Giải Toán 7 trang 63 Tập 2 Chân trời sáng tạo: Hướng dẫn chi tiết

Giải toán 7 trang 63 tập 2 thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập về tam giác cân. Bài viết này tập trung làm rõ các khái niệm, phương pháp giải và cung cấp mẹo hữu ích giúp học sinh nắm vững kiến thức, tự tin chinh phục các dạng bài tập tương tự.

Đề Bài

Bài 3 trang 63 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có A = 56^\circ (Hình 15).

Hình 15: Tam giác ABC cân tại A

a) Tính B, C.

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng tam giác AMN cân.

c) Chứng minh rằng MN // BC.

Bài 4 trang 63 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A (Hình 16). Tia phân giác của góc B cắt AC tại F, tia phân giác của góc C cắt AB tại E.

Hình 16: Tam giác ABC cân tại A với các tia phân giác

a) Chứng minh rằng angle ABF = angle ACE.

b) Chứng minh rằng tam giác AEF cân.

c) Gọi I là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tam giác IBC và tam giác IEF là những tam giác cân.

Bài 5 trang 63 Toán 7 Tập 2: Phần thân của một móc treo quần áo có dạng hình tam giác cân (Hình 17a) được vẽ lại như Hình 17b. Cho biết AB = 20 cm; BC = 28 cm và B = 35^\circ. Tìm số đo các góc còn lại và chu vi của tam giác ABC.

Hình 17: Móc treo quần áo dạng tam giác cân

Bài 6 trang 63 Toán 7 Tập 2: Một khung cửa sổ hình tam giác có thiết kế như Hình 18a được vẽ lại như Hình 18b.

Hình 18: Khung cửa sổ hình tam giác

a) Cho biết A = 42^\circ. Tính số đo của M_1, B_1, M_2.

b) Chứng minh MN // BC, MP // AC.

c) Chứng minh bốn tam giác cân AMN, MBP, PMN, NPC bằng nhau.

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập từ trang 63, tập 2 sách Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo đều xoay quanh chủ đề tam giác cân. Yêu cầu chung là áp dụng các tính chất của tam giác cân để tính góc, chứng minh các đoạn thẳng song song, chứng minh các tam giác bằng nhau hoặc cân.

• Bài 3: Kiểm tra khả năng tính góc trong tam giác cân và áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh đáy (trong trường hợp này là MN song song BC).
• Bài 4: Đi sâu vào tính chất của tia phân giác trong tam giác cân và mối liên hệ với các đoạn thẳng tạo ra, chứng minh sự bằng nhau và cân của các tam giác nhỏ.
• Bài 5: Một bài toán thực tế, yêu cầu tính toán các yếu tố còn thiếu (góc, chu vi) dựa trên giả thiết tam giác cân.
• Bài 6: Phức tạp hơn, kết hợp nhiều tính chất của tam giác cân, đường trung bình, tia phân giác và sự bằng nhau của các tam giác.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Định nghĩa tam giác cân: Tam giác có hai cạnh bên bằng nhau.
2. Tính chất tam giác cân:
   • Hai góc đáy bằng nhau: Nếu triangle ABC cân tại A thì angle B = angle C.
   • Hai đường cao, hai đường trung tuyến, hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đáy hoặc ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.
   • Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác, đường cao, đường trung trực.
3. Tổng ba góc trong một tam giác: angle A + angle B + angle C = 180^\circ.
4. Dấu hiệu nhận biết tam giác cân:
   • Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.
   • Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.
5. Tính chất đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh thứ ba.
6. Các trường hợp bằng nhau của tam giác (c.g.c, g.c.g, c.c.c).
7. Tính chất góc so le trong, đồng vị khi hai đường thẳng song song cắt một đường thẳng thứ ba.
8. Tia phân giác của một góc: Chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 3 trang 63 Toán 7 Tập 2

a) Tính B, C:
Tam giác ABC cân tại A nên hai góc đáy angle B và angle C bằng nhau: angle B = angle C.
Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác ABC:
angle A + angle B + angle C = 180^\circ
56^\circ + angle B + angle B = 180^\circ
2 angle B = 180^\circ - 56^\circ
2 angle B = 124^\circ
angle B = 124^\circ / 2 = 62^\circ
Vậy angle B = angle C = 62^\circ.

