu vào lời giải, việc ôn lại các công thức là điều cần thiết. Định lí Cosin phát biểu mối liên hệ giữa ba cạnh và một góc. Công thức này thường được dùng để tính độ dài cạnh hoặc độ lớn góc. Định lí Sin lại thiết lập tỷ lệ giữa cạnh và sin của góc đối diện, là công cụ chính để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Công thức diện tích $S = frac{1}{2}ab sin C$ cũng đóng vai trò quan trọng. Ngoài ra, việc vận dụng các công thức lượng giác cho góc bù $alpha$ và $180^circ – alpha$ là chìa khóa để giải quyết các bài toán về giá trị lượng giác mà không cần dùng máy tính.
Giải Bài Tập Cơ Bản Về Hệ Thức Lượng (Bài 1)
Bài tập 1 là một bài toán điển hình về việc áp dụng linh hoạt các công thức Hệ thức lượng trong tam giác. Yêu cầu tính toán nhiều đại lượng khác nhau từ ba dữ kiện cơ bản (hai cạnh và một góc xen giữa).
Bài 1: Tính Độ Dài, Góc và Tích Vô Hướng (Trang 99)
Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, $widehat{BAC}=120^{circ}$. Tính: a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B; b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp; c) Diện tích của tam giác; d) Độ dài đường cao xuất phát từ A; e) $vec{AB} cdot vec{AC}$, $vec{AM} cdot vec{BC}$ với M là trung điểm của BC.
Phân tích và Lời giải chi tiết:
Độ Dài Cạnh BC và Độ Lớn Góc B
Chúng ta áp dụng Định lí Cosin để tính độ dài cạnh BC. Đây là công thức nền tảng trong tam giác.
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 cdot AB cdot AC cdot cos(widehat{BAC})$$
$$BC^2 = 3^2 + 4^2 – 2 cdot 3 cdot 4 cdot cos(120^circ)$$
$$BC^2 = 9 + 16 – 24 cdot (-frac{1}{2}) = 25 + 12 = 37$$
$$Rightarrow BC = sqrt{37} approx 6$$
Tiếp theo, để tính góc B, ta dùng hệ quả của Định lí Cosin.
$$cos B = frac{AB^2 + BC^2 – AC^2}{2 cdot AB cdot BC}$$
$$cos B = frac{3^2 + 37 – 4^2}{2 cdot 3 cdot sqrt{37}} = frac{9 + 37 – 16}{6sqrt{37}} = frac{30}{6sqrt{37}} = frac{5}{sqrt{37}} approx frac{5}{6}$$
$$Rightarrow B approx 36^circ$$
Bán Kính Đường Tròn Ngoại Tiếp R
Sử dụng Định lí Sin để tìm bán kính R. Công thức này liên kết cạnh, góc và R.
$$frac{BC}{sin A} = 2R$$
$$R = frac{BC}{2sin A} = frac{sqrt{37}}{2 cdot sin(120^circ)} = frac{sqrt{37}}{2 cdot frac{sqrt{3}}{2}} = frac{sqrt{37}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{111}}{3}$$
$$R approx frac{6}{2 cdot frac{sqrt{3}}{2}} = frac{6}{sqrt{3}} = 2sqrt{3} approx 3$$
Diện Tích Tam Giác S
Diện tích tam giác được tính bằng công thức sử dụng sin góc xen giữa hai cạnh.
$$S = frac{1}{2} AB cdot AC cdot sin(widehat{BAC})$$
$$S = frac{1}{2} cdot 3 cdot 4 cdot sin(120^circ) = 6 cdot frac{sqrt{3}}{2} = 3sqrt{3}$$
$$S approx 5$$
Độ Dài Đường Cao Xuất Phát Từ A (AH)
Đường cao $AH$ được tính thông qua công thức diện tích.
$$S = frac{1}{2} AH cdot BC$$
$$AH = frac{2S}{BC} = frac{2 cdot 3sqrt{3}}{sqrt{37}} = frac{6sqrt{3}}{sqrt{37}}$$
$$AH approx frac{2 cdot 5}{6} = frac{10}{6} approx 2$$
Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, góc BAC = 120 độ . Tính các đại lượng của tam giác
Tính Tích Vô Hướng của Vectơ
Phần này kiểm tra kiến thức về Tích vô hướng. $vec{AB} cdot vec{AC}$ được tính trực tiếp bằng công thức cơ bản.
$$vec{AB} cdot vec{AC} = |vec{AB}| cdot |vec{AC}| cdot cos(widehat{BAC})$$
$$vec{AB} cdot vec{AC} = 3 cdot 4 cdot cos(120^circ) = 12 cdot (-frac{1}{2}) = -6$$
Để tính $vec{AM} cdot vec{BC}$, ta sử dụng công thức trung tuyến vectơ $vec{AM} = frac{1}{2}(vec{AB} + vec{AC})$.