b) Chứng minh tam giác AMN cân:
M là trung điểm AB nên AM = \frac{1}{2}AB.
N là trung điểm AC nên AN = \frac{1}{2}AC.
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Do đó, \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC, suy ra AM = AN.
Xét tam giác AMN có AM = AN, theo dấu hiệu nhận biết tam giác cân, ta có tam giác AMN cân tại A.

c) Chứng minh MN // BC:
Từ câu b), tam giác AMN cân tại A nên angle AMN = angle ANM.
Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác AMN:
angle A + angle AMN + angle ANM = 180^\circ
56^\circ + 2 angle AMN = 180^\circ
2 angle AMN = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ
angle AMN = 124^\circ / 2 = 62^\circ
Ta có angle AMN = 62^\circ và angle ABC = 62^\circ (tính ở câu a).
Vì angle AMN = angle ABC mà hai góc này ở vị trí đồng vị, nên MN // BC.

• Mẹo kiểm tra: Các góc trong tam giác ABC phải có tổng là 180 độ (56 + 62 + 62 = 180). Các góc trong tam giác AMN cũng phải có tổng là 180 độ (56 + 62 + 62 = 180).
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn vị trí góc hoặc định lý khi áp dụng.

Bài 4 trang 63 Toán 7 Tập 2

a) Chứng minh angle ABF = angle ACE:
Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và angle ABC = angle ACB.
BF là tia phân giác của angle ABC nên angle ABF = \frac{1}{2}angle ABC.
CE là tia phân giác của angle ACB nên angle ACE = \frac{1}{2}angle ACB.
Vì angle ABC = angle ACB nên \frac{1}{2}angle ABC = \frac{1}{2}angle ACB.
Suy ra angle ABF = angle ACE.

b) Chứng minh tam giác AEF cân:
Xét triangle ABF và triangle ACE:

• angle ABF = angle ACE (chứng minh trên).
• AB = AC (do triangle ABC cân tại A).
• angle A là góc chung.
  Do đó, triangle ABF = triangle ACE (trường hợp g.c.g).
  Suy ra AF = AE (hai cạnh tương ứng).
  Xét tam giác AEF có AF = AE, theo dấu hiệu nhận biết tam giác cân, ta có tam giác AEF cân tại A.

c) Chứng minh tam giác IBC và tam giác IEF cân:

• Tam giác IBC cân:
  Ta có angle ABF = angle ABC / 2 và angle ACE = angle ACB / 2.
  Vì angle ABC = angle ACB nên angle FBC = angle ECB.
  Do BF và CE cắt nhau tại I, nên angle IBC = angle FBC và angle ICB = angle ECB.
  Suy ra angle IBC = angle ICB.
  Tam giác IBC có hai góc đáy bằng nhau nên là tam giác cân tại I.

• Tam giác IEF cân:
  Từ triangle ABF = triangle ACE, ta có IB = IC (hai cạnh tương ứng, vì angle FBC = angle ECB và BF, CE là hai cạnh của hai tam giác bằng nhau).
  Xét triangle EIB và triangle FIC:

  • angle EIB = angle FIC (hai góc đối đỉnh).
  • IB = IC (chứng minh trên).
  • angle EBI = angle FCI (vì angle EBI = angle ABF và angle FCI = angle ACE, mà angle ABF = angle ACE).
    Do đó, triangle EIB = triangle FIC (trường hợp g.c.g).
    Suy ra IE = IF (hai cạnh tương ứng).
    Tam giác IEF có IE = IF nên là tam giác cân tại I.

• Mẹo kiểm tra: Chứng minh các tam giác bằng nhau phải dựa trên các cạnh và góc đã biết hoặc đã chứng minh.

• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn hai góc bằng nhau là góc đáy hay góc ở đỉnh, hoặc không suy ra được hai cạnh bằng nhau từ hai tam giác bằng nhau.

Bài 5 trang 63 Toán 7 Tập 2

Dựa vào Hình 17b và giả thiết tam giác ABC cân.
Tam giác ABC cân tại A nên hai cạnh bên bằng nhau: AB = AC và hai góc đáy bằng nhau: B = C.

• Các cạnh:
  Cho biết AB = 20 cm. Vì tam giác cân tại A nên AC cũng bằng 20 cm.
  Cho biết BC = 28 cm.

• Các góc:
  Cho biết B = 35^\circ. Vì tam giác cân tại A nên C = B = 35^\circ.
  Tổng ba góc trong tam giác ABC là 180 độ:
  A + B + C = 180^\circ
  A + 35^\circ + 35^\circ = 180^\circ
  A + 70^\circ = 180^\circ
  A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ.

• Chu vi:
  Chu vi của tam giác ABC là tổng độ dài ba cạnh:
  Chu vi = AB + AC + BC = 20 cm + 20 cm + 28 cm = 68 cm.

Vậy, số đo các góc còn lại là A = 110^\circ, C = 35^\circ. Chu vi của tam giác ABC là 68 cm.

Bài 6 trang 63 Toán 7 Tập 2

a) Tính số đo các góc M_1, B_1, M_2:

• Tam giác AMN:
  Theo giả thiết, AM = AN, nên tam giác AMN cân tại A.
  Do đó, angle AMN = angle ANM. Ta ký hiệu angle AMN = M_1.
  Trong tam giác AMN, tổng ba góc là 180 độ:
  angle A + angle AMN + angle ANM = 180^\circ
  42^\circ + M_1 + M_1 = 180^\circ
  2 M_1 = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ
  M_1 = 138^\circ / 2 = 69^\circ.

• Tam giác ABC:
  Theo giả thiết có MB = NC. Vì AM = AN và AB = AM + MB, AC = AN + NC, suy ra AB = AC.
  Do đó, tam giác ABC cân tại A.
  Hai góc đáy bằng nhau: angle ABC = angle ACB. Ta ký hiệu angle ABC = B_1.
  Trong tam giác ABC, tổng ba góc là 180 độ:
  angle A + angle ABC + angle ACB = 180^\circ
  42^\circ + B_1 + B_1 = 180^\circ
  2 B_1 = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ
  B_1 = 138^\circ / 2 = 69^\circ.

• Tam giác MBP:
  Theo giả thiết có MB = MP. Do đó, tam giác MBP cân tại M.
  Hai góc đáy bằng nhau: angle MBP = angle MPB.
  Góc ở đỉnh M của tam giác MBP là angle BMP, ta ký hiệu là M_2.
  Trong tam giác MBP, tổng ba góc là 180 độ:
  angle MBP + angle MPB + angle BMP = 180^\circ
  angle MBP + angle MBP + M_2 = 180^\circ
  2 angle MBP + M_2 = 180^\circ
  Ta cần tìm angle MBP. Chú ý rằng angle MBP chính là angle ABC = B_1.
  Vậy, 2 B_1 + M_2 = 180^\circ.
  2 \times 69^\circ + M_2 = 180^\circ
  138^\circ + M_2 = 180^\circ
  M_2 = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ.

Vậy, M_1 = 69^\circ; B_1 = 69^\circ; M_2 = 42^\circ.

b) Chứng minh MN // BC, MP // AC:

• MN // BC:
  Ta có angle AMN = M_1 = 69^\circ và angle ABC = B_1 = 69^\circ.
  Vì angle AMN = angle ABC mà hai góc này ở vị trí đồng vị, nên MN // BC.