$$vec{AM} cdot vec{BC} = frac{1}{2}(vec{AB} + vec{AC}) cdot (vec{AC} – vec{AB})$$
$$vec{AM} cdot vec{BC} = frac{1}{2}(vec{AC}^2 – vec{AB}^2)$$
$$vec{AM} cdot vec{BC} = frac{1}{2}(AC^2 – AB^2) = frac{1}{2}(4^2 – 3^2) = frac{1}{2}(16 – 9) = frac{7}{2} = 3,5$$
Lưu ý: Kết quả làm tròn trong bài giải gốc là $frac{1}{2}(4-3) = frac{1}{2}$ là sai, phải là $frac{1}{2}(4^2-3^2) = 3.5$. Tuy nhiên, theo yêu cầu giữ nguyên thông tin chính xác, ta sẽ sửa lại. Nếu giữ lại $frac{1}{2}$ trong phần gốc, ta cần giải thích sự khác biệt này, nhưng do mục tiêu là tạo bài viết mới chuẩn xác và nâng cấp, ta trình bày lời giải đúng là 3.5.
$$AM→.BC→ = frac{1}{2} (AC^2 – AB^2) = frac{1}{2} (4^2 – 3^2) = frac{7}{2} = 3.5$$
Phân Tích Chuyên Sâu Về Giá Trị Lượng Giác (Bài 2)
Bài tập 2 là bài toán kiểm tra khả năng biến đổi và áp dụng các công thức lượng giác cơ bản. Mục tiêu là tính giá trị biểu thức mà không dùng máy tính. Điều này yêu cầu sự thuần thục trong việc chuyển đổi góc.
Bài 2: Biến Đổi và Tính Giá Trị Biểu Thức Lượng Giác
Đề bài: Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau: $A = (sin 20^circ + sin 70^circ)^2 + (cos 20^circ + cos 110^circ)^2$, $B = tan 20^circ + cot 20^circ + tan 110^circ + cot 110^circ$.
Biểu Thức A
Áp dụng công thức góc phụ: $sin alpha = cos(90^circ – alpha)$.
Áp dụng công thức góc bù: $cos(180^circ – alpha) = -cos alpha$.
$A = (sin 20^circ + sin 70^circ)^2 + (cos 20^circ + cos 110^circ)^2$
$A = (sin 20^circ + cos 20^circ)^2 + (cos 20^circ + cos (180^circ – 70^circ))^2$
$A = (sin 20^circ + cos 20^circ)^2 + (cos 20^circ – cos 70^circ)^2$
Tiếp tục áp dụng $cos 70^circ = sin 20^circ$:
$A = (sin 20^circ + cos 20^circ)^2 + (cos 20^circ – sin 20^circ)^2$
Khai triển hằng đẳng thức:
$A = (sin^2 20^circ + 2sin 20^circ cos 20^circ + cos^2 20^circ) + (cos^2 20^circ – 2sin 20^circ cos 20^circ + sin^2 20^circ)$
$A = 2(sin^2 20^circ + cos^2 20^circ)$
Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: $sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1$.
$A = 2 cdot 1 = 2$
Biểu Thức B
Áp dụng công thức góc bù cho tan và cot: $tan(180^circ – alpha) = -tan alpha$ và $cot(180^circ – alpha) = -cot alpha$.
$B = tan 20^circ + cot 20^circ + tan 110^circ + cot 110^circ$
$B = tan 20^circ + cot 20^circ + tan(180^circ – 70^circ) + cot(180^circ – 70^circ)$
$B = tan 20^circ + cot 20^circ + (-tan 70^circ) + (-cot 70^circ)$
Tiếp tục áp dụng công thức góc phụ: $tan 70^circ = cot 20^circ$ và $cot 70^circ = tan 20^circ$.
$B = tan 20^circ + cot 20^circ – cot 20^circ – tan 20^circ$
$B = (tan 20^circ – tan 20^circ) + (cot 20^circ – cot 20^circ) = 0$
Ứng Dụng Thực Tế Của Hệ Thức Lượng (Bài 3, 4, 5)
Phần này thể hiện tính Ứng dụng thực tế của kiến thức đã học. Các bài toán mô phỏng tình huống đo đạc thực tế trong xây dựng, địa lý hoặc hàng hải. Việc sử dụng Định lí Sin và Định lí Cosin giúp giải quyết các bài toán về khoảng cách và góc không thể đo trực tiếp.
Bài 3: Xác Định Góc Qua Phép Đo Đạc
Đề bài: Cách tính độ lớn góc $widehat{xOy}$ khi không có thước đo góc, dựa trên các dữ kiện: $OA = OB = 2$ cm, $AB = 3,1$ cm.
Phương Pháp Giải Quyết
Trong tam giác $AOB$ cân tại $O$, ta cần tìm góc $O$ hay $widehat{xOy}$. Áp dụng hệ quả của Định lí Cosin cho góc $O$.
$$cos O = frac{OA^2 + OB^2 – AB^2}{2 cdot OA cdot OB}$$
$$cos O = frac{2^2 + 2^2 – 3,1^2}{2 cdot 2 cdot 2} = frac{4 + 4 – 9,61}{8} = frac{-1,61}{8} approx -0,20125$$
$$Rightarrow O approx 101,6^circ$$
Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được $widehat{xOy} approx 102^circ$. Phương pháp này minh họa khả năng đo góc gián tiếp trong thực tế.
Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó. Ảnh mô tả cách đo góc xOy bằng thước đo độ dài
Minh họa tam giác ABO với các cạnh OA=OB=2 và AB=3.1 để tính góc O
Bài 4: Đo Khoảng Cách Giữa Hồ
Đề bài: Tính khoảng cách từ trạm $C$ (giữa hồ) đến $A$ và $B$ (ven hồ) biết $widehat{BAC} = 60^circ$, $widehat{ABC} = 45^circ$ và $AB = 1200$ m.
Sử Dụng Định Lí Sin để Đo Khoảng Cách
Ba điểm $A, B, C$ tạo thành tam giác $ABC$. Đầu tiên, cần tính góc còn lại $widehat{C}$.
$$widehat{C} = 180^circ – (widehat{A} + widehat{B}) = 180^circ – (60^circ + 45^circ) = 75^circ$$
Áp dụng Định lí Sin: $frac{AB}{sin C} = frac{AC}{sin B} = frac{BC}{sin A}$.
Tính khoảng cách $AC$:
$$AC = frac{AB cdot sin B}{sin C} = frac{1200 cdot sin 45^circ}{sin 75^circ}$$
$$AC approx 878$$
Tính khoảng cách $BC$:
$$BC = frac{AB cdot sin A}{sin C} = frac{1200 cdot sin 60^circ}{sin 75^circ}$$
$$BC approx 1076$$
Vậy, khoảng cách từ $C$ đến $A$ là $878$ m và từ $C$ đến $B$ là $1076$ m.
Có hai trạm quan sát A và B ven hồ và một trạm quan sát C ở giữa hồ. Hình minh họa tam giác ABC
Bài 5: Đo Độ Rộng Khúc Sông
Đề bài: Tính độ rộng khúc sông ($AD$) khi di chuyển dọc bờ sông. Cho $alpha = 35^circ$ tại $A$, di chuyển $d = 50$ m đến $B$, đo được $beta = 65^circ$.
Chiến Lược Kết Hợp Hình Học và Lượng Giác
Độ rộng sông là đường cao $AD$ (với $D$ thuộc bờ đối diện). Tam giác $ABC$ là tam giác phụ để tính cạnh $AC$.
Bước 1: Tính góc $widehat{ACB}$
Góc $widehat{ABC}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $ABC$.
$widehat{ABC} = 180^circ – 65^circ = 115^circ$
Hoặc $widehat{ACB} = widehat{CBE} – widehat{CAB}$ (Với $widehat{CBE}$ là góc ngoài tại $B$).
Ta có: $widehat{ACB} = 65^circ – 35^circ = 30^circ$ (Tính chất góc ngoài tam giác $widehat{CBE} = widehat{BAC} + widehat{ACB}$).
Bước 2: Tính cạnh $AC$
Áp dụng Định lí Sin trong tam giác $ABC$.
$$frac{AB}{sin(widehat{ACB})} = frac{AC}{sin(widehat{ABC})}$$
$$AC = frac{AB cdot sin(widehat{ABC})}{sin(widehat{ACB})} = frac{50 cdot sin(115^circ)}{sin(30^circ)}$$
$$AC approx 90,6$$
Bước 3: Tính độ rộng sông $AD$
Xét tam giác vuông $ADC$ tại $D$.
$$widehat{DAC} = 90^circ – alpha = 90^circ – 35^circ = 55^circ$$
$$AD = AC cdot cos(widehat{DAC})$$
$$AD = 90,6 cdot cos(55^circ) approx 52,0 text{ (m)}$$
Vậy, độ rộng của khúc sông là $52,0$ m.
Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng. Hình ảnh minh họa vị trí A, B, C
Minh họa tam giác ABC và đường cao AD (độ rộng sông)
Đánh Giá Và Mở Rộng Kiến Thức
Các bài tập trong phần giải toán 10 trang 99 này đã giúp học sinh củng cố toàn bộ kiến thức về Hệ thức lượng trong tam giác. Các kỹ năng cần được rèn luyện là nhận diện bài toán. Từ đó lựa chọn công thức phù hợp: Định lí Cosin để tính cạnh/góc khi biết ba cạnh hoặc hai cạnh và góc xen giữa. Định lí Sin để liên kết cạnh, góc và bán kính đường tròn ngoại tiếp. Việc giải các bài toán Ứng dụng thực tế như đo khoảng cách gián tiếp cho thấy sự cần thiết của toán học trong đời sống. Nắm vững Tích vô hướng còn mở ra cánh cửa giải quyết hình học bằng phương pháp tọa độ, một chủ đề quan trọng cho các chương sau.
Việc hoàn thành các bài tập tại giải toán 10 trang 99 giúp học sinh củng cố vững chắc nền tảng Hình học và Lượng giác. Đây là cơ sở để tiếp tục khám phá những chương học phức tạp hơn.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 28, 2025 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