• MP // AC:
  Ta có angle BMP = M_2 = 42^\circ và angle BAC = A = 42^\circ.
  Hai góc này ở vị trí so le trong (nếu coi AC là đường thẳng cắt MP và AB), hoặc chúng ta có thể suy luận khác.
  Xem lại hình vẽ, MP // AC có thể được chứng minh dựa trên tam giác AMN và tam giác ABC.
  Ta có angle ANM = M_1 = 69^\circ.
  Tam giác ABC cân tại A, AB = AC.
  Theo giả thiết AM=AN, MB=NC, MP=MB.
  Ta đã chứng minh MN // BC.
  Để chứng minh MP // AC, ta xem xét góc tạo bởi MP và AB.
  Trong tam giác MBP, angle MBP = B_1 = 69^\circ.
  angle MPB = angle MBP = 69^\circ (vì tam giác MBP cân tại M).
  angle BMP = 42^\circ.
  Xét góc tạo bởi MP và đường thẳng AC.
  Ta có angle AMP = angle AMN + angle NMP không tiện.
  Thực tế, theo hình vẽ, MP // AC là một giả thiết hoặc một kết quả trực tiếp từ cấu trúc đối xứng.
  Nếu MP // AC thì angle BMP = angle BAC (góc đồng vị). Nhưng ở đây angle BMP = 42^\circ và angle BAC = 42^\circ.
  Chính xác, hai góc này là góc đồng vị nếu ta coi AB là đường cắt MP và AC.
  Ta có angle BAC = 42^\circ. Trong tam giác MBP, angle BMP = 42^\circ.
  Hai góc angle BAC và angle BMP là hai góc đồng vị khi MN // BC. Tuy nhiên, đây là MP // AC.
  Xem lại đề bài: “MP // AC”.
  Từ angle BMP = 42^\circ và angle BAC = 42^\circ. Nếu MP và AC là hai đường thẳng và AB là đường cắt, thì hai góc này là góc đồng vị, suy ra MP // AC. Điều này hợp lý.

c) Chứng minh bốn tam giác cân AMN, MBP, PMN, NPC bằng nhau:
Ta đã biết:

• triangle AMN cân tại A (do AM = AN).
• triangle MBP cân tại M (do MB = MP).

• Chứng minh triangle AMN = triangle MBP:

  • AM = MB (theo giả thiết AM = MB).
  • angle MAN = angle BMP (đây là angle A = 42^\circ và angle BMP = 42^\circ).
  • AN = MP (theo giả thiết AN = MP).
    Do đó, triangle AMN = triangle MBP (trường hợp c.g.c).
    Suy ra MN = BP (hai cạnh tương ứng).

• Chứng minh triangle MBP = triangle pmN:

  • MB = PM (theo giả thiết).
  • BP = MN (chứng minh trên).
  • PM = PN (theo giả thiết).
    Do đó, triangle MBP = triangle pmN (trường hợp c.c.c).

• Chứng minh triangle pmN = triangle NPC:

  • PM = NP (theo giả thiết).
  • angle MPN và angle PNC.
    Vì MP // AC, đường thẳng PN cắt MP và AC tạo thành hai góc so le trong là angle MPN và angle PNC. Do đó, angle MPN = angle PNC.
  • PN = NC (theo giả thiết).
    Do đó, triangle pmN = triangle NPC (trường hợp c.g.c).

Vậy, ta đã chứng minh được triangle AMN = triangle MBP = triangle pmN = triangle NPC.

• Mẹo kiểm tra: Đảm bảo tất cả các cạnh và góc bằng nhau đã được chứng minh hoặc là giả thiết. Kiểm tra kỹ các vị trí góc (đồng vị, so le trong, đối đỉnh).
• Lỗi hay gặp: Sử dụng sai trường hợp bằng nhau, nhầm lẫn giả thiết với kết luận, hoặc không suy luận được các yếu tố cần thiết từ tam giác cân.

Đáp Án/Kết Quả

Bài 3:
a) angle B = angle C = 62^\circ.
b) Tam giác AMN cân tại A.
c) MN // BC.

Bài 4:
a) angle ABF = angle ACE.
b) Tam giác AEF cân tại A.
c) Tam giác IBC cân tại I, tam giác IEF cân tại I.

Bài 5:
A = 110^\circ, C = 35^\circ, chu vi = 68 cm.

Bài 6:
a) M_1 = 69^\circ, B_1 = 69^\circ, M_2 = 42^\circ.
b) MN // BC, MP // AC.
c) triangle AMN = triangle MBP = triangle pmN = triangle NPC.

Kết Luận

Việc nắm vững các tính chất của tam giác cân là chìa khóa để giải quyết thành công các bài toán trong chương này. Các bài tập từ trang 63, tập 2 sách Toán 7 Chân trời sáng tạo đã minh họa rõ ràng cách áp dụng định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết tam giác cân, kết hợp với các kiến thức về tổng ba góc, đường trung bình và các trường hợp bằng nhau của tam giác. Hãy luyện tập thường xuyên để ghi nhớ và vận dụng linh hoạt các phương pháp này vào các bài toán phức tạp hơn.

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.